隨機參數股價波動源模型下可贖回可轉債定價

鄭曉陽，官 暢

(哈爾濱工程大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

可轉換債券是一種特殊形式的企業債，可以看作由債券和股票兩部分組成，因而兼具債權性質和股權性質.因其賦予投資者在到期時將債券轉換成股票的權利，其中所含的可轉換股權可視為一種認股期權，再配以贖回條款、回售條款等各種也具有不同期權性質的條款，使得可轉換債券成為一種獨特的混合型金融衍生產品，其定價問題研究也具有了重要的意義［1］.

因為可轉債具有內嵌期權性質，對其定價問題的研究建立在了已有的期權定價研究基礎之上.因而1973年經典的Black-Scholes期權定價公式的出現不僅極大地促進了期權定價理論的發展，也很大程度上推動了可轉換債券的定價問題研究.最早將Black-Scholes公式用于可轉換債券定價的是Ingersoll(1977)、以及Brennan和Schwartz(1977)的研究成果.他們為可轉債定價提供了新思路，對后續研究具有重要參考價值［2-4］.鞅理論在近代金融數學中因其特有優勢逐漸成為備受關注的數學工具.有關鞅理論在可轉債定價中的應用，學者們已進行了各種討論［5］，繼給出普通可轉債的鞅定價解析公式后，又利用鞅理論求得了考慮各種附加條款的可轉債定價公式［6-8］.之后的研究考慮了不同的股票模型，例如支付紅利的股價模型［9］、考慮信用風險的模型［10］，同時也考慮了參數恒定或是為隨機函數的不同情形.文獻［11］首先采用了股價波動源模型，但模型中的各項參數都設置為常數，且異常波動源也假設為線性函數.本文不局限其為線性函數，正符合此次金融危機帶來異常波動的情形，同時將各參數視為依賴時間的函數，并且考慮了附加回購條款，利用鞅定價理論得出了新模型下的可轉換債券初始價格定價公式.

1 可贖回可轉債到期時刻價值分析及市場假設

1.1 可贖回可轉債到期現金流分析

除了能夠像普通可轉換債券一樣到期可以選擇轉換成股票以外，附加贖回條款的可轉換債券是指，當股票價格連續一段時間高于轉換價格時，發行方有權要求將債券贖回，從而保護發行方，幫助其減少因股價持續過高造成的損失.因而贖回條款實際是賦予了發行公司能夠強行轉換的權利，對投資者來說，這相當于是一個設定了敲出價格的障礙期權.

設可轉換債券面值為M，轉換價格為C，到期時刻純債券價值為PT，約定的障礙價格為L，股票在時間內的最高價格為［0，T］，則該可轉債到期時刻的價值為CT可表示如下:

1.2 市場假設

市場模型滿足以下基本假設:

1)市場為有效的無摩擦市場;

2)股票價格服從幾何布朗運動，其中股票價格預期收益率μ(t)和波動率σ(t)都是依賴于時間的函數;

3)市場無風險利率r(t)也是時間t的函數，且貸入和貸出的利率相同;

4)股票交易連續進行，不存在交易費用及交易稅;

5)股票在可轉換債券持有期內無紅利支付;

6)可轉換債券無違約風險;

7)可轉換債券不會在到期日前進行轉換.

假設股票價格滿足方程:

式中:α(t)為異常波動源的預期收益率函數［6］，此處不限定其為簡單線性函數，而是能根據市場實際情況設定的波動函數;{，0≤t≤T}是概率空間(Ω，F，P)上的標準布朗運動;{Ft，0≤t≤T}是由{，0≤t≤T}生成的σ域.

2 Girsanov定理和概率測度轉換

2.1 Girsanov定理

Girsanov定理是進行概率測度轉換時的基本理論依據，其具體內容如下.

Girsanov定理:(Ω，F，P)是一概率空間，Ω是的所有子集構成的σ代數，如果(θt)0≤t≤T是滿足的適應過程，且使得如下定義的過程(Lt)0≤t≤T是一個鞅:

2.2 2次測度轉換

概率測度的轉換是對Girsanov定理的具體應用.在本文的推導中，將進行如下兩次測度轉換.

2.2.1 第1次測度轉換:

定義測度P1滿足

將式(6)代入式(2)得到

對其求解得

2.2.2 第2次測度轉換

定義測度P2，滿足

同理，P2是P1的等價鞅測度，且過程

是(Ω，F，P2)上的標準布朗運動.令，則有EP1(Λ2IA')= EP2(IA')對?A'∈F都成立.由式(10)可得

將其代入式(2)得到

求解得到

在對可轉債初始價格公式的推導過程中，還需要用到如下的兩個引理［12］.

3 可轉換債券定價推導

根據式(1)給出的可轉換債券在到期時刻的預期現金流情況，再利用鞅性質，可知該類可轉換債券在0時刻的價值等于其到期時期望收益的貼現值，可將初始價格C0表示如下:

令上式右端3項分別為V1、V2、V3，以下分別求之.

3.1 V1的求解

3.2 V2的求解

P2(XT＜x，YT＜y)的計算與P1(XT＜x，YT＜y)相同，但此時取

其結果為

3.3 V3的求解

綜上，可得初始0時刻可轉換債券的初始價格為

4 結束語

本文選用股價波動源模型，正符合此次金融危機帶來異常波動的情形.利用鞅理論，推導出了隨機參數模型下可贖回可轉債的定價公式，推廣了鞅理論在該領域中的應用，為可轉債定價研究提供了新思路.對于多種條款組合，以及考慮紅利和信用風險等更加復雜的情況，有待日后進一步的研究.

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