江西省中考數學壓軸題賞析

繼2010年江西省中考數學試卷壓軸題出現的一種新題型——課題學習題型之后，2011年中考數學卷中最后一道壓軸題的題型又是課題學習題型。

“課題學習”是凸顯“實踐與綜合應用”（初中數學四大學習領域之一）的重要載體，其用意在于：通過觀察、比較、分析、提出（認知）問題，進行猜想（聯想）或實驗、推理和判斷等數學活動，不僅使學生獲得數學知識、學會數學的學習研究方式、學會用數學去解決問題，而且更為重要的是讓學生通過這個過程磨礪頭腦、增長智慧，獲得可持續發展的能量和經驗。

題目（2011年江西卷第25題） 課題：某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：

設∠BAC=（0°＜90°）。現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上。

活動一：

如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒.

數學思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：______(填“能”或“不能”)

（2）設AA1=A1A2=A2A3=1.

①=_________度；

②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數，如A1A2=a1，A3A4=a2，…） 求出此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）.

活動二：

如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1

數學思考：

（3）若已經擺放了3根小棒，則θ1 =_________，θ2=________，θ 3=________；（用含θ的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍.

一、 命題思路

1.指導思想

“課題學習”類試題在近幾年各地中考試題中頻頻亮相，此類題型特點鮮明，內容豐富，超越常規，往往源于課本，又高于課本。

它通常以探索、研究、實驗操作等不同的方式呈現于中考數學試題中，并借助恰當的數學素材作為試題的內容和明確的研究方向。今年中考就是以三角形鋼架這樣一個幾何圖形為題材背景，通過相關問題的描述或逐步觀察，操作和歸納，探究，進而發現問題，解決問題。試題在注重考查相關基礎知識、基本技能方法的同時，更注重考查對相關知識的聯想、探索、發現、總結歸納及創新能力。

“課題學習”材料本身是數學知識和生活經驗的結合，是數學知識的邏輯發展和數學研究的結合，是數學方法和數學思維的結合。是讓學生感受數學有趣、數學好玩、數學有用、數學嚴謹的最好平臺。“課題學習”的開展可以促進學生的全面發展，使學生有更多的實踐與探究機會，通過經歷數學化的過程和充分的數學體驗，有利于培養學生學習數學的興趣和信心。“課題學習”有利于培養學生敏銳地發現問題與解決問題的能力，從而培養學生的創新意識、創新精神、創新能力，更重要的是有利于學生體驗到不同的學習內容、選用不同的學習方法和技巧，學會獲取信息和知識，形成自己的學習策略和學習方法。

2.借鑒與創新

2011年江西省中考數學試題第25題取材于江西省教育廳教材研究室編寫的八年級上學期練習冊（配人教班）第31頁拓展探究題。該題的出現是在學生學習了等腰三角形的性質和判斷之后，但當時練習冊上也只有該年試題上的的某小問，這樣對學生開始難度就比較大。因此該年試題就在此基礎上設計了兩個活動，并由淺入深，前后關聯，層層遞進，這無疑就降低了學生的解題難度。

3.任務要求

（1）要求學生有很好的閱讀理解能力，在理解題意的基礎上，綜合應用已有知識和經驗，經過自主探究和合作交流，再利用知識遷移能力和分析問題、解決問題的能力；

（2）數學能力和素養。活動一：1）學生只要能利用相交和平行知識，在明朗棒與棒之間位置關系之后很容易得出答案；2）①綜合考查了等腰三角形的判定和性質定理以及“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和”這一性質的應用；②綜合考查了學生解直角三角形和等腰三角形的一些定理，甚至還可以利用相似三角形及三角函數的方法來求解。活動二：3）依然再次考查學生利用等腰三角形，三角形內角和和外角，用已知的角表示要求的角θ1、θ2、θ3；4）在只能擺4根等長的小棒的前提下，再求出角θ的范圍。

二、 命題設計

“課題學習”是《數學課程標準》在“實踐與綜合應用”課題領域設置的全新課題內容，主要幫助學生解決與生活經驗密切聯系的，具有一定挑戰性和綜合性的問題。目的在于加深對數學知識內容的理解，體會各部分內容之間的聯系，關鍵在于利用這些數學知識和經驗解決問題。今年的“課題學習”題以鋼管腳架為載體，在活動一、二中添加適當的條件——小棒依次垂直擺放，用等長的小棒依次擺放的情景下設置了一序列的問題。

活動一，由易到難：1）直接填寫答案；2）①也是看圖之后直接給出答案，不需要推理過程，學生通過精心計算就能給出答案，這無疑就給了學生繼續答題的信心，因為大多數學生往往到了試卷的最后一題會有定勢的心理暗示壓力——很難，這也是今年中考命題專家們在控制試題難易程度上精心所做的努力；②難度稍有加深，但有了前兩小題的鋪墊，對能力較好的學生來說也能迎刃而解，但②的解題方法多種多樣，可以用解直角三角形法、相似三角形及三角函數等方法來解，解題方法多種多樣，充分發揮了學生的解題能力，

活動二，先設計了3），這也與活動一形成了比較，在用等長的木棒依次擺放這一前提下，并不會和活動一的結果相同——能無限擺放下去，這就使學生在思想上形成了沖擊碰撞，能很好地鍛煉學生的靈活應變能力、創新能力；在3）的基礎上再設計4），能更加充分引導學生求出 4）的答案，降低了難度 。此問也要求學生用數學符號和語言進行準確表達和交流。

三、學生解題方法薈萃（限于篇幅，這里從略）

四、試題總體評價

1. 凸顯“課題學習”的本質

“課題學習”型試題是以一定的題材背景，再通過相關問題的描述或逐步觀察、操作和歸納、探究，進而發現問題，在自身已有的數學知識內容的基礎上，最后體會各部分內容之間的聯系，關鍵在于利用這些數學知識和經驗解決問題。試題在注重考查相關基礎知識、基本技能、方法的同時，更注重考查對相關知識的聯想、探索、發現、總結歸納及創新能力。

從所考查的能力和數學思想方法上看，考查了學生的運算能力、邏輯思維能力和創新意識，滲透了數形結合、轉化的數學思想方法。

從命題技巧和創新程度上看，試題預設的考查目標是合理的，本身也是科學的，大多數學生能做對此題，說明試題是有效的。

2. 體現人文關懷

（1）在有限的應試考試時間和空間的前提下，中考命題專家組設置了這樣一道“微型課題學習題”， 它免除一般“課題學習”要經歷的“問題情境—建立模型—求解—解析與應用”這樣繁冗的全過程。它更偏重考查知識范疇，與學生正在學習的數學內容緊密相連，因此即時性與實用性都很強。

（2）此試題的取材出自學生熟悉的練習冊，對熟悉的東西考生心理往往有底；難度由淺入深；問題的設置前后關聯，層層遞進。今年中考命題組專家做的所有的這些努力，無疑是為了讓學生經過付出辛勞之后能盡量得分，同時也給了學生繼續答題的信心，從而消除大多數學生對試卷最后一題有定勢的心理暗示壓力，體現命題專家對考生的人文關愛！◆(作者單位：江西省南昌市第十五中學 南昌縣蓮塘第五中學)

□責任編輯：包韜略