例談含絕對(duì)值不等式的幾種解法

【摘要】絕對(duì)值是與實(shí)數(shù)有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，在學(xué)習(xí)如何解含絕對(duì)值不等式時(shí)，有的同學(xué)被各種各樣的方法弄得無(wú)所適從． 解含絕對(duì)值不等式的基本思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式來(lái)解，而后，其解法與一般不等式的解法相同. 因此，掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法和途徑是解題關(guān)鍵．本文通過(guò)例子談?wù)労^對(duì)值不等式的幾種常見(jiàn)解法．

【關(guān)鍵詞】例談 數(shù)學(xué)思想 絕對(duì)值不等式 解法

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1009-8585(2011)05-0-04

對(duì)含有絕對(duì)值特別是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值不等式的題目，學(xué)生常感到難做、且易錯(cuò).其實(shí)，解決此類問(wèn)題，還是有規(guī)律可循的. 現(xiàn)試舉例談?wù)劷^對(duì)值不等式的幾種常用解法.

1 引言

要掌握“含絕對(duì)值不等式的解法”，掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法和途徑是關(guān)鍵．如何才能去掉絕對(duì)值符號(hào)呢？首先要理解實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的概念和性質(zhì)，還要理解和掌握絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)．關(guān)于實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的概念和性質(zhì)以及絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，我們?nèi)菀椎玫揭韵陆Y(jié)論:

(1)若x∈R，則有:;

(2)若x∈R，則有:;

(3)若x， a∈R，且a>0， 則有:1)|x|

即不等式的解集是;

2)|x|>ax2>a2x>a或x<-a;

即不等式的解集是

可推廣為:

(4)若a，b∈R，則有:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

(5)若a，b∈R，則有:當(dāng)a≥b時(shí)，|a-b|=|b-a|=a-b;

當(dāng)a

即有口訣:無(wú)論是大減小，還是小減大，去掉絕對(duì)值后，結(jié)果都是大減小．

(6)若a，b∈R，則有:|a-b|的幾何意義是表示實(shí)(數(shù))軸上點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的

距離;|a|的幾何意義:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離

(7)推論:

(8)當(dāng)

根據(jù)以上絕對(duì)值和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐，我們歸納出下列關(guān)于含絕對(duì)值不等式的幾種常用解法，分別是:平方法、公式法、定義法、零點(diǎn)分區(qū)間(段)法、幾何法等.下面分別舉例說(shuō)明:

2 用“平方法”解含絕對(duì)值不等式

例1:解不等式

解:由于|x－1|≥0，|x+a|≥0，所以兩邊平方后有:

即有，整理得

當(dāng)2a+2>0即a>－1時(shí)，不等式的解為;

當(dāng)2a+2=0即a=-1時(shí)，不等式無(wú)解;

當(dāng)2a+2<0即a<-1時(shí)，不等式的解為.

例2:解不等式

解:利用平方法，

原不等式可化為:兩邊平方得

解得，所以原不等式的解集為

例3:解不等式||x+3|-|x-3||>3.

解:(用平方法脫去絕對(duì)值符號(hào))對(duì)原不等式兩邊平方，得

兩邊再平方得

∴原不等式的解集為.

例4:解不等式|x+1|>2-x.

解:(用平方法脫去絕對(duì)值符號(hào))對(duì)原不等式兩邊平方，得

∴不等式的解為;

注意:上述對(duì)原不等式兩邊平方需要前提條件:x<2，所以得出結(jié)果后要檢驗(yàn)．

檢驗(yàn):當(dāng)x>2 時(shí)，即2-x<0 ，此時(shí)|x+1|>2-x 恒成立，

∴當(dāng)x>2時(shí)不等式仍成立;

當(dāng)x=2 時(shí)，得3>0即|x+1|>2-x恒成立，

∴當(dāng)x=2時(shí)不等式仍成立;

綜合上述，知不等式的解為.

[小結(jié)]解含有絕對(duì)值的不等式的關(guān)鍵是把含絕對(duì)值符號(hào)的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后再求解，但這種轉(zhuǎn)化必須是等價(jià)轉(zhuǎn)化，尤其是在用平方法去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，一定要注意兩邊非負(fù)這一條件，否則就會(huì)擴(kuò)大或縮小解集的范圍． 例如對(duì)上述例4作如下修改:解不等式|x+1|>x-2.我們?nèi)杂闷椒椒ń猓瑢?duì)原不等式兩邊平方，得

此時(shí)，如果直接下結(jié)論說(shuō)不等式的解為，就出錯(cuò)了．

事實(shí)上，經(jīng)檢驗(yàn)知:當(dāng)x>2時(shí)，原不等式|x+1|>x-2成立;當(dāng)x<2時(shí)，x-2<0，而0≤|x+1|，所以|x+1|>x-2成立;當(dāng)x=2時(shí)，|x+1|>x-2顯然成立．

綜合上述，知不等式|x+1|>x-2的解集應(yīng)為R(而不是)．

3 用“公式法”解含絕對(duì)值不等式

例5:解不等式.

解:原不等式等價(jià)于:或.

整理，得，或.

∴原不等式的解集是.

例6:解不等式1≤| 2x-1 | < 5.

分析:怎么轉(zhuǎn)化？怎么去掉絕對(duì)值？

解法一:原不等式等價(jià)于

解①得:1≤x<3 ;解②得:-2

∴原不等式的解集為 {x|-2

解法二:原不等式等價(jià)于1≤2x-1<5或-5<2x-1≤-1

即2≤2x<6 或-4<2x≤0.

解得 1≤x<3 或2

∴原不等式的解集為{x|-2

小結(jié):比較兩種解法，第二種解法比較簡(jiǎn)單，在解法二中，去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)是:

a≤| x |≤ba≤x≤b或a≤-x≤ba≤x≤b或-b≤x≤-a (b>a>0)．

例7:解不等式:|4x-3|>2x+1.

解:(用公式法)分析:把右邊看成常數(shù)c，就同一樣

∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1)x>2 或x<，

∴原不等式的解集為{x| x>2或x<}.

例8:解不等式｜x-x2-2｜>x2-3x-4;

解:分析:可按不等式性質(zhì)公式來(lái)解.

原不等式等價(jià)于:

x-x2-2>x2-3x-4①

或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②

解①得:1-

解②得:x>-3

故原不等式解集為｛x｜x>-3｝

[注意] ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜

而x2-x+2＝(x-)2+>0

所以｜x-x2-2｜中的絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉.

故原不等式等價(jià)于x2-x+2>x2-3x-4

解得:x>-3

∴原不等式解集為｛x>-3｝.

例9:解關(guān)于x的不等式.

解:原不等式化為:，在求解時(shí)由于a+1的正負(fù)不確定，需分情況討論.

①當(dāng)a+1≤0即a≤－1時(shí)，由于任何實(shí)數(shù)的絕對(duì)值非負(fù)，∴解集為.

②當(dāng)a+1>0即a>－1時(shí)，不等式變?yōu)?－(a+1)<2x+3< a+1 =>< x <.

綜上得:①

②

4 用“定義法”解含絕對(duì)值不等式

例10:解不等式:|4x-3|>2x+1.

解:分析:關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，用絕對(duì)值定義得

原不等式等價(jià)于，

即， ∴x>2或x<，

∴原不等式的解集為{x| x>2或x<}.

例11:用“定義法”來(lái)解上述例２:解不等式

解:利用絕對(duì)值的定義

原不等式等價(jià)于(I)或(II)

解(I)得

解(II)得

綜合上述，原不等式的解集為.

5 用“零點(diǎn)分區(qū)間(段)法”解含絕對(duì)值不等式

所謂零點(diǎn)分區(qū)間(段)法是指:若數(shù)x1，x2，……，xn分別使含有|x－x1|，|x－x2|，……，|x－xn|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零，稱x1，x2，……，xn為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn)，零點(diǎn)x1，x2，……，xn將數(shù)軸分為m+1段，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡(jiǎn)化式，從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來(lái)解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式，最后求出分區(qū)間解集的并集作為所求的絕對(duì)值不等式的解．零點(diǎn)分段法是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化.

例12:解不等式:|x-3|-|x+1|<1.

解:分析:關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值．

用零點(diǎn)分區(qū)間(段)討論法，絕對(duì)值|x-3|和|x+1|的零點(diǎn)分別是x=3和x=－1，它們將實(shí)軸分為三段:A=、B=和C=，

①在A中，即當(dāng)時(shí)，

∴不等式變?yōu)?∴4<1，解集為

②在B中，即當(dāng)時(shí)，

∴不等式變?yōu)?，

∴解集為

③在C中，即當(dāng)時(shí)，

不等式變?yōu)?-4<1∴解集為

綜合上述，原不等式的解集為上述①②③解集的并集，即

∴原不等式的解集為{x|x>}.

例13:用“零點(diǎn)分段法”解例２:解不等式.

解:分析:原不等式等價(jià)于．

用零點(diǎn)分段討論法，絕對(duì)值|2x+1|和|2x-4|的零點(diǎn)分別是x=-和x=2，它們將實(shí)軸分為三段:

A=、B=和C=，

①在A中，即當(dāng)時(shí)，

∴不等式變?yōu)?∴－5<0∴解集為

②在B中，即當(dāng)時(shí)，

∴不等式變?yōu)?

∴解集為

③在C中，即當(dāng)時(shí)，

不等式變?yōu)?5<0，解集為

綜合上述，原不等式的解集為上述①②③解集的并集，即

∴原不等式的解集為.

例14:解不等式:| x+2 | + | x | >4.

解:分析:用零點(diǎn)分段討論法 共有二個(gè)零點(diǎn)-2、0，將實(shí)軸分成三段:

①當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式化為-(x+2)-x>4即x<-3;

②當(dāng)-2x即2>4.;

③當(dāng)x≥0時(shí)，不等式化為x+2+x>4即x>1

綜上，原不等式的解集為{x | x<-3或x>1}.

例15:解不等式|x-2|+|x+3|>5.

解:分析:用零點(diǎn)分段討論法 共有二個(gè)零點(diǎn)-3、2，將實(shí)軸分成三段討論:

當(dāng)x≤-3時(shí)，原不等式化為(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3;

當(dāng)-355>5，無(wú)解;

當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式為(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.

綜合上述得:原不等式解集為｛x｜x>2或x<-3｝.

6 用“幾何(數(shù)形結(jié)合)法”解含絕對(duì)值不等式

所謂“幾何法”即利用絕對(duì)值的幾何意義將不等式(代數(shù)知識(shí))轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)來(lái)求解．

例16:解不等式|x-3|-|x+1|<1

解:分析:用“數(shù)形結(jié)合(幾何)”法解.

從形的方面考慮，不等式|x-3|-|x+1|<1表示數(shù)軸上到3和-1兩點(diǎn)的距離之差小于1的點(diǎn).

從上面示意圖可看出，數(shù)軸上點(diǎn)到3和-1兩點(diǎn)的距離之差等于1，所以容易知道:

當(dāng)x>時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)x到3和-1兩點(diǎn)的距離之差小于1，

∴原不等式的解集為{x|x>}.

例17:用“幾何(圖象)法”解例２:解不等式.

解:分析:原不等式等價(jià)于，即

在同一直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)的圖象(如下圖):

由圖可知，當(dāng)時(shí)，，

∴原不等式的解集為.

例18:對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x+1|－|x－2|>k恒成立，求k的取值范圍．

解:分析:要使|x+1|-|x-2|>k對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要|x+1|-|x-2|的最小值大于k．因|x+1|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)x到－1的距離，|x-2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)x到2的距離，|x+1|-|x-2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)x到-1與2的距離的差，其最小值可求．

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，－1，2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B，則原不等式|x+1|-|x-2|>k變?yōu)?|PA|-|PB|>k.

∵|AB|=3，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|x+1|-|x-2|≥-3，

即 |x+1|-|x－2|的最小值為-3，

故當(dāng)k<-3時(shí)，原不等式恒成立，所以k的取值范圍為:k<-3.

同理1:從形的方面考慮，要解不等式|x+2|+|x|>4，注意到|x+2|+|x|>4的解就是表示數(shù)軸上到-2和0兩點(diǎn)的距離之和大于4的點(diǎn)

從數(shù)軸可以看出:取數(shù)軸上點(diǎn)1右邊的點(diǎn)或取點(diǎn)-3左邊的點(diǎn)到點(diǎn)-2、0的距離之和均大于4

∴原不等式的解集為 {x|x<-3或 x>1}.

同理2:從形的方面考慮，要求|x-1|+|x-2|的最小值，只要注意到:|x-1|+|x-2|的幾何意義是:表示數(shù)軸上到1和2兩點(diǎn)的距離之和．

從數(shù)軸容易看出:若x[1、2]，則x到1和2兩點(diǎn)的距離之和等于1是最小值;若x>2或x<1，x到1和2兩點(diǎn)的距離之和均大于1，所以|x-1|+|x-2|的最小值為1.

總之，含絕對(duì)值不等式的解法是數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，也是學(xué)生感到難學(xué)的一部分內(nèi)容. 解含有絕對(duì)值的不等式的關(guān)鍵是把含絕對(duì)值符號(hào)的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后再求解，但這種轉(zhuǎn)化必須是等價(jià)轉(zhuǎn)化. 學(xué)生要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸思想方法來(lái)處理絕對(duì)值不等式的問(wèn)題．對(duì)數(shù)學(xué)思想的靈活應(yīng)用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向更深層次的一個(gè)標(biāo)志.它能指導(dǎo)我們有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)探索解題方向．

參考文獻(xiàn)

[1]劉明星.例談含絕對(duì)值不等式的解法.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2010，3.

[2]王正杰.例談一類含絕對(duì)值不等式的解法.教育與教學(xué)研究.2008，1.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文