多項式擬合法在船載外測數據實時壓縮算法中的應用?

吳金美，胡上成，凌曉冬

多項式擬合法在船載外測數據實時壓縮算法中的應用?

吳金美，胡上成，凌曉冬

（中國衛星海上測控部，江蘇江陰214431）

為了解決船載外測設備采樣數量大的問題，船中心機必須對外測數據進行實時預處理，適當壓縮后才能向外發送。將多項式擬合的方法應用到外測數據的實時壓縮算法之中，通過建立一組正交多項式基，運用最小二乘法估計得到擬合點的平滑公式，在綜合分析多項式截斷誤差和隨機誤差的基礎上總結得出最佳壓縮多項式次數和采樣點數。理論分析和實例仿真結果均表明，該方法達到了良好的壓縮和濾噪的效果，能夠在比較高的精度范圍內體現數據的真實曲線特征。

航天測量船；外測數據；多項式擬合；數據壓縮；濾噪

1 引言

目前，“遠望”號測量船的外測數據采樣率遠高于測控中心數據處理時所采用的數據率，其數據量大約超出20倍，即假設當測量船采用每50ms一點的數據采樣率時，最后卻僅需向中心提供每秒1點的外測數據，包括該點對應的瞬時船位相對于地平坐標系的角度、距離和速度數據，因此在預處理時需要對測量數據進行壓縮。傳統做法是舍去其余點、只取整秒點的數據［1］。很顯然，這種方法既浪費了相當多的數據信息，還容易帶入較大的測量誤差，甚至采用了偏差較大的不合理值。除此之外，常用的處理方法還有平均法。平均法雖然在一定程度上平均掉了誤差，不會出現野值的情況，但還是無法接近運動目標的真值。

實時處理系統在對外測數據進行壓縮前，已經進行了船搖、船體變形、船位誤差等修正，但無可避免地，數據中仍包含了隨機誤差和船搖變形等因素引起的誤差。作為一種壓縮比固定的有損壓縮，在實現高效率壓縮的同時能否去除噪聲等的影響，使得輸出數據保真度更好，這將直接影響到定軌等對外測數據的后續處理的精度。在這個意義上，需要尋求一種算法簡單、壓縮速度快、精度更高的壓縮方法。

目前，能夠同時濾波的數據壓縮處理方法大多以小波變換為基礎，但基于小波變換的濾波和壓縮算法都基于“閾值”法，其“閾值”的選擇、分解尺度的確定仍是一個困難的問題。考慮到多項式擬合法模型完善、算法簡潔，在時域濾波、信號檢測等領域有廣泛應用［2-5］，本文主要探討如何將多項式擬合法應用到船載外測數據實時壓縮中，以達到高效的壓縮和濾噪。

2 數據壓縮原理和模型

2.1 基本原理和假設

船載外測設備通過對目標飛行器的連續跟蹤和測量得到目標的實時方位、俯仰、徑向距離等數據，轉換到直角坐標系得到目標位置的3個坐標分量。由于測量過程是連續的，所以可以認為在一個適當小的時間尺度里，t時刻的測量值與前后幾個時刻的值密切相關，以t時刻為中心，選取適當的半徑，在測量數據鏈上截取一個區間，利用這個局部數據集的信息來估計t時刻的數據真值，則輸出的t時刻估計值必然優于t時刻的測量值。在實時處理中，積累一個局部數據集，輸出中心點的目標位置在3個坐標分量的估計值和微分得到的速度估計值，再積累1 s測得的數據，構成新的局部數據集，輸出間隔1 s的下一個估計值，這樣大量的數據進行壓縮得到每秒1點的輸出值。在t時刻的局部數據集里，充分利用每個數據的信息，用一個多項式組合來擬合運動函數，用最小二乘估計得出的擬合值濾去了噪聲等誤差，比平均法更為接近真值。

假設采樣間隔為h，積累的局部數據集中的采樣時間點為ti=ih，i=1，2，…，n。設飛行目標運動函數為f（t），采樣點ti時刻的設備測量值為yi，則yi=f（ti）+εi，εi為隨機誤差（也包括修正殘差）。根據Weierstrass第一逼近定理，可以用一組最高次數為m的多項式來擬合f（t），即近似模型為

2.2 構造正交多項式基

為了減小在進行最小二乘估計時正規方程系數矩陣的計算量，以及多項式階數變動時的重復計算量，現在從最簡單的代數多項入手構造正交多項式基。設P為［0，nh］上的多項式的全體，對p，q∈P，定義內積〈p，q〉=，若〈p，q〉=0，則稱p，q正交。利用Schmit正交化方法:

可以得到:

可以看出，利用Schmit正交化方法構造出來的正交多項式有很多特性，例如奇次多項式關于區間中點奇對稱、偶次關于偶對稱，這在進行內積計算時可以減少很多計算量。

2.3 用正交多項式擬合f（t）

于是

擬合點位置輸出公式:

擬合點速度輸出公式:

上面兩公式就是在區間內任意壓縮點的輸出公式。由前面的分析，我們選擇局部數據集的中心點為壓縮點，h取0.05 s，，局部數據集點數n為奇數，只需要確定m和n。下面通過對壓縮效率的計算來討論m和n的選取方法。

2.4 壓縮效率分析

數據壓縮的保真度取決于多項式對真實信號的擬合效率，最小二乘估計的精度取決于估計值與真值的偏差的期望和方差這兩個量。上述兩個數據中，一個用于衡量估計值與真實信號的偏差即截斷誤差大小，另一個衡量平滑的效果即隨機誤差的大小。

事實上，多項式次數越高截斷誤差會越小，但同時曲線擺動會加劇，也就是平滑方差又會增大；局部數據集點數越大，平滑效果越好，但截斷誤差又會增大，容易引起時序的相關性。為了得到誤差期望和方差關于m和n的表達式，進行了如下推導:

采用同樣的方法，可得出速度壓縮的偏差Δ′（t）的估計和方差為

可以看出:截斷誤差隨m增加而減小，隨n增加而增大；而隨機誤差隨m增加而增大，隨n增加而減小。式（6）、式（8）中只未知，但一般變化不會很大，在估算中不妨當作定值（這在事后數據處理時可以用很多方法進行統計估算，但實時運算時無法估算）。

實踐中，為了避免多項式擺動可能產生大的振蕩，多項式進行擬合時一般很少使用超過6階的多項式。在航天應用背景中，航天測量信號的主趨勢有三階多項式特征及特征點［2-3］，故對外測數據進行擬合時一般采用的多項式最高次數為2次或3次［1-3］。另一方面，作為外測數據實時壓縮預處理，局部數據集的大小直接決定了輸出數據的遲延滯后。如果n≤41，積累n點數據，在整秒點輸出，時間滯后1 s；如果41＜n≤81，時間滯后2 s；如果81＜n≤121，時間滯后3 s。n越大，滯后時間越長，為了滿足實時性的需求，一般時延不超過1 s，因此n取值小于41點，如常用的21點、41點。在對位置進行壓縮輸出時，由于p1（t）、p3（t）關于中點奇對稱，、式（7）容易比較得:

即同樣的采樣點n，三次多項式擬合與二次多項式擬合平滑效果相同但截斷誤差更小，所以用三次多項式進行擬合壓縮。進而，對于采樣21點和41點進行比較時:

相對于方差來說，21點擬合比41點擬合的截斷誤差小得多，因此選用21點擬合輸出。

在對速度進行壓縮輸出時，p0（t）和p2（t）關于中點偶對稱，故p′0（ˉt）=p′2（ˉt）=0，代入式（8）、式（9）容易比較得:

即同樣的采樣點，二次多項式擬合時，雖然截斷誤差比三次多項式大，但方差減小的幅度更大，因此用二次多項式進行擬合壓縮。對于采樣21點和41點進行比較時:

41點擬合雖然截斷誤差比21點擬合大，但方差減小的幅度更大，因此用41點擬合壓縮效果更好。

綜合衡量方差和截斷誤差，對位置壓縮時，采用三次多項式21點壓縮平滑；對速度壓縮時，采用二次多項式41點壓縮平滑。

3 仿真分析結果

為了能夠準確地對各數據壓縮方法的精度進行分析，需要有不含噪聲的目標真實值作為比較對象，而實測任務中的外測數據沒有真實值作為對比，所以我們采用理論設計彈道加入噪聲的方式產生外測數據源。在Matlab仿真環境下，選取某次任務地心固聯系下理論彈道的x軸方向分量數據為目標真實值。由于外測設備的隨機誤差一般只有幾米，所以我們在目標真值上疊加一組均值為0、標準方差為10的白噪聲，選取其中250 s的數據。對位置進行壓縮輸出時，比較只取整秒點做法、平均法及用三次多項式21點擬合和41點擬合法的結果值與真值的偏差，如圖1～5所示。

從圖1～5可以看出，三次21點多項式擬合壓縮法比較平滑地體現了數據的特征，其與真值的偏差也明顯小于整秒點輸出法和平均法。在用三次多項式對位置數據進行擬合時，采樣21點比41點偏差更小。

對速度進行壓縮輸出時，比較二次和三次多項式的擬合效果圖，以及二次多項式21點擬合和41點擬合法的結果值與真值的偏差，如圖6～9所示。

從圖6～9可以看出，二次多項式比三次多項式擬合壓縮的效果更好，在用二次多項式對速度數據進行擬合時，采樣41點比21點的精度更高。

4 結論

利用多項式擬合法對船載外測數據進行壓縮既簡單實用，又能夠滿足船載外測數據預處理系統對實時性的要求。從仿真結果可以看出，本文提出的多項式擬合法達到了良好的壓縮和濾噪的效果，能夠在比較高的精度范圍內體現數據的真實曲線特征，壓縮效率分析中對多項式次數和采樣點數的討論結果也在仿真示例中得到了充分的驗證。

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WU Jin-mei was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1983.She received the M.S.degree from National University of Defense Technology in 2008.She is now an engineer.Her research concerns data processing，computer software and its applications.

Email:wjm-83＠yahoo.com.cn

胡上成（1985—），男，江西高安人，2006年于武漢大學獲學士學位，現為工程師，主要從事數據處理、計算機軟件及其應用方面的研究；

HU Shang-cheng was born in Gao′an，Jiangxi Province，in 1985.He received the B.S.degree from Wuhan University in 2006.He is now an engineer.His research concerns data processing，computer software and its applications.

凌曉冬（1978—），男，江蘇揚州人，2009年于國防科技大學獲博士學位，現為工程師，主要從事數據處理、資源調度、試驗評估等方面的研究。

LING Xiao-dong was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1978.He received the Ph.D.degree from National University ofDefense Technology in 2009.He is now an engineer.His research concerns data processing，resource scheduling，testevaluation，etc.

Email:lxd-78＠yahoo.com.cn

Application of Polynomial Fitting in Real-time Compressing Algorithm for Outer-trajectory Measurement Data of TT＆C Ship-borne Equipment

WU Jin-mei，HU Shang-cheng，LINGXiao-dong
（China Satellite Maritime Tracking and Control Department，Jiangyin 214431，China）

In order to save storage space and improve transport efficiency from huge of dynamic data of TT＆C ship-borne trajectorymeasurement equipment，the ship-borne central computermust reprocess and compress the data.An algorithm based on polynomial fitting for real-time trajectory data compression is proposed in this paper.A seriesoforthogonal polynomialbasis are presented and the smoother formula ofoutputpointwith the least square filtering is applied.When the truncation error and random error are considered simultaneously，the best filter is obtained.Computational results show the novel algorithm is a promised compression and noise filtering method.

space TT＆C ship；outer-trajectory measurement data；polynomial fitting；data compressing；noise filtering

V557；TP274

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.12.014

吳金美（1983—），女，江蘇揚州人，2008年于國防科技大學獲碩士學位，現為工程師，主要從事數據處理、計算機軟件及其應用方面的研究；

1001-893X（2011）12-0068-06

2011-06-20；

2011-09-28