基于威布爾分布并聯模型的發動機可靠性分析方法

古瑩奎，周志博

GU Ying-kui，ZHOU Zhi-bo

（江西理工大學 機電工程學院，贛州 341000）

0 引言

對車用發動機來講，長期積累的故障數據是龐大的，如何從海量的故障數據中發現設備的故障規律或對發動機的壽命做出合理的預測，對提高其可靠性、降低使用成本有著積極的意義。在進行其可靠性分析過程中，關鍵問題在于如何能夠尋找確切反映系統失效機理并與失效數據的分析結果相符合的失效分布規律。常用的方法是將故障或失效數據擬合成某種分布形式，在確定出各分布參數之后，對失效數據進行可靠性評估和預測。威布爾分布對于各種類型的可靠性數據擬合能力很強，是可靠性分析技術中使用最為廣泛的一種數學模型。文獻[1,2]總結了多種威布爾模型及其特征，如混合分布模型、分段模型和競爭風險模型等。文獻[3]提出了一種混合威布爾分布參數估計的L-M算法。文獻[4,5]總結了多種改進威布爾模型及其概率圖特征，并且提出了對于給定失效數據選取相應模型的方法。文獻[6]詳細討論了兩重混合威布爾模型、兩重分段模型和兩重競爭風險模型的概率圖特征及其參數的圖估計法。文獻[7]提出了一種威布爾分布下平均壽命置信限的評估方法。本文在在簡單weibull分析方法的基礎上，進一步采用weibull并聯模型對曲柄連桿機構失效數據進行分析，并采用作圖法估計分布參數，更為精確地描述機構壽命周期內失效分布曲線，掌握其失效規律，為發動機的可靠性指標計算提供必要的統計信息。

1 威布爾分布的數學模型

1.1 標準的威布爾分布模型

標準威布爾分布模型用于描述某零部件在單一失效模式下的故障發生規律。若隨機變量T為服從威布爾分布時，其失效分布函數為：

威布爾分布密度函數和失效率函數分別為：

式中：γ為位置參數，表示分布曲線的起始位置，η為尺度參數，又稱為特征壽命，β為形狀參數，β取不同值時，威布爾曲線有不同的形狀。β〈1時，失效率隨著壽命的增長而下降，適用于描述為早期失效；β=1時，失效率為常數，適用于描述浴盆曲線的平坦部分；β〉1時，失效率隨著壽命的增長而明顯上升，適用于描述疲勞和磨損失效。當γ=0時為兩參數威布爾分布，從t = 0時刻開始描述失效狀態。

1.2 威布爾分布并聯模型

由兩個兩參數威布爾分布形成的并聯模型的累積失效分布函數F(t)為：

事實上對于兩參數威布爾分布來說，即使F1(t)精確地等于F2(t)時，F1(t)=(F1(t))2也不會退化為一個單威布爾分布。其可靠性函數為：

2 威布爾參數估計的回歸分析方法

回歸分析是數理統計中建立在對研究對象進行大量試驗和觀察的基礎上，解決變量之間關系的一種方法。線性回歸是描述兩個變量之間關系的最簡單模型。對于給定訓練樣本集，{(xi,yi),i=1,2,...,n}其中，xi為輸入值，yi為對應的目標值，n為樣本數，設f(x)為通過對樣本集的學習而構造的回歸估計函數：

利用樣本集求出回歸系數w和b，常用的方法是最小二乘法。

威布爾分布的失效分布圖并不是線性關系，為了用回歸分析法解決問題，可以將它們變換成線性關系。對威布爾分布的失效分布函數進行如下變換：

用最小二乘法計算A和B的估計值，然后計算β、η的估計值。

回歸分析方法比較簡單，容易實現計算機編程。為檢驗回歸分析的準確程度，可以進行線性相關性檢驗。線性相關性檢驗用于檢驗變量x與y之間是否真正存在線性相關性。線性相關系數為：

線性相關系數越接近于1，x與y之間的線性關系越強，即回歸分析的準確程度越高。

3 曲柄連桿機構失效數據威布爾分析方法

曲柄連桿機構作為柴油機的重要組成部件，對柴油機的性能及可靠性起著極其重要的作用，一旦出現問題就會造成整機的癱瘓甚至報廢，這將直接影響設備的運轉甚至導致十分嚴重的后果。對曲柄連桿機構進行壽命周期內可靠性試驗及失效分布分析是掌握其失效規律與提高其可靠性的重要途徑和方法。以6108ZQ機曲軸止推片為對象，探討其失效規律。

3.1 曲軸止推片的失效數據統計

收集使用過程中的各失效故障數據、維修記錄數據、反饋信息以及發動機試驗中的各種失效的詳細數據。表1是曲軸止推片的故障統計數據，為了便于從總體上了解曲軸止推片的故障分布規律變化曲線，繪制了分段失效分布圖，如圖1所示。

表1 6108ZQ柴油機曲軸止推片失效分布統計表

從圖1中可以看出，在早期階段（里程數小于5000km），失效率相對較高，主要是因為曲軸止推片在這一階段處于磨合期，存在一些裝配配合與磨合問題，導致曲軸止推片發生磨損、調整不當等故障。在100000km以后，失效率相對變高，主要故障原因呈現為曲軸止推片的異常磨損和斷裂。此外，從失效率曲線可以看出，該失效率比較符合浴盆曲線的特征，因而可用威布爾分布對曲軸止推片的失效數據進行分析。

圖1 分段失效分布圖

3.2 曲軸止推片失效數據的威布爾分析

對失效數據按失效里程先后順序排序后，由公式(7)可得：

其中：i表示該失效數據的排序編號，ti表示第i次失效的里程（km），F(ti)表示第i次失效對應的失效概率，n為所取臺機總數。

將變換后的失效數據繪制的WPP圖上，如圖2所示。

圖2 失效數據的WPP圖

采用回歸分析法求所擬威布爾分布參數，由公式(9)～(11)可求得簡單威布爾分布參數由該簡單威布爾分布函數擬合的失效數據圖如圖3所示。

從圖中可以看出，失效數據在WPP中明顯不分布在一條直線附近，即失效數據不太符合簡單的威布爾分布，也就是說“t1,t2,...,tn來自某個威布爾分布母體”的假設不成立。因此，對失效數據采用簡單的威布爾模型進行參數估計以及分布擬合是不太合理的。由此對曲軸止推片失效數據選擇由兩個兩參數威布爾分布形成的并聯模型進行擬合。

圖3 簡單威布爾擬合的圖形

采用威布爾并聯模型建模，并采用WPP法估計參數，其步驟為：

1）將圖3擬合的圖形兩端各畫一條切線，令LR和LL分別表示右切線和左切線，βR和βL分別表示右切線和左切線的斜率，如圖4所示。

圖4 WPP參數估計分析

由圖4可知，βR=0.5747，βL=4.2。

2）由于βL＞2βR，所以有[1]：

可得：β1=0.5747，β2=3.6253。

3）令In(ηk)和In(ηL)分別是LR和LL在x軸上的截距，由圖可知，In(ηR)=8.95，In(ηL)=7.9。又由于：

可得：η1=7703.1，η2=2283.6。

4）通過WPP參數估計，獲得曲軸止推片失效分布函數為：

表2給出了簡單威布爾模型和威布爾并聯模型在取不同失效數據范圍下的偏差SSE和ASE的對比，其表達式分別為式(13)和(14)。

表2 簡單威布爾模型和威布爾并聯模型對比

圖5 簡單威布爾模型與并聯模型失效點對比

圖5顯示了簡單威布爾模型與威布爾并聯模型對失效數據點的擬合程度。從圖中可以清晰的看出威布爾并聯模型在大部分的失效階段對實際失效數據點的貼近程度都高于簡單威布爾分布模型，這充分說明采用威布爾并聯模型對曲軸止推片壽命周期內失效數據進行分析是優于簡單威布爾分布模型的。

4 結論

本文通過對發動機曲軸止推片失效數據的分析，證明采用簡單Weibull失效分布不能較好的擬合失效數據點，特別是在早期和中期故障階段。因此，采用并聯Weibull失效分布模型對數據進行分析。給出了兩種參數估計的方法，并詳細描述了使用WPP作圖法分析求解的過程。結果表明，采用并聯Weibull能較好的擬合失效數據，偏差大大低于簡單Weibull失效模型。

[1] 蔣仁言.威布爾模型族－特性、參數估計和應用[M].北京：科學出版社,1998.

[2] Bucar T,Nagode M,Fajdiga M.Reliability approximation using finite Weibull mixture distributions[J].Reliability Engineering & System Safety,2004,87(3)：241-251.

[3] 凌丹,黃洪鐘,張小玲,蔣工亮.混合威布爾分布參數估計的L_M算法[J].電子科技大學學報,2008,37(4)：634-636.

[4] Murthy D N P,Bulmer M,Eccleston J A.Weibull model selection for reliability modeling[J].Reliability Engineering& System Safety,2004,86(3)：257-267.

[5] Pham H,Lai C D.On recent generalizations of the Weibull distribution[J].IEEE Transactions on Reliability,2007,56(3)：454-458.

[6] Jiang R Y,Murthy D N P.Reliability modeling involving two Weibull distributions[J].Reliability Engineering &System Safety,1995,47(3)：187-198.

[7] 李學京.威布爾分布下平均壽命置信限的評估方法研究[J].應用概率統計,2010,26(1)：47-56.