GNSS衛(wèi)星三種站心極坐標(biāo)的關(guān)系*

劉長(zhǎng)建,黃獻(xiàn)波,吳洪舉

(1.信息工程大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,河南 鄭州450052;2.河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)基建處,河南 鄭州450052)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)的應(yīng)用中,有一類坐標(biāo)系常用于描述GNSS衛(wèi)星與測(cè)站的相對(duì)位置關(guān)系,稱為站心坐標(biāo)系[1-2],有時(shí)也稱為站心地平坐標(biāo)系[3],可具體再分為站心直角坐標(biāo)系和站心極坐標(biāo)系,二者一一對(duì)應(yīng),很容易相互轉(zhuǎn)換,但前者常被用作求取后者的過(guò)渡。

站心直角坐標(biāo)系通常取左手坐標(biāo)系。有三種常用的站心直角坐標(biāo)系,根本區(qū)別在于z軸指向不同,分別為測(cè)站參考橢球面外法線方向、測(cè)站鉛垂線上方向、測(cè)站地心向徑方向(相應(yīng)的站心極坐標(biāo)系后文簡(jiǎn)稱為站心極坐標(biāo)系1、站心極坐標(biāo)系2、站心極坐標(biāo)系3)。鑒于三種站心直角坐標(biāo)系關(guān)系簡(jiǎn)單,且實(shí)用中又經(jīng)常使用站心極坐標(biāo)系,故本文主要討論三種站心極坐標(biāo)系的關(guān)系。

傳統(tǒng)大地測(cè)量中關(guān)于站心極坐標(biāo)系1和站心極坐標(biāo)系2的關(guān)系是在高度角很小的情況下給出的近似公式[4-5],不再適用于GNSS衛(wèi)星,其關(guān)系式需要重新給出。此外,對(duì)于三種站心極坐標(biāo)的誤用或近似代替情況,其差別如何,也是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。

1 站心極坐標(biāo)系1(A1,z1,ρ1)

站心極坐標(biāo)系一般都有相應(yīng)的站心直角坐標(biāo)系與之對(duì)應(yīng),為便于理解,可先從后者開(kāi)始。如圖1所示,原點(diǎn)位于測(cè)站i,z軸與測(cè)站橢球面法線重合,指向天頂方向,x軸位于測(cè)站大地子午面內(nèi),指向北極方向,y軸與x軸、z軸構(gòu)成左手系。相應(yīng)該直角坐標(biāo)系的站心極坐標(biāo)系可用(A1,z1,ρ1)表示,它們?cè)c(diǎn)相同,其中,衛(wèi)星j的方位角A1由 x軸正向順時(shí)針量取,范圍[0°～360°],天頂距由z軸正向向下量取,范圍[0°～180°],極距ρ1為測(cè)站i至衛(wèi)星j的距離。

圖1 站心極坐標(biāo)系

很多文獻(xiàn)中已給出衛(wèi)星j在i-xyz坐標(biāo)系的直角坐標(biāo),即

或

衛(wèi)星j的站心極坐標(biāo)(A1,z1,ρ1)為

2 站心極坐標(biāo)系2(A2,z2,ρ2)

如果將圖1中的z軸取為測(cè)站鉛垂線上方向,x軸位于測(cè)站天文子午面內(nèi),y軸仍與x軸、z軸構(gòu)成左手系,則可得到站心直角坐標(biāo)系2。這種坐標(biāo)系具有明顯的實(shí)際意義,因?yàn)閮x器垂直軸一般都要求與測(cè)站鉛垂線重合。相應(yīng)的站心極坐標(biāo)系可用(A2,z2,ρ2)表示,其量取方法和范圍同站心極坐標(biāo)系1。

可仿照文獻(xiàn)中的推導(dǎo),衛(wèi)星在站心直角坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)為

或

式(4)、(5)中:φi、λi為測(cè)站的天文緯度和經(jīng)度;為衛(wèi)星在站心直角坐標(biāo)系 2下的坐標(biāo)向量;ΔXij仍為地心直角坐標(biāo)系O-XYZ下測(cè)站至衛(wèi)星的向量;M2為正交變換矩陣。

衛(wèi)星j的站心極坐標(biāo)(A2,z2,ρ2)為

3 站心極坐標(biāo)系3(A3,z3,ρ3)

如果將圖1中的z軸取為地心至測(cè)站的向徑方向,x軸位于測(cè)站大地子午面內(nèi),y軸與x軸、z軸構(gòu)成左手系,則可得到站心直角坐標(biāo)系3。相應(yīng)的站心極坐標(biāo)系3可用(A3,z3,ρ3)表示,它常用于求取單層電離層穿刺點(diǎn)的坐標(biāo),量取方法和范圍也同站心極坐標(biāo)系1。

類似地,衛(wèi)星在站心直角坐標(biāo)系3中的坐標(biāo)為

或

式(7)、(8)中:φi、Li為測(cè)站的球心緯度和大地經(jīng)度為衛(wèi)星在站心直角坐標(biāo)系3下的坐標(biāo)向量;ΔXij仍為地心直角坐標(biāo)系O-XYZ下測(cè)站至衛(wèi)星的向量;M3為正交變換矩陣。

衛(wèi)星j的站心極坐標(biāo)(A3,z3,ρ3)為

4 GNSS衛(wèi)星三種站心極坐標(biāo)的關(guān)系

由于M1、M2、M3為正交矩陣,對(duì)(2)、(5)、(8)三式分別取模,易得 ρ1=ρ2=ρ3;Ai(i=1,2,3)之間的關(guān)系及zi(i=1,2,3)之間的關(guān)系可由圖2推出。圖2為站心單位球示意圖:J點(diǎn)為衛(wèi)星j的球面投影;Z1、Z2、Z3分別為測(cè)站橢球面外法線方向、鉛垂線上方向、地心向徑方向與球面的交點(diǎn);P為平移后的地軸北極方向與球面的交點(diǎn);大圓弧PG為平移后的起始大地子午面或起始天文子午面與球面的交線;u為測(cè)站幾何垂線偏差,一般約十幾秒[5],θ為其方向;u1為大地緯度與地心緯度之差,最大約11.8′[4]。下面以 A1、z1為參考,先討論A2、z2與它們的關(guān)系,然后再討論A3、z3與它們的關(guān)系。

當(dāng)觀測(cè)目標(biāo)的高度角很小時(shí),如小于5°,傳統(tǒng)大地測(cè)量中通過(guò)一些近似,顯式地給出了 A1、A2和z1、z2的差值公式,但對(duì)于空間衛(wèi)星,這一前提顯然失效,因此,只能隱式地給出這一差值或通過(guò)分析給出差值的變化范圍。根據(jù)球面三角形有關(guān)公式,由圖2可得

其中:

圖2 站心單位球

β1為球面角Z1Z2P,對(duì)具體的測(cè)站為固定值,β2為球面角Z1Z2J,隨 A1、z1變化而變化,故一般情況下,A2為 A1、z1的非線性函數(shù),z2同理。結(jié)合以上諸式及圖2,可分析一些特殊情況下它們差值的規(guī)律:

1)對(duì)于A1、A2,衛(wèi)星位于Z1、Z2時(shí),A1、A2無(wú)意義;當(dāng)A1為 θ或 θ+180°時(shí),β2為0°或180°,A2、A1之差為常數(shù);當(dāng)z1、z2相等時(shí),A2、A1之差為A1的線性函數(shù);當(dāng)衛(wèi)星位于極點(diǎn)(北極或南極)時(shí),二者相等,為0°或180°;當(dāng)衛(wèi)星由Z1Z2P區(qū)域趨于北極P時(shí),A2、A1之差趨于360°;當(dāng)衛(wèi)星由P1P2P區(qū)域趨于北極P時(shí),A2、A1之差趨于-360°。

2)對(duì)于z1、z2,利用球面三角形大角對(duì)大邊、大邊對(duì)大角的性質(zhì),可以證明二者之差的絕對(duì)值在[0,u]內(nèi);當(dāng)A1為θ或θ+180°時(shí)且衛(wèi)星不在弧段z1z2內(nèi)及其球?qū)ΨQ的弧段內(nèi)時(shí)(不含端點(diǎn)),二者之差的絕對(duì)值為u;當(dāng)z1、z2相等時(shí),即衛(wèi)星位于過(guò)弧段z1z2中點(diǎn)且與該圓弧正交的大圓弧上時(shí),二者之差的絕對(duì)值為0。

以上是A2、z2與A1、z1的關(guān)系分析,將θ取為0,u取為u1,φ取為 φ時(shí),類似地可以得出 A3、z3與A1、z1的關(guān)系;此外,A2、z2與 A3、z3的關(guān)系也可由上述討論類似得出。

表1給出了由導(dǎo)航星歷算出的北半球某中緯度站全天所有GPS衛(wèi)星極坐標(biāo)2與極坐標(biāo)1的差值統(tǒng)計(jì)情況,表2為極坐標(biāo)3與極坐標(biāo)1的差值統(tǒng)計(jì)情況,計(jì)算中,假定該站的u=15",θ=20°,算出的B-φ=11′20.0559″。

表1 極坐標(biāo)2與極坐標(biāo)1差值統(tǒng)計(jì)情況

表2 極坐標(biāo)3與極坐標(biāo)1差值統(tǒng)計(jì)情況

需說(shuō)明的是,由于GPS星座及按30″采樣間隔進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的原因,表1、表2并沒(méi)有反映所有可能的差值情況,但可以看出,方位角有時(shí)相差很大,最大達(dá)到了幾十度。可以將A1、z1作為自變量,進(jìn)一步細(xì)分間隔,按式(10)、(11)進(jìn)行模擬計(jì)算統(tǒng)計(jì),由于其規(guī)律和上述分析一致,這里不再列出。

5 結(jié) 論

GNSS衛(wèi)星三種站心極坐標(biāo)的關(guān)系中,它們的極距均相等;極坐標(biāo)2的天頂距與極坐標(biāo)1的天頂距之差最大不超過(guò)測(cè)站的幾何垂線偏差,極坐標(biāo)3的天頂距與極坐標(biāo)1的天頂距之差最大不超過(guò)測(cè)站的大地緯度與球心緯度之差;它們的方位角之差變化比較復(fù)雜,最大差值接近±360°。在使用GNSS衛(wèi)星不同站心極坐標(biāo)時(shí),或做某些近似時(shí),尤其應(yīng)注意方位角的差異。

[1] 周忠謨,易杰軍,周 琪.GPS衛(wèi)星測(cè)量原理與應(yīng)用[M].北京:測(cè)繪出版社,2004.

[2] 李征航,黃勁松.GPS測(cè)量與數(shù)據(jù)處理[M].湖北:武漢大學(xué)出版社,2005.

[3] Xu Guo-chang.GPS theory,algorithms and applications[M].Springer,2007.

[4] 熊 介.橢球大地測(cè)量學(xué)[M].北京:解放軍出版社,1988.

[5] 呂志平,張建軍,喬書波.大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:解放軍出版社,2005.