二階脈沖微分方程組四點邊值問題非負解的存在性

盧振花, 劉錫平, 沈 立

(上海理工大學理學院,上海 200093)

1 問題的提出

微分方程組理論是研究高階微分方程相關問題的重要基礎,近年來,常微分方程組的理論研究受到了國內外學者的廣泛關注[1-3].文獻[2]利用Leggett-Williams不動點定理研究了一類二階微分方程組兩點邊值問題解的存在性,得到了非負解存在的充分條件.眾所周知,脈沖微分方程在電子工程和生物工程等領域有著廣泛的應用背景,國內外學者對脈沖微分方程邊值問題進行了大量研究[4-5].文獻[4]利用Leggett-Williams不動點定理研究了一類二階脈沖微分方程三點邊值問題非負解的存在性.文獻[5]研究了一類二階脈沖微分方程積分邊值問題的存在性和唯一性.

本文研究二階脈沖微分方程組四點邊值問題

非負解的存在性.其中,fi∈C([0,1]×R+×R+,R+),Ii k∈C(R+×R+,R+),R+=[0,+∞),0＜t1＜t2＜…＜tm＜(tk).xi(tk),xi(t+k)分別為xi(t)在t=tk處的左、右極限,關于x′i(t)有類似的定義,i=1,2.

令J=[0,1],J′=J{t1,t2,…,tm},PC[J, R]={x∶J→R∶x(t)在t≠tk連續,x(tk), x(t+k)均存在,且滿足x(tk)=x(tk),k=1,2,…,m}.

設E=PC(J,R),‖x‖0=supt∈[0,1]｜x(t)｜,則(E,‖?‖0)是Banach空間.設X=E×E,并取范數‖(x1,x2)‖=‖x1‖0+‖x2‖0,則(X,‖?‖)為Banach空間.

2 預備知識

引理1 設y∈C(J),0＜a＜1,則脈沖微分方程邊值問題

的解x(t)當且僅當滿足積分方程

其中

證明 假設x(t)是方程(2)的解,則存在ξk∈(tk-h,tk),使得

其中,0＜h＜tk-tk-1.

設x′(tk)=x′(tk),k=1,2,…,m.易得對任意t∈J,有

于是

當t≤ξ時

當t≥ξ時

那么任意t∈J,有

另一方面,若x∈PC[J,R]是積分方程的解,那么很容易得到x∈PC[J,R]∩C2[J′,R]是邊值問題(2)的解.證畢.

定義算子T1,T2∶X→E.

其中

根據Gi(t,s)的定義,不難證明Gi(t,s)具有下面引理2的性質.

引理2 函數Gi(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),i =1,2,并且

現給出Leggett-Williams不動點定理.

設常數d,L,r＞0,記

引理3[6]設E是一個Banach空間,K?X是X上的錐,c＞0,c為常數,若存在K上的非負連續凹泛函w,對任意x∈有w(x)≤‖x‖,并設是全連續算子,如果存在常數r,L和d滿足0＜r＜L＜d≤c,使得下列條件成立:

a.{x∈K(w,L,d)∶w(x)＞L}≠?,并且對任意x∈K(w,L,d),有w(Tx)＞L;

c.對任意x∈K(w,L,c),當‖Tx‖＞d時,有w(Tx)＞L.

3 主要結論及其證明

令K={(x1,x2)∈X∶xi(t)≥0,t∈[0,1],i= 1,2},則K為X上的錐.定義

其中,1＞δ＞max{tm,ξ1,ξ2},x∈K.那么易得w是K上的非負連續凹泛函.

記D=[0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),a0= min{a1,a2},ξ0=min{ξ1,ξ2}.

定理1 若存在正常數r,L,d,c,λi,λ′i,μi,μ′i,i =1,2,滿足λ1+λ2=1,λ′1+λ′2=1,μ′1+μ′2=1,r＜并且下列條件成立:

a.對任意(t,u,v)∈{(t,u,v)∈D∶u+v≤c},有

b.對任意(t,u,v)∈{(t,u,v)∈D∶u+v≤r},有

c.對任意(t,u,v)∈{(t,u,v)∈D∶L≤u+ v≤d,t∈[δ,1]},有i=1,2.

則邊值問題(1)至少存在3個非負解,x*= (x*1(t),x*2(t)),y*=(y*1(t),y*2(t)),z*= (z*1(t),z*2(t)),且滿足

且

且

證明 設T∶X→X,T(x1,x2)=(T1(x1, x2),T2(x1,x2)).首先證明算子是全連續算子.

任意x=(x1,x2)∈K,由算子定義易得(Tix)(t)≥0,t∈[0,1],即Tx∈K,則T(K)?K.

由于定理限定條件λ1+λ2=1,λ′1+λ′2=1,則對任意x=(x1,x2)∈,有

現證明T滿足引理3的條件.

類似于上面的證明過程,由定理1的條件b可得,對任意x=(x1,x2)∈,有‖Tx‖＜r.即引理3的條件b滿足.

注意到 0＜a1,a2＜1,0＜ξ0＜1,則 0＜max{a1,a2}ξ0＜1,于是,有

即y0∈{x∈K(w,L,d)∶w(x)＞L}≠?.

對任意x=(x1,x2)∈K(w,L,d)有w(x)≥L,‖x‖≤d,即 L≤x1(t)+x2(t)≤d,t∈[δ,1]

由定理1的條件c,有

由引理2,任意x=(x1,x2)∈K(w,L,d)且‖T x‖＞d時

因此,任意x∈K(w,L,d)且‖Tx‖＞d時,有 w(Tx)＞L.則引理3的條件c滿足.

于是,邊值問題(1)至少存在3個非負解x*= (x*1(t),x*2(t)),y*=(y*1(t),y*2(t)),z*= (z*1(t),z*2(t)),且滿足定理結論.證畢.

[1] AGARWAL R P,O'REGAN D.A coupled system of differential equations[J].Math Comput,2000,114(1): 39-49.

[2] AGARWAL R P,O'REGAN D.A multiplicity result for second order impulsive differential equations via the Leggett Williams fixed point theorem[J].Appl Math Comput,2005,161(2):433-439.

[3] 席守亮,賈梅,紀慧鵬.二階常微分方程組邊值問題正解的存在性[J].上海理工大學學報,2009,31(4): 318-321.

[4] JIA Mei,LIU Xi-ping.Three nonnegative solutions of three-po intb oundary value problem forsecond-order impulsive differential equantions[J].Jo urnal of Mathematical Research and Exposition,2008,28(3): 567-574.

[5] JIA Mei,LIU Xi-ping.Existenceofsolutionsfor second-order impulsive differentialequations with integral boundary conditions[C]//Proceedings of the 7th Conference on Biological Dynamic System and Stability ofDifferentialEquation.Liverpool:World Academic Press,2009:2880-2886.

[6] GUO Da-jun,LAKSHMILKANTHAM V.Nonlinear Problemsin Abstract Cones[M].San Diego:Academic Press,1988.