三次樣條插值在電弧爐無功補償中的應用

賈文超， 趙 欣

（1.長春工業大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012; 2.國營漢光機械廠，河北邯鄲 056028）

0 引 言

電弧爐以其靈活性、可靠性、較快的冶煉速度以及較優的冶煉質量等優勢在冶金行業得到了廣泛應用。電弧爐工作時，由于電弧長度急劇變化，引起無功急劇波動，導致電網電壓的閃變和波動;由于各相電弧電壓是獨立變化的，三相電弧各自急劇無規則變化，故其三相電流是不對稱的，產生負序電流;平均功率因數低于0.75，在發生工作短路時甚至低于0.1[1-2]。由于電弧爐的容量大，是用電大戶，導致其所在的電網也存在電壓閃變和波動嚴重、高次諧波多、電網功率因數低的問題，這不僅影響電爐自身的質量，使電耗、電極消耗增大，更危及發配電和大量用戶，成為目前電網最主要的公害之一，進行無功補償是解決以上問題的必要手段。

1 晶閘管可控電抗器的基本原理

圖1 TCR單相電壓電流波形圖

TCR的基波等效電納為[4]:

XL——實際電抗值。

我們得到:

對于基波，晶閘管控制的電抗器可看作一個可控的電納。在反并聯晶閘管完全對稱的情況下，TCR產生的主要是奇次諧波，在電流系統中容易消除3次諧波，而5，7，11，13等次諧波分量已足夠小，所以只需考慮基波電納[5-6]。TCR中電感電流的導通時間與電感本身無關，僅取決于α。所以無功補償就在于得到無功量，進而求得補償電流即可，無功補償的問題只要精確控制了相位角α，也就控制了電流量，就可以精確地進行無功補償。另外，TCR的動態響應好是一個獨具的優點，也是它被廣泛應用的重要原因[7]。

2 樣條插值函數

在實際應用中，通常是先得到補償電納值，再根據該值，通過解方程組得到觸發角的值。由于式（1）為超越方程，在計算機中求解比較困難，故采用函數逼近的方法，根據已知條件，建立相應的函數[8]。因為晶閘管控制角的計算精度直接影響無功補償的效果，故選擇合理的計算方法就比較重要，文中運用三次樣條插值法來實現晶閘管控制角的計算。在可控電納BL（α）與控制角α的關系式（1）中，如果取

則有:

三次樣條插值重點是求取彎矩方程，下面介紹彎矩方程:設R（x）在節點a≤x0＜x1＜…＜xn≤b上的二階導數值為R″（xi）=Mi（i=0，1，…，n），由于R（x）在[xi，xi+1]上是二階光滑三次多項式，故R″（x）在[xi，xi+1]上是線性連續函數，表示為:

其中，hi=xi+1-xi，對此式兩端在區間[xi，xi+1]上求積分兩次，并利用R（xi）=fi，R（xi+1）=fi+1可確定積分常數，從而得到樣條插值函數:

這里，Mi（i=0，1，…，n）是未知量，但它可利用條件R′（xi-0）=R′（xi+0）（i=1，2，…，n-1）得到關于 M0，M1，…，Mn的方程組，當 x∈[xi，xi+1]時，對R（x）求導得

由此可得

當x∈[xi-1，xi]，可得

由R′（xi-0）=R′（xi+0），可得到

其中

式中:f[xi-1，xi，xi+1]——f（x）關于節點xi-1， x，xi+1的二階差商。

式（9）是含有n+1個未知量M0，M1，…，Mn的（n-1）個方程，再由R′（x0）=f′（x0），R′（xn）=f′（xn）補充兩個方程，它們可由式（5）當i=0時及式（6）當i=n時得到，即

矩陣形式表示為

其中

3 計算結果與仿真

其計算結果見表1。

表1 原函數與插值函數對照表

由表1中的計算結果可知，計算誤差最大為0.003，完全符合預期的要求。

根據所得插值函數結果，在MATLAB下進行仿真。將原晶閘管觸發角函數曲線sinγ-γ=κ和建立的樣條插值函數曲線R（x）進行對比，利用plot（x，y）得到擬合圖形，如圖2所示。

圖2 原函數與樣條函數對照

4 結 語

闡述了當前無功補償技術在應用中存在的一些問題，采用晶閘管可控電抗器可以減小損耗，降低沖擊電流產生的負面影響，實現節能的目的。由于晶閘管可控電抗器方程不能直接求解，所以采用函數逼近的方法建立起三次樣條插值方程，通過計算機仿真表明，該方法原理正確、方案可行。

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