二階差分方程邊值問題解的存在性

張福偉,劉進生

(太原理工大學(xué) 理學(xué)院,太原 030024)

1 引言及主要結(jié)果

解的存在性。其中 T≥3是一個固定的整數(shù),k∈[1,T]=1,2,…,T ,常數(shù) α＜1,β≤1,非線性項f：[1,T]×R1→R1關(guān)于第二個變量連續(xù)。Δ是向前差分算子,即 Δuk-1=uk-uk-1,而 Δ2uk-1=ΔΔuk-1。

由于計算機技術(shù)的高速發(fā)展,使得各種模型的數(shù)值求解成為可能,因而系統(tǒng)的離散化——差分方程的應(yīng)用領(lǐng)域更加廣泛。故近年來有許多作者利用變分方法,結(jié)合臨界點理論研究問題(1)解的存在性,例如文[1-6]及其參考文獻等。作者們應(yīng)用臨界點理論中的強單調(diào)映像原理、山路引理、弱下半連續(xù)性與強制性、偶泛函臨界點定理以及一些其他的臨界點知識,在各種相應(yīng)的假設(shè)條件下證明了問題(1)單個解與多個解的存在性。本文的假設(shè)條件與上述文獻等不同,我們注意到問題(1)解空間的維數(shù)有限,從而僅利用一個有限維空間上泛函臨界點的存在性結(jié)論及鞍點定理,只用一個非常簡單的假設(shè)條件,即可保證問題(1)至少存在一個解。記

本文研究非線性二階差分方程兩點邊值問題

共有 T個特征值,并且滿足條件λT≥λT-1≥…≥λ1＞0.令我們研究當(dāng)Fk≠λj/2時,問題(1)解的存在性,主要結(jié)果如下。

定理 1 如果Fk＜λ1/2或者Fk＞λT/2,則問題(1)至少存在一個解。

由于對滿足條件的任意常數(shù) α,β,λ1及 λT不易求出,為方便定理1假設(shè)條件的驗證,我們給出如下一些直觀推論。

推論1 如果Fk=-∞或者Fk=+∞,則問題(1)至少存在一個解。

推論2 如果F k≤0或者 Fk≥T-(α+β)/2,則問題(1)至少存在一個解。

推論3 如果下列條件之一滿足,則問題(1)至少存在一個解：

則又可以得到下列推論。

推論4 如果 f k＜λ1或者 f k＞λT,則問題(1)至少存在一個解。

推論5 如果f k=-∞或者 f k=+∞,則問題(1)至少存在一個解。

推論6 如果 f k≤0或者 f k≥2T-(α+β),則問題(1)至少存在一個解。

推論7 如果下列條件之一滿足,則問題(1)至少存在一個解：

當(dāng) Fk∈(λj/2,λj+1/2)時,相應(yīng)的結(jié)論需要進一步研究,但本文得到了下列結(jié)果。

定理2 假設(shè) fk=a并且存在某個j∈[1,T-1]使得λj＜a＜λj+1,則問題(1)至少存在一個解。

推論8 假設(shè) f k=a并且存在某個j∈[1,T-1]使得

則問題(1)至少存在一個解。

注1 定理1至定理2及推論1至推論8中涉及到變量k的等式或者不等式均表示對k∈[1,T]一致成立。

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 分別令

容易知道問題(1)等價于非線性方程組

假設(shè)Fk＜λ1/2,下面首先證明

由假設(shè)條件知

再由(9)知,對任意的 M＞0,存在tM＞0,當(dāng) t ＞tM時,

因此(8)成立。而

推論1-7的證明 除推論3及7之外,其余推論顯然成立,下面給出推論3(從而由推論3可得到推論7)的證明。記

那么A=B+Q,而B的特征值λk(B)=

所以推論3及推論7成立。

定理2的證明 改寫泛函I為T階單位矩陣。那么

注意到

而 f：[1,T]×R1→R1關(guān)于第二個變量連續(xù),空間H維數(shù)有限,所以 g′：H →H 是緊算子。又因為 λj＜a＜λj+1,于是矩陣A-a I可逆。因此,根據(jù)文[7]的引理5.1及注5.2知泛函J在H中滿足P.S.條件。

而當(dāng)u∈V⊥j并且‖u‖→∞時,

從而由文[9]的鞍點定理知泛函J在H中至少存在一個臨界點,所以問題(1)至少存在一個解。

利用定理2,結(jié)合(11)式,即可得到推論8。

注2 當(dāng)Fk=λj/2(此時稱問題(1)共振)時,需要增加其它的假設(shè)條件才能確保問題(1)解的存在性,其研究較為復(fù)雜,我們將另行考慮,類似的結(jié)果也可見文[10]。

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