一個不等式猜想的證明

摘要：本文利用微積分中拉格朗日數乘法證明了文中的猜想，并推廣了猜想。

關鍵詞：不等式；方法；工具

引言：不等式是數學中的重要內容，也是中學數學中的重要方法與工具。證明不等式不僅是初等數學的重要課題，而且也是分析解決其他數學問題的基礎。中學數學中證明不等式的方法有許多種，如：均值不等式法，分析法，綜合法，放縮法，數學歸納法，幾何法等等，然后用這些初等方法證明不等式有時會使運算過程比較繁瑣。如果在構造函數的前提下運用微積分的有關知識，就可以比較輕松地解決不等式中的證明問題。其實證明不等式也是一門藝術，它具有自己獨到豐富的技術手法。因此，我們在證明不等式時要充分運用函數的思想，充分利用微分與積分的知識來證明不等式，使一些復雜的不等式證明得到更加簡潔的證明，也使得一些不等式的證明方法多樣化，而拉格朗日數乘法是證明不等式的一個好的方法。

本文將用微積分中的拉格朗日數乘法給李永利老師提出的一個猜想（見后文）做了一個肯定回答。

猜想 設xi＞0，（i=1，2，…n）■xi=1則■（■+xi）≥（■+■）n當且僅當x1=x2=…=xn=■時等號成立。

定理1：設xi＞0，（i=1，2，…，n）■xi=1則■（■+xi）≥（■+■）n當且僅當x1=x2=…=xn=■時等號成立。

證明：∵xi＞0且■xi=1.∴xi∈（0，1）

∴■+xi≥xi+1+■＞1，∴ln（■+xi）＞0.

欲證■（■+xi）≥（■+■）n成立，只須證 證■ln（■+xi）≥nln（■+■）成立即可。

設f=■ln（■+xi）（i=1，2，…，n）且■xi=1下求f在■=1下的極值。

設L=f+λ（x1+x2+…xn-1）=■ln（■+xi）+λ（x1+x2+…xn-1）.

于是從Lx1=■+λ=0，Lx1=■+λ=0，…，Lxn=■+λ=0（其中Lxi表示L對xi求偏導，i=1，2…n）可解出：x1=f（λ），x2=f（λ），…，xn=f（λ）.（其中f（λ）表示λ的函數）。

代入■xi=1有nf（λ）=1，∴f（λ）=■.從而求得，xi=f（λ）=■，i=1，2…n.由于函數f沒有最大值，所以x1=x2=…=xn=■就是使函數達到最小的點，而最小值為f（■，■，…，■）=ln（■+■）+ln（■+■）+…+ln（■+■）=nln（■+■）=nln（■+■）

∴■ln（■+xi）≥nln（■+■）恒成立，并且在x1=x2=…=xn=■時取等號。

即，■（■+xi）≥（■+■）n恒成立當且僅當在x1=x2=…=xn=■時取等號。得證。

根據定理1我們有如下定理：

定理2：設aij＞0（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），則

■（ai1+ai2+…aim）≥（■（a1ia2i…ani）■）n成立，當且僅當a11：a22：…：a1m=a21：a22：…：a2m=…=an1：an2：…：anm上式取等號。

證明：令Ti=（ai1+ai2+…aim），i=1，2，…，nT=（a11+a22+…+a1m）（a21+a22+…+a2m）…（an1+an2+…+anm）=T1T2……Tn。

由算術-幾何平均值不等式，有（■）■■≤■（■+■+……+■）……（1-1）

（■）■■≤■（■+■+……+■）……（1-2）

（■）■■≤■（■+■+……+■）……（1-3）

…………

（■）■■≤■（■+■+……+■）…（1-m）

將這m個不等式相加得

（■）■■+（■）■■+……+

（■）■■≤■（■+■+……■）■■≤■（■+■+……+■）=1，

所以

［（a11a21…an1）■+（a12a22…an2）■+…+（a1ma2m…anm）■］≤

T=（a11+a21+…an1）（a21+a22+…a2m）…（an1+an2+…+anm）

即不等式（1）成立。（1）取等號當且僅當（1-1）~（1-m）這m個不等式同時取等號，即a11：a22：…：a1m=a21：a22：…：a2m=…=an1：an2：…：anm，猜想證畢.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1981.

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