重視概念學(xué)習(xí)夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

摘要：概念是思維的基本單位。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理和公式的邏輯基礎(chǔ)，是提高解題能力的前提。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，但數(shù)學(xué)概念的抽象性使得教學(xué)相對棘手。高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該呈現(xiàn)概念的本質(zhì)和外延，要讓學(xué)生在概念生成中感受到數(shù)學(xué)的理性精神，體會到其所蘊合的豐富數(shù)學(xué)思想，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；新課標(biāo)；概念引入；反思

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009—010X(2011)06—0039—03

概念作為構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念，是對數(shù)學(xué)對象“資質(zhì)認(rèn)定”的標(biāo)準(zhǔn)，是推理的起點。如果脫離了數(shù)學(xué)概念，便無法進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，也無法構(gòu)成數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在高考中，考題力圖真正的突出數(shù)學(xué)的最基本的問題，用數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的內(nèi)容考察學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)概念的理解和運用即為數(shù)學(xué)最為本質(zhì)的內(nèi)容之一，在平時的教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。在學(xué)習(xí)中要重視概念的形成、概念的理解和概念的應(yīng)用，重視概念的各種形式之間的轉(zhuǎn)換。學(xué)好概念，夯實基礎(chǔ)，只有這樣，我們才能始終立于不敗之地。

在教學(xué)實際中，有不少學(xué)生學(xué)習(xí)很努力，但是成績不理想。其直接原因往往是對概念的理解不夠透徹，以及對概念的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化不靈活。那么，作為教師就不能只強(qiáng)調(diào)解題方法與技巧，而忽視基本概念。相反的，要加強(qiáng)概念教學(xué)，狠抓“雙基”。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，對概念教學(xué)的實施提出如下幾點粗淺的認(rèn)識。

一、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引入概念

數(shù)學(xué)教材多是直接給定概念。如果教師直接“告訴”學(xué)生概念內(nèi)容，就會讓學(xué)生處于被動，在知識接受上有突兀感。教師應(yīng)遵循高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求，加強(qiáng)概念的引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程。合理設(shè)置情境，使學(xué)生積極參與教學(xué)，了解知識發(fā)生發(fā)展的背景和過程，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的樂趣，這樣能使學(xué)生加深對概念的記憶和理解。筆者在教學(xué)實踐中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生情況等，總結(jié)了如下幾種引入方式：

1 以實際問題引入概念。數(shù)學(xué)概念來源于實踐，又服務(wù)于實踐，從實際問題出發(fā)引入概念，使得抽象的數(shù)學(xué)概念貼近生活，使學(xué)生易于接受，還可以讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的實際意義，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。例如等比數(shù)列這樣的概念就是直接源于生活的概念，在講授的過程中，現(xiàn)實生活中的實例隨手可得，如常見的細(xì)胞分裂問題，商店打折問題，放射性物質(zhì)的質(zhì)量問題，銀行利率，為自己家選擇合適的還貸方式等等實例可以信手拈來穿插在概念的講解、鞏固的過程中；再如，講函數(shù)概念時，用炮彈發(fā)射后射高與時間的變化規(guī)律、圖象、圖表分析歸納變量問關(guān)系的共同點得到函數(shù)概念。

2 利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗引入概念。例如，在引入算法概念時，學(xué)生對求解一般的二元一次方程組已很熟練，強(qiáng)調(diào)求解一般的二元一次方程組的步驟就是算法，這樣就顯得水到渠成。

另外，在概念教學(xué)時，還可通過對已定義的概念一般化或特殊化而引入新概念，如通過四棱柱的概念特殊化得到平行六面體、直平行六面體等概念。由函數(shù)概念一般化引入映射的概念。

3 通過學(xué)生實驗引入概念。學(xué)生動手實驗，可在學(xué)生腦海中留下深刻印象。如講橢圓概念時，可讓學(xué)生每組準(zhǔn)備一塊紙板，一條細(xì)繩，兩個釘子。教師指導(dǎo)學(xué)生固定釘子在紙板的不同位置，然后讓繩子長度大于兩釘子之間的距離，同時用鉛筆拉緊繩子畫線，最終可以得到橢圓。然后再改變繩子長度分別等于、小于兩釘子間的距離，畫圖。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可根據(jù)畫圖過程歸納橢圓的概念。這樣學(xué)生不知不覺地從具體到抽象，由感性認(rèn)識逐步上升為了理性認(rèn)識。同樣由學(xué)生親自實驗，然后歸納概念的方法也可用于雙曲線和拋物線的概念教學(xué)。

4 從概念的歷史背景出發(fā)，激發(fā)興趣。復(fù)數(shù)和虛數(shù)的概念有悠遠(yuǎn)的歷史背景，是數(shù)發(fā)展到一定的階段的必然產(chǎn)物，在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量，在學(xué)生的有限的知識結(jié)構(gòu)中也找不到虛數(shù)的生活原型，所以學(xué)生很難完全理解它。因此，在講解這兩個概念時，可以將數(shù)的發(fā)展史、虛數(shù)與復(fù)數(shù)的出現(xiàn)歷程作簡單闡述，為了表述得清晰而有趣，教師可以把這過程制作成動畫短片：

從原始人分配食物開始，首先是自然數(shù)的出現(xiàn)，然后到分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)。接下來經(jīng)過漫長的數(shù)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率等。人們把它們寫成π等形式，稱它們?yōu)闊o理數(shù)。到19世紀(jì)，由于運算時經(jīng)常需要開平方，如果被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，比如x²+4=0，x²=-4這道題還有解嗎?如果沒有解，那數(shù)學(xué)運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。這樣，可以讓學(xué)生融入教學(xué)中，跟著故事的結(jié)尾一起思索，然后引入新概念：數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號“i”表示“一1”的平方根，即i²=-1，虛數(shù)就這樣誕生了。實數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，寫成a+bi的形式(a、b均為實數(shù))，這就是復(fù)數(shù)。這種引入概念的過程新穎別致，一開始就能抓住學(xué)生的眼球，吸引他們的注意力，使課堂教學(xué)輕松有趣。

教學(xué)中，適當(dāng)引入與數(shù)學(xué)概念相關(guān)的故事，并巧妙處理，既可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又可達(dá)到教育之目的。

二、抓住本質(zhì)屬性，講清概念

數(shù)學(xué)概念是為了解決數(shù)學(xué)問題，對概念理解不清，在解題時就會出現(xiàn)錯誤；對概念理解不透徹，常會遇到問題束手無策。要正確深刻地理解概念絕非易事，教師要根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和能力特點，從多方面著手，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生剖析概念，抓住概念的實質(zhì)。為此可以從以下幾個方面努力：

1 強(qiáng)調(diào)概念中的關(guān)鍵詞語，結(jié)合正反例子，做好概念理解。如對函數(shù)概念中的“任何”與“唯一”要重點強(qiáng)調(diào)。然后舉例y=x³，y²=x，前者可以稱y是x的函數(shù)，后者不能稱y是x的函數(shù)。因為對于任何一個x，不是對應(yīng)唯一y。這樣通過正反實例，強(qiáng)調(diào)概念中的關(guān)鍵詞語，更能加深學(xué)生對概念的理解。

2 注意數(shù)學(xué)語言的翻譯。數(shù)學(xué)語言有文字語言、符號語言、圖形語言。符號語言有較強(qiáng)的概括性，更能反映概念的本質(zhì)。如等差數(shù)列的概念可用符號“a_n+1+a_n=d”(d為常數(shù))概括。用定義證明一個數(shù)列是等差數(shù)列時，就是應(yīng)用概念的符號語言。圖形語言則能更形象地反映概念的內(nèi)容。如講“交集”概念時，用文氏圖表示“A∩B”，可以很容易理解概念。

3 對比相似概念，明確其聯(lián)系和區(qū)別。有比較才有鑒別。用對比的方法找出容易混淆的概念的異同點，有助于學(xué)生區(qū)分概念，獲取準(zhǔn)確、明晰的認(rèn)識。比如對排列與組合的概念，就可以通過概念對比，并結(jié)合實例的方式加深概念理解。

4 逆向分析，加深對概念的理解。教學(xué)中，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，能加深對概念的理解與運用。例如學(xué)習(xí)正棱錐的概念后，可以提出如下問題并思考：①側(cè)棱相等的棱錐是否一定是正棱錐?(不一定)②底面是正多邊形的棱錐是否一定是正棱錐?(不一定)③各側(cè)面與底面所成的二面角都相等的棱錐是否一定是正棱錐?(不一定)這樣正棱錐的概念就更清楚了。

三、精心設(shè)計練習(xí)，鞏固、深化概念

函數(shù)的周期性和最小正周期是學(xué)生難以理解的概念，在學(xué)生了解其概念后，為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延，可以設(shè)計以下問題鏈，讓學(xué)生討論：

(1)函數(shù)y=a(a為常數(shù))是周期函數(shù)嗎?y=a(a≠±2)呢?y=a(a≠±1/2)呢?

(2)函數(shù)y=sinx，x∈[-2π，+∞]提周期函數(shù)嗎?最小正周期是多少?函數(shù)y=sinx，x∈R且x≠kπ呢?

(3)函數(shù)y=sinx，對x∈R都有f(x₁)≤f(x₂)，則｜x₁-x₂｜的最小值是多少?

(4)做出函數(shù)y=sinx，x∈[-2π，3π]與y=sinx，x∈R的圖象。

通過上述問題的研究，可以幫助學(xué)生弄清以下問題：(1)周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征；(2)最小正周期的存在狀況；(3)周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律；(4)周期函數(shù)的圖象特征。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念，學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)也從“了解”上升到“理清并掌握”的層面。

要注意在概念的逆用、變用中獲得解題方法，有時感到對一些問題無從下手，通過概念的逆用和變用往往使問題迎刃而解。例如“已知函數(shù)f(x)是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，且f(x-1)2-1)，求出x的取值范圍。”遇到抽象函數(shù)，許多學(xué)生感覺無從下手。這其實是“函數(shù)單調(diào)性”的概念逆向應(yīng)用，即“如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，x₁，x₂∈(a，b)，由f(x₁)2)就可以得到x₁2”。學(xué)生掌握了這一點，解決上面的問題就豁然開朗了。又如“已知實數(shù)x，y滿足(x+1)²(y+1)²=1，求(y+2)/(x+3)的最值?”可以聯(lián)想到圓(x+1)²+(y+1)²=1上的點(x，y)與定點(-3，-2)連線的斜率。加強(qiáng)概念間的靈活變通，就可將問題轉(zhuǎn)化。

四、概念生成過程教學(xué)的幾點反思

1 “高屋建瓴”地深入理解概念。長期以來，我們只重視如何使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，而忽略了教師本人如何“高屋建瓴”地深入理解這些概念，許多教師還缺乏對基本概念的真正實質(zhì)上的深入理解。沒有教師自身概念知識廣度和深度的研究，生成的過程教學(xué)就無從談起。

2 “了如指掌”地熟悉學(xué)生學(xué)情。學(xué)生的已有知識，始于新知發(fā)生前，作為新知的起點，它決定了新知理解的角度、廣度、深度以及態(tài)度，在理解的每時每刻，都參與其中，在教學(xué)設(shè)計時要重點考慮處理新舊概念間的矛盾。教學(xué)中，教師只有在全面了解學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，才能開展有針對性這樣的預(yù)設(shè)，概念生成過程才是真實的、深入的。

3 “真真正正”地展開師生互動。教師與學(xué)生的互動是概念課堂教學(xué)得以動態(tài)生成的形式要件。概念生成的課堂里，學(xué)生并不是知識的被動吸收者，而是積極主動的構(gòu)建者，每個學(xué)生都以自己頭腦已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用個人特有的思維方式構(gòu)建對事物的理解、檢驗，不同的人看到不同的方面，各個層次的學(xué)生都有收獲。

4 “扎扎實實”地展開探究活動。概念教學(xué)中，學(xué)生主動探究是概念建立的一個重要環(huán)節(jié)，教師不僅要學(xué)生自主探究，更重要的是要讓學(xué)生掌握自主探究的方法，“授之以魚，不如授之以漁”，科學(xué)方法的掌握，科學(xué)思維的形成才能使學(xué)生終生受益，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的應(yīng)有作用。

教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要轉(zhuǎn)變觀念，使課堂教學(xué)由知識型轉(zhuǎn)化為能力型，切實搞好數(shù)學(xué)概念教學(xué)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)概念的指導(dǎo)作用，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)索養(yǎng)。概念教學(xué)要注意過程性，沒有過程就等于沒有思想。重視概念教學(xué)的生成，不僅要讓學(xué)生明白一些原理，更要讓學(xué)生學(xué)會一種思維，一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學(xué)生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。

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責(zé)任編輯 姜華