巧妙轉化 化難為易

數學問題的求解，離不開邏輯變換的轉化。而巧妙的轉化就可以給解題開辟途徑，以達到化難為易的目的。因此，掌握各類問題的轉化變換方法，是提高觀察條件、分析題意和提高解題能力的重要手段。

例1 等軸雙曲線x2-y2=a2(o>0)的右焦點為F，點P為右支的上半支上不包括頂點的任一點，則直線PF的斜率的范圍是：

A.（-∞，0] ∪[1，+∞） B.（-∞，0)∪[1，+∞）

C.（-∞，-1]∪[1，+∞） D.（-∞，-1)∪(1，+∞）

分析1 ：觀察四個選項，發現它們的特點和區別，主要在于動直線PF的斜率能否等于0、-1、1。因為P點是雙曲線的右支的上半支上不包括頂點的任一點，所以PF的斜率可以為-1，不能為0，于是可以排除選項A、D；又因為PP不可能與雙曲線的漸近線y’x平行，所以PP的斜率不可能為1，因而選項C也被排除。故應選取B。

分析 2 ：把問題圖像化，如圖1所示，動直線PP的傾斜角的范圍為(■，π)，從而可以得到直線動PP的斜率的范圍為（-∞，0)∪(1，+∞），故應選取B。

小結1：以上例題，在形式結構上分別有其各自不同的特征，通過抓住這些特別顯著的特征、標志，使得問題形象直觀化，從而打通解題思路。

例2 己知m≠n，且m，n分別滿足條件：

m2sinθ+mcosθ-1=0， n2sinθ+ncosθ-1=0

若直線l經過點A(m，m2)和B(n，n2)，則無論θ如何變化直線l恒與一定圓相切。

分析：因為直線l與m，n有關，m，n又與θ有關，所以直線l與θ有關。這樣就需要轉化m，n分別滿足條件：

m2sinθ+mcosθ-1=0， n2sinθ+ncosθ-1=0

由于這兩個等式的結構相同，這就可以找到一個相應的輔助方程：

t2sinθ+tcoθ-1=0

將m，n看作這個關于t的一元二次方程的兩個不等的實數根。由根與系數的關系：

m+n=-■，mn=-■。

由于經過點A(m，m2)和B(n，n2)的直線l的方程為y=(m+n)x-mn，所以直線l的方程可以轉化為y=-■x+■，也就是xcosθ+ysinθ=1。

根據點到直線的距離公式， 容易計算出原點O(0，0)到直線l：xcosθ+ysinθ=1的距離恒為1。

故無論θ如何變化直線l恒與一單位圓x2+y2=1相切。

小結2：以上兩題都是借助輔助式或圖形架設已知與未知之間的橋梁，實現由已知向未知的轉化，使數量關系等明朗化，從而找到清晰的解題思路，以達到化難為易、化繁為簡的目的。

例3 若三個方程

x2-4kx-4k+3=0，x2+(k-1)x+k2=0， x2+2kx-2k=0至少有一個方程有實數解，試求k的取值范圍。

分析：三個關于x一元二次方程至少有一個方程有實數解的情況比較復雜，如果一一考慮，計算量大且易出錯。若把關于x一元二次方程與二次函數f(x)=x2-4kx-4kx+3， g(x)=x2+(k-1)x+k2， h(x)=x2+2kx-2的圖像聯系起來，問題就轉化為三條拋物線中至少有一條與x軸相交的問題。

由于三條拋物線中至少有一條與x軸相交的問題也比較復雜，因此從結論的反面“三條拋物線都不與x軸相交”考慮(圖2)，就會比較簡捷，從而有

△f=(4k)2-4(-4k+3)＜0，△g=(k-1)2-4k2＜0，△h=(2k)2-4(-2k)＜0。

易解得-■＜k＜-1。.

因此當-■＜k＜-1時，三條拋物線都不與x軸相交，也就是以上三個關于x一元二次方程都沒有實數解。所以，三個方程至少有一個方程有實數解時，k∈（-∞，-■] ∪[-1，+∞）。

小結3：從以上例題說明，當從正面思考不宜求解時，就從逆序著手，能夠比較簡捷地找到由已知向未知的轉化途徑。 ◆(作者單位：江西省峽江縣峽江中學 )

□責任編輯：包韜略