彈簧-質(zhì)點模型中彈簧力計算問題

許 紅,許浩然

(武漢理工大學大學物流工程學院,湖北 武漢 430063)

質(zhì)點-彈簧模型是一個重要的物理模型.作為一個具有剛性系數(shù)、長度、不考慮其本身質(zhì)量的抽象體,彈簧發(fā)生形變常會使與之相連物體的受力、加速度、速度、動能等物理量發(fā)生變化.借助于彈簧的變化來分析物體的變化滲透到中學物理教學的許多領(lǐng)域,對這類系統(tǒng)的分析常遵守牛頓運動定律、功能關(guān)系等,因常伴隨著動態(tài)變化,使此類題型的難度較大.本文將以雙質(zhì)點-彈簧模型為例,就此類問題進行一定的分析和求解.

1 質(zhì)點-彈簧模型

為了便于研究復雜的質(zhì)點-彈簧模型,在傳統(tǒng)單一質(zhì)點-彈簧模型的基礎(chǔ)上考慮雙質(zhì)點-彈簧模型.現(xiàn)對此雙質(zhì)點-彈簧模型中的各字母參數(shù)的意義做如下描述:m0為質(zhì)點1的等效質(zhì)量;m1為質(zhì)點2的等效質(zhì)量,該質(zhì)點附著在質(zhì)點1上;m2為質(zhì)點3的等效質(zhì)量;X為等效質(zhì)量為m0+m1的位移;X2為等效質(zhì)量為m2的位移;g為重力加速度;K為彈簧1的剛度系數(shù);K2為彈簧2的剛度系數(shù).

為便于求解,附加如下條件[1-2]:1)質(zhì)點2附著在質(zhì)點1上,二者并沒有相對變形,設(shè)為剛性質(zhì)點;2)彈簧1的剛度系數(shù)K相對較大,在整個系統(tǒng)運動過程中變形較小.

2 質(zhì)點-彈簧模型中彈簧力計算

2.1 質(zhì)點起升時彈簧力的計算

對質(zhì)量分離體(m0+m1)和m2進行分析,計算模型如圖1所示.

圖1 彈簧-質(zhì)點模型

由牛頓第二定律得等效質(zhì)量(m0+m1)的微分方程

等效質(zhì)量m2的微分方程

這里主要研究質(zhì)點起升時彈簧的形變及其拉力,故彈簧形變引起的拉力P=KX,則由式(2)×(m0+m1)-式(1)×m2得到:

化為標準微分方程:

方程(4)的通解為

將式(6)代入方程(4)對比可知:

則方程(4)的通解為

當t=0時,(X1-X)0=m2g,(﹒X2-﹒X)0=0,代入式(1)求得:

綜上,方程(4)的通解為

則此時彈簧的彈性力

2.2 質(zhì)點起下降時彈簧力的計算

假設(shè)質(zhì)點以穩(wěn)定速度上升,這時彈簧系統(tǒng)承受質(zhì)點的靜力作用.假設(shè)阻力pT作用在質(zhì)量m0+m1上,顯然,這種情況下,其加速度方向和預張緊過程相反,其初始條件和預張緊型啟動過程的一樣.計算方法同2.1部分,該條件下彈簧的彈性力

3 結(jié)論

彈簧的彈力是由形變而決定大小和方向的,對于該習題的求解一般要從彈簧的形變分析入手,找出形變量和物體空間位置變化的幾何關(guān)系,以此分析形變所對應的彈力大小和方向.此外,雙質(zhì)點-彈簧模型在實際生活中應用較為廣泛,許多工程實例都可以轉(zhuǎn)化為質(zhì)點-彈簧模型.

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