基于平方根無跡卡爾曼濾波的數字預失真算法?

宋勇，胡波，李在清

（1.上海貝爾股份有限公司，上海201206；2.復旦大學電子工程系，上海200433）

基于平方根無跡卡爾曼濾波的數字預失真算法?

宋勇1，2，胡波2，李在清1

（1.上海貝爾股份有限公司，上海201206；2.復旦大學電子工程系，上海200433）

射頻功率放大器工作在近飽和點時產生的非線性效應是制約其性能提升的主要因素。提出了一種基于非線性無跡卡爾曼濾波的數字預失真算法，可有效克服此非線性效應的影響。針對預失真算法的狀態方程為線性的特點，優化了無跡卡爾曼濾波算法以提高運算效率。仿真結果表明，所提算法性能優于傳統的基于最小均方的數字預失真算法。

功率放大器；數字預失真；記憶效應；無跡卡爾曼濾波

1 引言

在無線通信中，非線性系統的線性化已經成為微波及射頻領域面臨的一個很有挑戰性的問題。隨著非恒包絡調制方案的應用，對高功率放大器線性度的要求越來越迫切。這是因為非線性會導致幅度及相位的失真、信號間的干擾及鄰信道的干擾等，從而降低頻譜效率。

預失真技術是一種主流的線性化技術，其以穩定、高效、寬帶寬與自適應等優勢成為目前研究的熱點［1-3］。它一般通過對功率放大器的逆特性進行離線估計以達到線性化效果。如果要進行準確的預失真，那么需要實時調整預失真器的特性來跟蹤功率放大器特性的變化，如設備老化、溫度變化和電壓變化等。卡爾曼濾波算法是在非平穩系統和實時估計中應用最廣泛的自適應濾波技術之一。該算法最初應用于線性系統，后來演化出了幾種處理實際系統中非線性濾波問題的次優近似算法，如擴展卡爾曼濾波［4］等。無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Fil-ter，UKF）就是近年來興起的一種在處理這種非線性變換方面具有良好性能的算法［5，6］，在衛星定位、組合導航、目標跟蹤等領域得到了廣泛的應用［7］。但據作者所知，將其應用于抑制功率放大器的非線性方面的研究還非常少見。

為了抑制這種非線性失真，本文提出了一種基于平方根UKF（Square Root UKF，SR-UKF）的數字預失真（Digital Predistortion，DPD）算法。該算法以誤差協方差陣的平方根矩陣為中間量進行迭代計算，使之具有很好的數值運算特性；并保證了誤差協方差陣的半正定性，避免了計算發散的可能。此外，利用其狀態方程的線性特點改進了算法，在不降低性能的前提下提高了運算效率。

2 系統模型

2.1 基于直接學習的預失真器

圖1為本文的基于直接學習法的預失真算法的結構圖。輸入信號xk首先通過預失真器得到信號uk，uk再經過功率放大器后，就得到輸出信號我們希望非線性設備的輸盡量接近理想信號yk，yk是輸入信號xk的一個延遲并放大的版本（記為，此處為了表達簡便，假定功率放大器的放大倍數為1。在功率放大器的輸出端計算輸出誤差ek后，反饋給預失真器，通過預失真算法，更新一次預失真器的系數，其中反饋誤差

圖1中的功率放大器同時考慮了非線性和記憶效應的影響，相應的預失真器模型也考慮了包含交叉項在內的非線性項以及記憶效應。

圖中wk是一個長為L的向量，代表非線性預失真器的系數；G是一個長為L′的向量，代表功率放大器非線性部分的系數。預失真算法的最終目標就是經過迭代獲得預失真系數w=［w1，w2，…，wL］的最優值以最小化誤差ek。

2.2 預失真器模型

Volterra級數在帶記憶非線性系統的模擬與分析中得到了廣泛應用［8］。一般形式的Volterra預失真器其輸入輸出信號間的關系可以描述為

式中，hn（i1，i2，…，in）是Volterra核，此處代表預失真系數；xk-i1xk-i2…xk-in代表考慮了記憶效應交叉項的輸入非線性項；M代表記憶深度。

本文采用了Volterra級數的簡化模型，主要從以下3個方面對一般形式的Volterra預失真器進行了簡化，在幾乎不降低性能的前提下，大大減少了預失真項的數目。

（1）去掉直流項和偶次項，只保留奇次項；

（2）利用Volterra核的對稱性，合并預失真器模型中的冗余項；

（3）運用簡化算法，去掉Volterra模型中那些模很小的核，即將下式中的第l項記為hl（i1，i2，…，il），其中l=1，3，…，2d+1。設定閾值λ∈｛1，2，…，M｝。當l=1時，hl（il）=hl（il）；當l≥3時，?s，t∈｛1，2，…，l｝，如果max則令否則hl（i1，i2，…，il）=hl（i1，i2，…，il）。

3 基于UKF的預失真器

3.1 數字預失真系統的狀態方程和觀測方程

為了改善卡爾曼濾波處理非線性問題的效果，Julier等人提出了基于無跡（Unscented）變換的UKF方法［5］。該方法在處理狀態方程和觀測方程時，首先進行無跡變換，然后使用無跡變換后的變量進行卡爾曼濾波估計，以減小估計的誤差。UKF采用了卡爾曼線性濾波框架，采樣形式為確定性采樣，其采樣的粒子點（Sigma點）個數很少，具體個數由所選擇的采樣策略決定，最常用的是2L+1個Sigma點的對稱采樣。

UKF相對于其它濾波算法如EKF、PF等在性能和運算量上具有整體優勢。它實質是利用了加權統計回歸技術來解決此類非線性問題，即先利用其先驗分布生成一組確定性的采樣點來獲得系統的相關統計量，再用線性回歸變換后的Sigma點表示狀態的后驗分布。UKF算法線性化誤差小，不需要模型的具體解析表達形式，因而更加易于實現。

在UKF-DPD算法中，待求解的未知參量是預失真器的系數，因此它作為系統的狀態變量w=［w1，w2，…，wL］。在相鄰兩個時刻，w的數值基本不變，只有較小的擾動，因此系統狀態方程為

式中，qk為1×L的向量，代表系統的狀態噪聲，它與系統的收斂性能密切相關。

系統的觀測方程為

式中，xk代表數字預失真器的輸入信號，yk代表功率放大器的輸出信號，rk代表系統的觀測噪聲代表了預失真系統和功率放大器系統的非線性及記憶效應。

3.2 改進的SR-UKF濾波算法

SR-UKF是UKF算法的一種改進［9］。對于普通的UKF算法，迭代過程中輸出信號yk的方差Py通常為非負定陣，但由于迭代中計算誤差等因素的影響，會導致Py負定或不對稱，使濾波器發散，影響了濾波算法的穩定性。SR-UKF算法利用Cholesky分解得到Py的平方根矩陣Sy，用Sy來代替Py進行遞推計算可以保證Py的非負定性和數值的穩定性，實現有效濾波。

標準SR-UKF考慮的是狀態方程與觀測方程均為非線性的情況，在狀態方程更新階段狀態變量和誤差協方差陣的預測都基于無跡變換來實現，即由k-1時刻的狀態估計值和估計誤差協方差陣來產生Sigma點，所得采樣點經狀態方程的傳播后生成更新采樣點，然后根據更新采樣點和相應的權值來計算狀態變量的預測值和預測誤差協方差陣。從式（3）可以看出，數字預失真系統的狀態方程為線性方程，而只有觀測方程為非線性方程。針對這一特點，可以考慮在狀態方程的更新階段采用標準SRKF算法來實現，然后利用所求得的預測值和預測誤差協方差陣來構造采樣Sigma點，代入觀測方程，而后續的觀測方程更新與SR-UKF濾波算法一致。

改進的SR-UKF算法大大提升了運算效率，同時又保持了平方根濾波算法高可靠性和高精度的特點，從而可以獲得可靠的預失真系數。

本文中基于UKF的DPD算法的詳細步驟如下所述，其中矩陣SQ，k∈R RL×L、SR，k∈R R1×1代表時刻k時的狀態和觀測噪聲平方根矩陣，其滿足

（·）T和（·）H分別表示轉置和Hermitian轉置。

Step 1：給定初始狀態值＾w0和初始平方根協方差S′0，其中S′0=chol（P′0）。

Step 2：根據式（5），在時刻k計算預測Sigma點wk，i和它們的權值Wi（權值僅在k=0時計算一次）：

其中，i=1，2，…，L；j=L+1，L+2，…，2L。

Step 3：觀測方程更新

式中，ht（M）表示對矩陣M使用Householder triangularization變換。

Step 4：狀態方程更新

然后令k=k+1，并重復執行Step 2～Step 4。

在公式（7）～（17）中，yk，i、＾yk、M′y，k、S′y，k、M′w，k、P′wy、Sk、＾w′k+1、S′k+1均為更新的中間變量，Kk為卡爾曼增益，＾wk代表第k次更新獲得的預失真系數。

4 仿真與分析

為了驗證本文提出的算法的有效性，進行了計算機仿真驗證。仿真的輸入采用帶寬為10 MHz的WCDMA信號I／Q兩路復信號，采樣率為2× 92.16 MHz。取狀態噪聲Q=10-4×I，其中I是L ×L的方陣，觀測噪聲R=1×10-20。

預失真器采用2.2節的模型，其中記憶深度M =2，預失真階數為5，取λ=2進行簡化，故所構造的預失真器的Volterra核參數包括一階核（h1（0），h1（1），h1（2））、三階核（h3（0，0，0），h3（0，0，1），h3（0，1，1），h3（1，1，1），h3（1，1，2），h3（1，2，2），h3（2，2，2））和五階核（h5（0，0，0，0，0），h5（0，0，0，0，1），h5（0，0，0，1，1），h5（0，0，1，1，1），h5（0，1，1，1，1），h5（1，1，1，1，1），h5（1，1，1，1，2），h5（1，1，1，2，2），

h5（1，1，2，2，2），h5（1，2，2，2，2），h5（2，2，2，2，2））共21項，即L=21。

功率放大器采用Wiener模型，其線性動態子系統的記憶長度為2。

無記憶非線性子系統的階數為5：

基于LMS的DPD算法是傳統的實時DPD算法，已經被廣為研究。為了衡量基于UKF的DPD算法的性能增益，我們與文獻［10］中的歸一化基于LMS的DPD算法進行了性能比較。其中基于LMS的DPD算法仿真的數據長度為100 000，迭代步長=0.1，并取ε=0.5。

圖2給出了基于UKF的DPD算法和基于LMS的DPD算法的預失真前后功率譜密度曲線。從圖中我們可以看出，使用基于UKF的DPD算法的預失真后曲線性能明顯優于使用基于LMS的DPD算法的預失真后曲線，能較好地校正放大器的非線性失真和記憶失真。

兩種DPD算法的歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）收斂曲線如圖3所示，其中

從圖中可以看出，基于UKF的DPD算法的迭代性能在大約第105次之后就一直優于基于LMS的DPD算法；在迭代收斂后，基于UKF的DPD算法的平均NMSE性能要比基于LMS的DPD算法高15 dB。

5 結論

下一代無線通信系統更多采用非恒包絡調制技術，要求射頻功率放大器具有良好的線性度。DPD算法是目前功率放大器線性化的主流技術。本文利用UKF算法處理非線性濾波問題的優勢，結合基于簡化Volterra算法的預失真模型，提出了一種基于SR-UKF的DPD算法。所提算法具有很好的數值運算特性，且能取得性能和計算復雜度的良好折衷。在本文仿真條件下，與基于LMS的DPD算法相比，所提算法的功率譜密度性能高約13.5 dB，收斂后的NMSE性能高約15 dB，改善了實時DPD算法的性能，從而提高了射頻系統中功率放大器的線性度。此外，所提算法的性能受狀態噪聲和觀測噪聲的影響較大，下一步研究將主要集中在對噪聲變化有自適應能力的改進DPD算法。

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SONG Yongwas born in Yantai，Shandong Province，in 1980. He received the Ph.D.degree from University of Science and Technology of China in 2010.He is now a post-doctor in the Joint Post -doctoralWork／Research Station in Alcatel-Lucent ShanghaiBell Co.，Ltd.and Fudan University.His research concerns the application of nonlinear filter in the algorithm and implementation of digital predistortion.

Email：Yong.a.Song＠alcatel-sbell.com.cn

胡波（1968—），男，江蘇常州人，1996年獲復旦大學理學博士學位，現為復旦大學電子工程系教授、博士生導師，主要從事數字信息處理、數字通信等方面的理論與算法研究；

HU Bowas born in Changzhou，Jiangsu Province，in 1968.He received the Ph.D.degree from Fudan University in 1996.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns the theory and algorithm in digital signal processing，digital communication.

李在清（1967—），男，山東臨沂人，2005年于法國布雷斯特大學獲博士學位，現為上海貝爾股份有限公司硬件研發部門經理、研究員，主要研究方向為移動通信射頻架構與系統、計算電磁學和軟件無線電。

LIZai-qingwas born in Linyi，Shandong Province，in 1967. He received the Ph.D.degree from Brest University in France in 2005.He is now a research professor，and amanager of the Hardware R＆D Department in Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd. His research concerns the mobile radio frequency architecture and system，computational electromagnetics and software defined radio.

A Novel Digital Predistortion Algorithm Based on Square Root Unscented Kalman Filter

SONGYong1，2，HU Bo2，LIZai-qing1
（1.Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd.，Shanghai201206，China；2.Electronic Engineering Department，Fudan University，Shanghai200433，China）

The nonlinear effect of power amplifierworking near the saturation point becomes themain factor that degrades its performance.In this paper，a Digital Predistortion（DPD）algorithm based on the nonlinear Unscented Kalman Filter（UKF）is proposed，which can effectively remove the nonlinear effect.The DPD algorithm is modified and optimized，according to the fact that the state equation is linear in the DPD algorithm，so that the computational efficiency is improved consequently.The simulation resultverifies that the performance of the proposed algorithm is better than that of the traditional DPD algorithm based on LeastMean Square（LMS）.

power amplifier；digital predistortion；memory effect；unscented Kalman filter（UKF）

The National Science＆Technology Major Project（2010ZX03002-003）

TN721.2

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.11.005

宋勇（1980—），男，山東煙臺人，2010年獲中國科學技術大學通信與信息系統專業博士學位，現為上海貝爾股份有限公司和復旦大學聯合博士后工作站（流動站）在站博士后，主要研究方向為非線性濾波在數字預失真算法與實現中的應用；

1001-893X（2011）11-0020-05

2011-07-11；

2011-09-02

國家科技重大專項資助項目（2010ZX03002-003）