廣義對稱正則長波方程孤波解的軌道穩定性

張海燕, 張衛國, 李韶偉, 楊 劉

(上海理工大學理學院,上海 200093)

1 問題的提出

廣義對稱正則長波方程為

當b2=1/2,b3=0時,方程(1)成為對稱正則長波方程

方程(2)是用于描述弱非線性作用下等離子聲波傳播的數學模型[1],它也出現在其他的許多非線性數學物理問題中[2].文獻[1-2]給出了方程(2)的孤波解、守恒律和孤波解間的相互作用.關于方程(2)整體解和數值解方面的研究結果可參見文獻[3 -5].文獻[6]求出了方程(1)及一類更廣義的對稱正則長波方程的精確孤波解.文獻[7]討論了廣義對稱正則長波方程

孤波解的軌道穩定性和不穩定性.文中假設 f∈C1,當s＞0時,f(s)＞0,且當s→0時,｜f(s)｜= o(｜s｜p),｜f′(s)｜=o(｜s｜p-1),p＞1,而且其假設1中要求所考慮的孤波解(φc,ψc)T中的 φc＞0.(?,?)T表示轉置運算,以下相同.

本文研究廣義對稱正則長波方程(1)孤波解的軌道穩定性.若將所研究的方程(1)化為方程(3)的形式,則f(u)=b2u2+b3u3,這里f(u)的表達式中有兩個非線性項,且b2,b3不取定符號,故所研問題沒有被包含于文獻[7]中.而且由定理1可知,方程(1)實際上有兩個鐘狀孤波解(φi,ψi)T,i=1, 2,其中,φ1(ξ)＞0,φ2(ξ)＜0,本文也將討論(φ2, ψ2)T的軌道穩定性.故本文所研問題是新的且有意義的.

2 方程(1)的鐘狀孤波解及柯西問題解的局部存在性

根據文獻[6],方程(1)的孤波解

滿足

其中,u′(ξ),u″(ξ)→0,｜ξ｜→∞,且孤波解的精確表達式由定理1給出.

定理1 設c2-1＞0.

a.若b3c＞0或b3=0且b2c＞0,則廣義對稱正則長波方程(1)有一個鐘狀孤波解

b.若b3c＞0或b3=0且b2c＜0,則廣義對稱正則長波方程(1)還有一個鐘狀孤波解

現利用半群理論研究方程(1)柯西問題解的局部存在性.首先給出兩個引理[8-9].

引理1 一個線性無界算子 A是C0半群{T(t):t≥0}的無窮小生成元的充分必要條件是A為稠定的閉算子,且存在實數M與ω,使當λ＞ω時,有

其中,ρ(A)為預解集,R(λ;A)n為預解式.

引理2 對非線性方程的柯西問題

a.A是空間X上的某個C0半群T(t)的無窮小生成元;

b.f∈C(R+×X,X)滿足Lipschiz條件:對?T＞0,存在K=K(t),使‖f(t,u)-f(t,v)‖≤K(t)‖u-v‖,?u,v∈X,t∈[0, T],則初值問題(6)在R+上存在唯一解

根據引理1與引理2可以推出關于方程(1)柯西問題解的局部存在性的引理3.

證明 首先可將方程(1)化為

其中

現證明A是空間X上的某個(C0)半群的無窮小生成元,且D(A)=H1×L2.

據引理1可知,只要證明存在實數 ω,使得當λ＞ω且λ∈ρ(A)時,有

由式(10)可知

根據式(11)可知

綜上,據引理1和引理2即知引理3成立.

3 孤波解軌道穩定的一般性結論

首先將方程(1)化為Hamilton系統

其中

設在空間X=H1(R)×L2(R)上有內積

X的對偶空間為X*=H-1(R)×H-1(R).X與X*間存在自然同構I:X→X*,定義為其中,〈?,?〉表示X與X*之間的配對

設T是X上具有單參數的酉算子群,定義為

顯然

易知

方程(1)的孤波解式(4b)、式(5)可表為

式中,φ1(x),φ2(x)分別由式(4b)、式(5b)給出.現考慮孤立波解T(ct)(x)的軌道穩定性.為不重復,取定(x)為(x)和(x)之一.驗證T(ct)(x)滿足Grillakis-Shatah-Strauss提出的軌道穩定性理論[10-11]的條件.

首先,由引理3可知,方程(1)的初值問題存在唯一解,且易證由式(14)、式(18)定義的E()、Q()分別滿足

其次,可證引理4.

對式(19)兩邊積分,得

式中,a1,a2為積分常數.

由于 φc、ψc、φcξ ξ→0,當｜ξ｜→∞時,故有a1= 0,a2=0,從而有

現考慮算子Hc,并進行譜分析.

算子Hc:X→X*定義為,這里

故有

由式(19)可得

整理得

令

根據文獻[10-11]可得引理5.

引理5 對滿足〈y,χ〉=〈y,φcx〉=0的任意實函數y∈H1(R),存在δ＞0,使得

令

有

令

有

令

則

綜上所述,當c＞1時,可對Hc譜分解為

因此,空間X可分解為直和X=N+Z+P,其中,Z為Hc的核空間,N為一個有限維空間,P為一個閉子空間.

于是,由引理3～5,以及對 Hc的譜分析,可得關于廣義對稱正則長波方程(1)孤波解軌道穩定的一般性結論.

4 孤波解軌道穩定性的充分條件

4.1 關于軌道穩定的判別式

首先將式(23)化為顯式且化簡.據定理1中式(4)和式(5)可知,將它代入式(23),再作代換則有

由于-2＜Bi＜0,解出中的積分,并代入原式,可得

當Bi=B1時

當Bi=B2時

化簡,得

其中

進一步,設

則式(25)可等價表示為

式(26)可等價表示為

4.2 關于M1與M2的討論

令g(x)=x(π-2arctan x),有

g(x)在x0處取極大值,這里x0滿足g′(x0)=0,有

b.對于M2.當b2＞0時,有 x∈(0,+∞), M2∈(0,+∞).當b2＜0,則

與考察M1時同理,可證M2∈(-2,0).

4.3 2c-k2＞0時孤波解軌道穩定的充分條件

基于d″i(c)的顯式表達式(30)、式(31)和關于其中M1、M2的討論,現給出較為容易判別孤波解和軌道穩定的充分性條件.

當b2＞0時,為得到c滿足何種條件時d″1(c)＞0,只需考慮在式(30)中取M1=2時, d″1(c)＞0的條件.現在式(30)中取M1=2,通分并注意此時分母恒正,可知當c的取值滿足

當b2＜0時,式(30)中-3M1(2c-k2)＞0.為使d″1(c)＞0,即孤波解軌道穩定,只需取c滿足

當b2＞0時,因此時有M2∈(0,+∞),為使d″2 (c)＞0,只需取c滿足式(33).

當b2＜0時,因此時有M2∈(-2,0),為使d″2(c)＞0,只需考慮在式(31)中取M2=-2時d″2(c)＞0的條件,易知只需取c滿足不等式(32).

綜上可得定理3.

a.若b2＞0,且波速c使不等式(32)成立,或當b2＜0時,波速c使不等式(33)成立,則孤波解軌道穩定.

b.若b2＞0,且波速c使不等式(33)成立,或當b2＜0時,波速c使不等式(32)成立,則孤波解軌道穩定.

4.4 2c-k2＜0時孤波解軌道穩定的充分條件

當b2＞0時,因此時式(30)中-3M1(2c-k2)＞0,為使d″1(c)＞0,只需考慮取M1=0時d″1(c)＞0的條件.易知當c滿足式(32)時,d″1(c)＞0,從而孤波解軌道穩定.

當b2＜0時,因此時式(31)中3M2(2c-k2)＞0,為保證d″2(c)＞0,只需考慮取M2=0時 d″2(c)＞0的條件.易知此時只需取c滿足式(33), d″2(c)＞0即成立,從而孤波解軌道穩定.

綜上可得定理4.

5 結束語

研究了具兩個非線性項的廣義對稱正則長波方程(1)孤波解的軌道穩定性.應用文獻[10-11]中提出的軌道穩定性理論,經過方程解的局部存在性證明、有界態存在的證明以及算子Hc的譜分析與計算,給出了判別方程(1)孤波解軌道穩定的一般性定理.利用所求方程(1)的兩個精確孤波解(φi,ψi)T, i=1,2,給出了判斷它們軌道穩定的判別式d″i(c)的顯式表達式.進一步利用分析方法導出了較為容易判別這兩個孤波解(φi,ψi)T軌道穩定的充分條件——定理3和定理4.

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