二階常微分方程邊值問題的格林函數(shù)求法

劉麗環(huán)， 常 晶， 高艷超

(空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長春 130022)

0 引 言

利用拓撲度理論、半序方法以及臨界點理論可以研究常微分方程多個解的存在性，利用不動點定理和單調(diào)迭代法可以研究脈沖常微分方程解的存在性。這些年來，這方面的結(jié)果有很多[1-5]。格林函數(shù)方法是求解常微分方程的一種重要方法，它的實質(zhì)是把常微分方程加上邊值條件轉(zhuǎn)化為一個積分方程，通過研究格林函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)非線性項的性質(zhì)求所述的非線性常微分方程邊值問題的解[6-8]。文中主要應(yīng)用格林函數(shù)方法以及壓縮映射原理證明下面二階常微分方程

解的存在惟一性。

1 主要結(jié)果及證明

定理1 若方程(1)中f(t，y(t)，y′(t))連續(xù)，且滿足Lipschitz條件，即

且若

則方程(1)存在惟一解。

證明 首先構(gòu)造(1)的G reen函數(shù)為

則方程(1)等價于

與

因此

并且

此函數(shù)在t=a與t=b處達到最大值，由此可得

接下來需要尋找一個函數(shù)空間，使得y(t)以及y′(t)在此空間下均收斂。取S為[a，b]上的C1函數(shù)空間，取u∈S，并定義其范數(shù)為:

其中K與L為

中的Lipschitz常數(shù)。下面需要構(gòu)造映射 T:S→S，既需要證明:(1)只要u(t)是C′的，則Tu(t)就是C′的;(2)T為壓縮映射。為此構(gòu)造差商:

則

且關(guān)于t連續(xù)，故Tu(t)就是C′的。我們還需要證明(2)成立。

構(gòu)造

因

故可以推得

由Lipschitz條件

可得。

又因

從而

故當

時，‖Tu-Tv‖≤α‖u-v‖，α＜1，故T為壓縮映射，從而方程(1)有惟一解，定理得證。

注1:若方程(1)的邊值條件改為

則其相應(yīng)的G reen函數(shù)為:

則問題等價于

和

注2:若f中不含有y′時，即

其函數(shù)空間S的范數(shù)此時可定義為

這是S為完備的賦范線性空間，顯然u(t)是連續(xù)的，則Tu(t)就是連續(xù)的，這意味著T將S映射到自身，接下來確定何時T是S上的一個壓縮映射。首先

如果使用G(t，s)≥0，及Lipschitz條件

有

由于

因而

其中

引例:考慮

這時

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