一類非線性系統軌線的全局分析

　　摘 要： 為了研究平面自治系統的軌線在全平面上的分布情況，本文通過考察有限遠奇點、無限遠奇點、閉軌來進行該非線性系統軌線的全局結構分析.
　　關鍵詞： 奇點 閉軌 Poincare′變換
　　
　　分析系統
　　=x（x+by+1）?勖P（x，y）=y（x+by-b）?勖Q（x，y）（b＞0）（1）
　　的軌線的全局結構.
　　解：1.分析有限遠奇點，解方程組
　　x（x+by+1）=0y（x+by-b）=0
　　可得有限遠奇點為O（0，0），E（0，1），E（-1，0）.
　　對應于奇點O（0，0）的特征方程為λ+（b-1）λ-b=0，特征根λ=1，λ=-b＜0，O（0，0）是鞍點.
　　對應于奇點E（0，1），有
　　=b+1，=0，
　　=1，=b.
　　特征方程為b+1-λ 01 b-λ=（b+1-λ）（b-λ）=0，特征根λ=b+1，λ=b.E（0，1）是不穩定結點.
　　對應于奇點E（-1，0），有
　　=-1，=-b，
　　=0，=-1-b.
　　特征方程為-1-λ -b0 Wgv8IoMh2Cm6Qtw5ZcgItA== -1-b-λ=（-1-λ）（-1-b-λ）=0，特征根λ=-1，λ=-b-1.
　　E（-1，0）是穩定結點.
　　2.討論閉軌，由于x=0，y=0都是解，奇點A（0，0），A（0，1），A（-1，0）分別落在這兩條直線上，故方程組（1）無閉軌線.
　　3.討論無窮遠奇點.
　　（ⅰ）作Poincare′變換
　　u=，z=，
　　將系統（1）化成
　　=-u-bz=-bu-z-1（2）
　　（ⅱ）求無窮遠奇點并判斷其類型，方程組（2）在z=0上無奇點.
　　（ⅲ）在vOz平面上補充討論，令
　　v=，z=，
　　（1）變為
　　=（1+b）v=-v+bz-b
　　（0，0）顯然不是此系統的奇點.所以此系統不存在無窮遠奇點.
　　參考文獻：
　　［1］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩定性方法［M］.北京：科學出版社，2001.
　　［2］張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮喜.微分方程定性理論［M］.北京：科學出版社，1985.