靈敏度約束的自整定最優(yōu)比例積分控制器

陳永會(huì) 譚功全 譚 飛 傅成華

(四川理工學(xué)院自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，四川 自貢 643000)

0 引言

盡管控制理論不斷發(fā)展，比例積分PI控制器仍然在過(guò)程工業(yè)控制中被廣泛使用。據(jù)報(bào)道，典型的造紙工廠控制回路超過(guò)2000個(gè)，其中97%使用PI控制器［1］。所以，PI控制器參數(shù)整定的改進(jìn)意義重大。

大多數(shù)工業(yè)過(guò)程能夠用帶時(shí)延的一階延時(shí)(first order plus delay time，F(xiàn)OPDT)模型近似。根據(jù)此模型，涌現(xiàn)了大量的PI/PID參數(shù)整定法［2］，從經(jīng)典的 Z-N法［3］、Cohen-Coon 法［4］、Internal Model Control法［5］，到基于積分性能指標(biāo) ITAE［6］和 IAE的優(yōu)化法［7］等。這些方法既有優(yōu)點(diǎn)，也有不足之處，使用時(shí)也會(huì)受到限制［7－8］。本文提出了一種保證閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)法，并獲得了控制器的參數(shù)化整定公式。同時(shí)，提出用雙通道繼電測(cè)試技術(shù)［11］來(lái)獲取閉環(huán)系統(tǒng)期望特征信息以建立FOPDT模型的方法，據(jù)此實(shí)現(xiàn)控制器參數(shù)的繼電自整定。

1 問(wèn)題描述

典型反饋控制回路如圖1所示。圖1中，P(s)為過(guò)程模型，C(s)為需要設(shè)計(jì)的控制器;r為設(shè)定值，d為負(fù)載干擾，y為被控變量，e為偏差信號(hào)。

圖1 反饋控制回路Fig.1 Feedback control loop

考慮一階延時(shí)FOPDT系統(tǒng)模型P(s)為:

式中:Kp、Tp和Lp分別為過(guò)程靜態(tài)增益常數(shù)、慣性時(shí)間常數(shù)和時(shí)滯時(shí)間常數(shù)。過(guò)程的相對(duì)時(shí)間系數(shù)Tr定義為慣性時(shí)間常數(shù)與時(shí)滯時(shí)間常數(shù)之比，即:

Tr越大，過(guò)程越容易控制;反之，控制難度越大。

針對(duì)負(fù)載干擾d為階躍變化，故期望控制系統(tǒng)最大誤差較小，振蕩輕微，則建立時(shí)間短且沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。

控制器采用PI調(diào)節(jié)律，傳遞函數(shù)為C(s):

式中:Kc、Ti和Ki分別為比例增益、積分時(shí)間和積分增益常數(shù)。PI控制器有兩個(gè)獨(dú)立可調(diào)參量，可以滿足穩(wěn)定性指標(biāo)和使性能優(yōu)化的指標(biāo)。利用式(1)、(3)建立從負(fù)載干擾d到過(guò)程輸出y的傳遞函數(shù)為:

由上式可以得出，Ki越大，受干擾的影響越小。所以，性能優(yōu)化指標(biāo)可選為使Ki最大化。

2 設(shè)計(jì)方法

2.1 PI優(yōu)化方法

對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)穩(wěn)定的條件是開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖線不包圍復(fù)平面的(－1，j0)點(diǎn)。開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線離(－1，j0)點(diǎn)的遠(yuǎn)近定義為:

式中:R為開(kāi)環(huán)頻率特性距離(－1，j0)點(diǎn)的最短距離。R越大，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線離臨界點(diǎn)(－1，j0)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)為:

式中:Ms為系統(tǒng)的最大靈敏度值。Ms越小，魯棒性增強(qiáng);Ms越大，則相反。因此，選擇Ms作為魯棒穩(wěn)定性指標(biāo)是合適的。

又如歐陽(yáng)修散文中著名的《與高司諫書(shū)》，尤其能體現(xiàn)議論爭(zhēng)煌煌的特色。這篇散文具有很強(qiáng)的針對(duì)性和實(shí)用性，先論述歐陽(yáng)修對(duì)于高司諫的“三疑”，緊接著以范仲淹被貶而高司諫一言不發(fā)的行為得出歷時(shí)多年的“三疑”果真不假。精彩的還在于歐陽(yáng)修從假設(shè)范仲淹確實(shí)不賢與范仲淹確是賢臣兩方面加以議論，任何角度都足以支撐自己的觀點(diǎn)，充分體現(xiàn)論辯的實(shí)用力量。歐陽(yáng)修散文中有許多議論煌煌之作，由于它們持論有據(jù)，邏輯嚴(yán)密，極具批判意識(shí)，也就更容易被作為政治生涯中口誅筆伐的利器，歐陽(yáng)修以此討伐奸邪，伸張正義，使議論成為了治世救弊而實(shí)現(xiàn)散文經(jīng)世致用的一種表達(dá)方式。

對(duì)式(1)和式(3)，有開(kāi)環(huán)頻率特性:

如果給定了PI控制器參數(shù)Kc和Ki，則由式(4)可計(jì)算出R，即可知Ms。對(duì)于指定的Ms，選擇Kc為某個(gè)數(shù)值，調(diào)整Ki滿足Ms的限制，即得到一個(gè)(Kc，Ki)對(duì)。在系統(tǒng)穩(wěn)定條件下讓Kc變化，則滿足Ms限制的Ki跟隨變化，由此得到滿足特定Ms限制的多對(duì)(Kc，Ki)。

基于誤差積分的性能指標(biāo)典型的有誤差平方積分(ISE)、誤差絕對(duì)值積分(IAE)和時(shí)間乘誤差絕對(duì)值積分(ITAE)等。一般地，時(shí)間乘誤差絕對(duì)值積分有較好的響應(yīng)速度［6］。以滿足 Ms限制的(Kc，Ki)對(duì)中 ITAE最小的一對(duì)作為最優(yōu)目標(biāo)是合理的。對(duì)于式(1)描述的過(guò)程，在Ms=1.4的限制下，通過(guò)數(shù)值仿真，尋得ITAE最小的Kc和Ki為:

式中:Tr為相對(duì)時(shí)間系數(shù)，取值在0.1～10之間。

運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，滿足Ms限制的積分增益Ki總有最大值，選積分增益最大作為性能優(yōu)化指標(biāo)也是一種選擇。在式(1)和式(2)中，當(dāng) Tr在0.1 ～10 之間時(shí)，在 Ms=1.4限制下，積分增益最大的Kc及最大值Ki為:

式(7)和式(8)都是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行參數(shù)空間搜索運(yùn)算而得。由于兩式中的Kc和Ki差異并不大，將這兩種方法統(tǒng)稱為靈敏度約束的最優(yōu)PI控制器(maximum-sensitivity constraint optimal PI，MsOPI)。

2.2 自整定方法

不同控制難度Tr的系統(tǒng)，在MsOPI控制下的開(kāi)環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性復(fù)平面如圖2所示。開(kāi)環(huán)頻率特性幾乎都通過(guò)平面中的“o”點(diǎn)，閉環(huán)頻率特性幾乎都通過(guò)平面中的“+”點(diǎn)，而對(duì)象特性與“o”或“+”點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的是圖中的“*”點(diǎn)。

圖2 MsOPI控制下系統(tǒng)特定頻率點(diǎn)Fig.2 System specific frequency points under MsOPI control

系統(tǒng)自整定結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 自整定系統(tǒng)方塊圖Fig.3 Block diagram of auto-tuning system

圖3中，N(A)代表雙通道理想繼電器，它為理想繼電器通道和積分子環(huán)節(jié)串聯(lián)理想繼電器通道的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，其描述函數(shù)為:

式中:br和bi分別為兩個(gè)繼電器的輸出振幅;A為正弦偏差信號(hào)e(t)的振幅。通過(guò)繼電測(cè)試能夠獲取閉環(huán)頻率特性H(jω)穿越圖2所示負(fù)倒描述函數(shù)曲線(圖2中穿越坐標(biāo)原點(diǎn)和“+”點(diǎn)的直線)的點(diǎn)H(jωo)，繼而獲得過(guò)程相應(yīng)點(diǎn)的信息P(jωo)為:

實(shí)際中用一階延時(shí)模型式(1)近似。若已知過(guò)程靜態(tài)增益Kp，則式(1)的頻率特性P(jω)滿足式(10)的辨識(shí)點(diǎn)信息時(shí)，可以得到過(guò)程的時(shí)間常數(shù)Tp和延遲時(shí)間 Lp，即:

式中:ωo為繼電振蕩頻率。由此，依據(jù)式(2)和式(7)或式(8)，可自動(dòng)整定出MsOPI。

3 仿真

3.1 一階延時(shí)過(guò)程

假設(shè)過(guò)程模型和自整定前PI控制器模型分別為:

繼電測(cè)試獲取的閉環(huán)頻率點(diǎn)及由式(10)計(jì)算出的過(guò)程頻率點(diǎn)特性分別為:

式中:ωo=2.3552。依照式(11)、(12)可得辨識(shí)的參數(shù)為Tp=1.0499、Lp=0.5214。于是由式(8)得 MsOPI參數(shù)如表1所示。表中同時(shí)列出了RZN(refine ZN)法PI參數(shù)［12］。兩種PI控制下，系統(tǒng)的設(shè)定值階躍及負(fù)載階躍響應(yīng)如圖4所示。

表1 一階延時(shí)過(guò)程的PI控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of PI controllers for example

圖4 一階延時(shí)過(guò)程階躍響應(yīng)曲線Fig.4 Step responses of FOPDT process

3.2 多容延時(shí)過(guò)程

假設(shè)過(guò)程模型和自整定前PI控制器模型分別為:

繼電測(cè)試獲取的閉環(huán)頻率點(diǎn)及由式(10)計(jì)算出的過(guò)程頻率點(diǎn)特性分別為:

式中:振蕩頻率ωo=0.2013。依照式(11)、(12)得辨識(shí)的參數(shù)為 Tp=7.3618、Lp=5.3057。于是由式(8)得MsOPI參數(shù)如表2所示。

表2 多容延時(shí)過(guò)程的PI控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of PI controller for multi-vessel delay time process

兩種PI控制下系統(tǒng)的設(shè)定值階躍及負(fù)載階躍響應(yīng)如圖5所示。

圖5 多容延時(shí)過(guò)程閉環(huán)階躍響應(yīng)Fig.5 Closed-loop step response of multi-vessel delay time process

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)常規(guī)穩(wěn)定生產(chǎn)過(guò)程，通過(guò)繼電反饋法辨識(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的特征信息獲取了過(guò)程的近似FOPDT模型。在此模型上，采用最大靈敏度值保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，并用ITAE指標(biāo)或最大積分增益優(yōu)化系統(tǒng)的響應(yīng)性能，得到一種最優(yōu)PI控制器。

仿真結(jié)果表明，所提出的繼電自整定最優(yōu)PI控制法是有效的，所得控制系統(tǒng)的時(shí)域階躍響應(yīng)幾乎無(wú)振蕩現(xiàn)象。

［1］Bialkowski W L.Dreams versus reality:a view from both sides of the gap［J］.Pulp and Paper Canada，1993，94(11):19 －27.

［2］Ziegler J G，Nichols N B.Optimum settings for automatic controllers［J］.Transactions of the ASME，1942，64:759 －768.

［3］Cohen G H，Coon G A.Theoretical considerations of retarded control［J］.Transactions of ASME，1953，75:827 －834.

［4］Rivera D E，Morari M，Skogestad S.Internal model control.4.PID controller design［J］.Industrial and Engineering Chemistry Process Design and Development，1986，25:252 －265.

［5］張福波，王國(guó)棟，張殿華，等.PID控制器參數(shù)的ITAE最佳設(shè)定公式［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，26(8):755 －758.

［6］Madhuranthakam C R，Elkamel A，Budman H.Optimal tuning of PID controllers for FOPDT，SOPDT and SOPDT with lead processes［J］.Chemical Engineering and Processing，2008，47:251 －264.

［7］Litrico X，F(xiàn)romion V.Tuning of robust distant downstream PI controllers for an irrigation canal pool:(I)theory［J］.Journal of Irrigation and Drainage Engineering，2006，132(4):359 －368.

［8］王亞剛，許曉鳴.自適應(yīng)魯棒最優(yōu)PI控制器［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2009，35(10):1352 －1356.

［9］Astrom K J，Hagglund T.Automatic tuning of simple regulators with specifications on phase and amplitude margins［J］.Automatica，1984，20(5):645 －651.

［10］Hang C C，Astrom K J，Wang Q G.Relay feedback auto-tuning of process controllers—a tutorial review［J］.Journal of Process Control，2002，12(1):143 －162.

［11］Friman M，Waller K V.A two-channel relay for auto-tuning［J］.Industrial Engineering Chemistry Research，1997，36(7):2662 －2671.

［12］Hang C C，Astrom K J，Ho W K.Refinements of the Ziegler-Nichols tuning formula［J］.IEEE Proceeding of Control Theory and Application，1991，138(2):111 －117.

［13］Skogestad S.Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning［J］.Journal of Process Control，2003，13:291 － 309.