基于三次樣條函數(shù)的數(shù)控插補算法研究

孫旭霞，張 英

(西安理工大學(xué) 自動化與信息工程學(xué)院，陜西 西安710048)

隨著微電子技術(shù)、計算機技術(shù)、自動控制技術(shù)和通信技術(shù)的不斷進步，現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的發(fā)展趨向高性能化。其中性能的完善主要體現(xiàn)在高速度、高精度、高可靠性、多功能化、網(wǎng)絡(luò)化、小型化、多樣化、智能化和開放性等方面。插補技術(shù)是數(shù)控系統(tǒng)的核心，為使高檔數(shù)控系統(tǒng)能發(fā)揮其功能，高精度、高速度、高效率的插補算法成為目前研究需要突破的難點[1]。

在數(shù)控插補裝置上，針對船身外放樣時的樣條曲線，汽車、飛機及各種產(chǎn)品的外形曲線等無法用標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)方程描述的復(fù)雜曲線，一般都采用直線逼近或圓弧逼近的方法來實現(xiàn)其插補，然而這種方法所編寫的算法較為復(fù)雜，且在計算過程中還會產(chǎn)生計算誤差及誤差的累積，降低了插補的精度。而三次樣條函數(shù)基于可使曲線各分段處保持一定程度的光滑性，其具有很好的保凸性和光順性，且能保持曲線的連續(xù)性。同時三次樣條函數(shù)的應(yīng)用范圍廣泛，特別是在給定型值點的曲線擬合方面，如在插補裝置中實現(xiàn)凸輪、汽車外輪廓等曲線。因此對于某些復(fù)雜零件，采用三次樣條函數(shù)的插補方法描述其輪廓是一種極為有效的手段。基于三次樣條函數(shù)的上述特性，本文描述了三次樣條曲線形成曲線輪廓并在數(shù)控插補裝置上實現(xiàn)插補的過程。該方法既能提高插補精度，又使計算不太復(fù) 雜[2，3]。

1 三次樣條函數(shù)的定義

三次樣條函數(shù)的定義如下：設(shè)有n個離散點，分別為 p1(x1，y1)、p2(x2，y2)、…、pn(xn，yn),且 x1＜x2＜…＜xn，若曲線 S(x)滿足以下幾個條件則稱 S(x)為區(qū)間[x1，xn]上以xj(j=1，2，…，n)為型值的三次樣條函數(shù)。

（1）S(x)通過所有型值點，且 S(xj)=yj(j=1，2，…，n)；

（2）S(x)在區(qū)間[x1,xn]內(nèi)，存在連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)；

（3）S(x)在 每 個 子 區(qū) 間[xj，xj+1]內(nèi) ， 均 可 采 用 三 次 多項式來表示，即 Sj(x)=aj+bj(x-xj)+cj(x-xj)2+dj(x-xj)3，(j=1，2，…，n-1)。

下文將利用型值點處二階導(dǎo)數(shù)相等的邊界條件來求得三次樣條函數(shù)，并給出具體的推導(dǎo)過程。

2 三次樣條曲線輪廓的擬合原理

利用三次樣條函數(shù)解決復(fù)雜曲線插補問題的思路是：在被插補的復(fù)雜曲線上找到一定數(shù)量的型值點，采用三次樣條求出插補中間點，然后利用相鄰兩端曲線交點處的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相等這一條件，實現(xiàn)整段曲線連續(xù)且在曲線連接處平滑過渡的效果。

首先構(gòu)造滿足條件的三次樣條函數(shù)S(x)的表達式。假定 S′j(x)=mj(j=1，2，…，n)，則由分段三次埃爾米特插值公式[4]可得：

其中 αj(x)、βj(x)是插值基函數(shù)。 顯然，表達式中 S(x)及S′(x)在 整 個 區(qū) 間[a，b]上 連 續(xù) ，且 滿 足 S(xj)=yj(j=1，2，…，n)，只要求得mj，三次樣條函數(shù)就可以構(gòu)造成功。下面是mj的求解過程。

利用插值基函數(shù)需滿足的條件求出 αj(x)、βj(x)，即可得出 S(x)在[xj，xj+1]上的表達式為：

其中 hj=xj+1-xj。 對 S(x)在[xj，xj+1]上求二次導(dǎo)數(shù)得：

由式(3)可推導(dǎo)出：

同理可得 S″(x)在區(qū)間[xj-1，xj]的表達式為：

則：

由條件 S″(xj+0)=S″(xj-0)(j=2，3，…，n-1)，可得：

其中：

若邊界條件為 S″(x1)=S″(xn)=0，即滿足自然邊界條件[3，5]，則得兩端的方 程為：

式(8)、式(10)用矩陣形式表示為 Am=g，即：

將上式中的A分解為下三角矩陣L及單位上三角矩陣U的乘積，即A=LU，其中 L、U如式(12)所示。

利用矩陣乘法公式及追趕法求得mj(j=1，…，n)。

最終由式(2)計算出 S(x)。

3 基于三次樣條函數(shù)的插補算法

根據(jù)以上的擬合原理，結(jié)合插補算法原理，可以生成基于三次樣條函數(shù)的插補算法，步驟如下：

（1）根據(jù)曲線選出 n個型值點，其坐標(biāo)值為(xj，yj)，(j=1，2，…，n)，并使得 x1＜x2…＜xn。

（2）求 mj(j=1，…，n)的值。

令 hj=xj+1-xj；μj=hj-1/(hj-1+hj)；

λj=hj/(hj-1+hj)；mj=yj′；

求得：

取 μ1=1，λn=1；

得：g1=3(y2-y1)/h1，gn=3(yn-yn-1)/hn-1；

利用矩陣乘法公式[6-8]得：

利用追趕法根據(jù)LR=g得：

由Um=R得：

（3）求三次樣條函數(shù)的系數(shù)。經(jīng)過上面一系列的計算之后，可得該函數(shù)的系數(shù)如下：

（4）求三次樣條函數(shù)的表達式。將式(17)代入式(18)中即可得出三次樣條函數(shù)的表達式：

以[xj，xj+1]為例，該算法的插補過程如下：此為三次樣條曲線中第j段的插補，x軸以xj為起點坐標(biāo)，x每次累加△x，再根據(jù)函數(shù)表達式計算出Sj(x)的值，照此循環(huán)計算，就可算出每一段函數(shù)每一點x所對應(yīng)的函數(shù)值，最終得到插補點X、Y軸的坐標(biāo)值，并輸出每一點的坐標(biāo)值，直到x=xj+1，整段的插補即完成了。其中△x為正整數(shù)，且其所取值必須使得（xj+1-xj）/△x為整數(shù)，并確保Y坐標(biāo)值的變化量大于1。其他段按上述原理繼續(xù)進行相應(yīng)的插補計算。

4 在數(shù)控裝置上的實現(xiàn)

4.1 數(shù)控裝置的介紹

本文使用以S3C2410為主芯片的ARM開發(fā)板作為數(shù)控裝置。ARM采用RISC結(jié)構(gòu)，能在一個機器周期內(nèi)執(zhí)行一條指令。此開發(fā)板屬于ARM9處理器系列，具有ICache和DCache，提高了存儲器訪問的效率，具有64 MB NAND Flash和64 MB SDRAM的儲存容量。其晶振頻率為12 MHz，而時鐘控制邏輯能夠產(chǎn)生4倍晶振頻率的PCLK時鐘信號，即為48 MHz。用該PCLK值計算所得的定時器輸入頻率高，從而使得定時時間能設(shè)定得很短。以上特性使此插補算法能在該裝置上得以運行，且具有較高的插補速度，以實現(xiàn)三次樣條曲線的插補。

在ARM開發(fā)板上外接兩個步進電機，分別用于實現(xiàn)X軸和Y軸方向的插補。通過改變定時計數(shù)器的初值，使得脈沖輸出速度不同，從而實現(xiàn)步進電機以不同速度沿X軸和Y軸運行。

三次樣條曲線的插補算法流程如圖1所示。

圖1 插補算法的流程

4.2 實驗結(jié)果及分析

為了驗證三次樣條函數(shù)插補方法的可行性，取一組滿足三次樣條函數(shù)的型值點，根據(jù)三次樣條函數(shù)的擬合原理編程，擬合出如圖2所示的三次樣條曲線。

圖2是整個三次樣條曲線的輪廓，為了把這種方法應(yīng)用在數(shù)控插補上，還必須在此基礎(chǔ)上取適當(dāng)?shù)牟逖a點，在ADS1.2集成環(huán)境下，用ARM開發(fā)板進行調(diào)試，在此裝置上運行之后，使得步進電機依插補結(jié)果運轉(zhuǎn)，運行結(jié)果如圖3所示。

按照以上兩圖的實現(xiàn)結(jié)果進行如下分析：圖2是按照擬合原理擬合出來的完整三次樣條曲線的輪廓，該曲線相鄰兩端交點處一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相等，具有很好的光順性，且保持良好的連續(xù)性。圖3是在三次樣條曲線基礎(chǔ)上取適當(dāng)?shù)牟逖a點進行插補的結(jié)果，取的插補點越密集，插補結(jié)果就越接近真實曲線，精度也就越高。由插補算法可知Y坐標(biāo)值是根據(jù)X坐標(biāo)值計算所得，最終求得y的變化量，因此x所對應(yīng)的I/O每輸出一個脈沖，y對應(yīng)的I/O輸出的脈沖數(shù)根據(jù)計算結(jié)果而變化。由于插補的每個點都確保在此三次樣條曲線上，比起用直線或圓弧逼近曲線的方法，插補效果在準(zhǔn)確度和精確度上明顯提高。

在數(shù)控裝置上，利用三次樣條函數(shù)不僅能夠進行簡單曲線的插補計算，對于無法通過直線、圓弧以及其他二次曲線來描述其輪廓的復(fù)雜零件，同樣能實現(xiàn)其插補，同時具有很好的保凸性和光順性，且保證了插值函數(shù)的連續(xù)性及插補的精度，增加了數(shù)控裝置的曲線應(yīng)用范圍。本文以ARM開發(fā)板作為數(shù)控裝置，對此插補算法進行了驗證，該方法算法簡單，易實現(xiàn)，精度較高，插補效果好。

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