個體風險模型中總索賠額分布函數的估值問題

趙麗霞

（山西大學商務學院，山西太原 030031）

0 引 言

的基礎上，對S的分布函數FS（x）的取值范圍進行了探討。

1 主要結果

引理1 若Xi（i=1，2，…，n）相互獨立，服從參數為λ的指數分布，則X1+X2+…+Xn服從參數為（n，λ）的Γ分布，其分布函數為:

證明

證明

引理3[7]若對于任意的x（x≥0），有

即F（x）為NBUE（NWUE）類分布，則對于任意的x（x≥0），有

G（x）——指數分布函數，其參數為λ。

首先，作為文獻[3-6]的推廣，我們研究個體理賠額服從指數分布下總理賠額概率密度的確定問題。

證明 由引理1和引理2易知

下面在Xi的分布函數為抽象函數F（x）的基礎上，討論總理賠額的分布函數的估值問題。

證明 由卷積公式及數學歸納法易知

因此

另一方面

定理3 若對于任意的x（x≥0），有

即F（x）為NBUE類分布，N服從參數為β的Logarithmic分布，則對任意的x（x≥0），有

其中

證明 易知Logarithmic分布的分布律組成的數列{pn}是單調遞減數列，即

由引理3，可得

另一方面，由引理2和引理3，得

另由文獻[8]可知:

定理4 若對于任意的x（x≥0），有

即F（x）為NWUE類分布，N服從參數為β的Logarithmic分布，則對于任意的x（x≥0），有

其中

2 結 語

保險系統中，總索賠額的分布函數是保險費率厘定的基礎，因此對其進行研究是完全有必要的。但是，通常情況下總索賠額分布函數的精確表達式是很難得到的。文中在一些基本假定下，探討了總索賠額分布函數的估值問題，推導出了它的上、下界，為費率厘定提供了基礎。當參保人數為一般的計數過程時，總索賠額分布函數的估值是要進一步研究的內容。

[1] 楊靜平.非壽險精算學[M].北京:北京大學出版社，2006.

[2] Cai J，David C，Dickson M.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the sparre andersen model with interest[J].Insurance:Mathematics and Economics，2003，32:61-71.

[3] 王志忠，劉裔宏.保險系統的損失分布模型[J].經濟數學，1997（2）:55-58.

[4] 吳和成.保險系統的一個損失分布模型[J].系統工程，2003，21（1）:94-97.

[5] 劉維奇，史金鳳.保險系統的兩類損失分布模型[J].山西大學學報:自然科學版，2005，28（3）:247-252.

[6] 李東梅，劉維奇.保險系統損失分布模型新探[J].系統工程，2004，22（2）:20-22.

[7] Barlow R E，Proschan F.Statistical theory of reliability and life testing[M].New York:Holt，1975.

[8] Ross S M.Stochastic process[M].New York: John Wiley&Sons，1983.