“電磁場”課程的散度和旋度研究型教學例析

黃 輝，張小青

（1.北京交通大學 電氣工程學院，北京 100044；2.東南大學 毫米波國家重點實驗室，江蘇 南京 210096）

0 引言

“電磁場”課程是電氣工程及其自動化專業以及電子信息工程、通信工程及電子科學技術類專業的一門重要的技術基礎課程，為“電機學”和“電力系統”等課程奠定必要的理論基礎。但是，由于“電磁場”課程的概念比較抽象，理論推導繁瑣，對數學基礎要求高，被學生認為是本科最難學的課程之一。

筆者根據多年的電磁場教學經驗，發現學生對本課程的畏難情緒，直接來源于難以理解梯度、散度和旋度這幾個基本概念。特別是散度和旋度兩個概念，部分學生直到課程結束也沒有正確理解。

目前，通常采用從宏觀到微觀的教學方法，即由通量引出散度，再由環量引出旋度。這種方法建立的模型易于表述，有關通量、散度的內容較易理解；但是，對于環量和旋度，同樣的教學方法卻具有一定的局限性。這是因為作為宏觀量的環量本身就比較抽象，進一步描述微觀的旋度作為有方向的矢量就更不易被學生接受。學生往往不理解為什么旋度有方向，對其方向代表的物理意義理解起來更加模糊。

筆者依據研究型教育理論，重新設計了關于散度和旋度的研究型教學模式。本文介紹了這種教學模式主要環節的設計，包括如何引出散度和旋度、如何闡述其物理意義、計算方法等內容。

1 教學環節的設計

1）引入問題

課程的一開始，筆者從科幻小說中的哈利波特與他神奇的隱身衣說起，引用“Controlling electromagnetic fields”［1］，闡述作者Pendry對控制電磁場從而實現隱身衣的理論設想。進述時，一邊向學生展示電磁波在特定介質中發生彎曲且平滑繞過特定區域的動態視頻，一邊解釋Pendry做出此大膽預測的理論基礎僅僅是數學上的坐標變換原理和本課程的核心內容——麥克斯韋方程組。然后，從麥克斯韋方程組的微分形式自然地引出本次教學的重點：矢量場散度和旋度的計算及其物理意義。

這種以設趣與展演來激發學生學習興趣的方式，是研究型教學模式的五個基本環節之一，是引導學生善學、樂學和會學的前提［2］。一方面，利用科幻小說中的神奇隱身衣吸引學生的注意力；另一方面，展示當前電磁研究的一個新領域及其標志性成果，把學生引領到科技最前沿，用科技進步的魅力提高他們對電磁場基礎理論的學習興趣，進一步可以轉化為投身電磁場理論研究的興趣。這樣，學生對電磁場的學習就有了一個良好的開端。

2）散度的定義—從通量到散度

為了將抽象的通量概念形象化，在講解過程中，筆者利用打氣筒和氣球做演示。打氣筒向氣球充氣，模擬矢量進入閉合面S；反之，用氣球放氣模擬矢量流出閉合面S。借助這組實物，在充氣和放氣的簡單動作中，結合通量的數學表達式，學生就能對通量的定義有比較感性的認識，進而比較容易理解通量的正負與閉合面內部的正負源的對應關系。最終讓學生理解：引入通量這一概念的目的，就是為了衡量一個閉合面內部是否存在矢量的源。

當學生建立通量的概念之后，再用提問的方式引導學生進一步思考：借助通量只能判斷整個閉合面內是否有源，能否更精確地描述源的確切位置？如何描述源的強度？

要回答上述問題，可以很自然地引出通量體密度——散度：壓縮閉合面，到極限便成為點，再以這個已經成為點的小閉合面的通量除以它相應的體積，這就是散度。散度作為定義到空間點的微觀物理量，可以準確定位源點，也能衡量該點源的強弱。

為了讓學生對散度有更感性的理解，筆者引入了生活中常見的禮花作為形象化范例：如果把某一時刻噴出的禮花當作一根根矢量線，那么禮花筒所在的位置散度就大于0，是矢量的源；而且該點散度的大小與噴出禮花的疏密有關。

采用這種層層推進和兼以比喻的方式，學生能很好地理解從宏觀通量到微觀散度的推進過程。隨后，學生也就能很自然地對奧氏公式加以理解和接受：既然散度是通量的體密度，那么其逆運算——對散度作體積分，就得到通量，即奧氏公式：

對于奧氏公式的講授，可以采取這樣的方式：在課堂上不作過多的數學推導，而偏重于剖析其物理意義——以散度這一概念作為橋梁，能夠把一個矢量的閉合面積分轉化為該矢量在空間中每一點的散度的體積分，從而實現了“面—點—體”的轉化。

縱觀從通量到散度的講解，遵循了兩個原則：一是突出重點，二是循序漸進。首先，講解中注重突出通量與散度的物理意義，對高等數學已經涉及的數學運算僅僅給出要點幫助學生自我復習，而不作過多闡述。這種指要與自學也是研究型教學的基本環節之一，是可以幫助學生自主、自為和探究的關鍵環節［2］。此外，整個講授內容，從宏觀量的通量到微觀量的散度，以及利用散度完成的從“面—點—體”的轉化過程。我們始終采用層層推進的方式，注重其內在的邏輯性，引導學生自行理解從而掌握。對此內容的精講，既訓練學生的邏輯思維能力，也為后續的從環量引出旋度的講授作鋪墊。

3）旋度的定義—從環量到旋度

從環量引出旋度與從通量引出散度，二者思路有相似之處，但更有不同的地方。引導學生注意到它們的相似與不同之處，正是散度與旋度的研究型教學設計的要點。

這個講授環節以一個設問開始：“既然以散度為橋梁，可以把一個矢量的閉合面積分轉化為相應的體積分，那么，能否對應的，定義另一個物理量，把矢量的閉合線積分轉化為面積分呢？”

筆者把這個設想在黑板上寫成：“線—點—面”，加上顯著的問號。隨后，始終圍繞這個設想進行旋度的講解。先定義閉合線積分對應的物理量—環量。對一條閉合路徑L，矢量的環量為

環量表征了在選定的閉合路徑上該矢量場是否有渦旋的趨勢，可以描述此閉合路徑內部是否有引起渦旋的源和渦旋趨勢的大小。

筆者以形象化的圖1所示的水車和流速場為例：以水車外周邊為路徑L，考慮水流流速矢量。如果流速均勻且平行（無渦旋），則沿路徑L水流速度的環量為0，水車靜止；如果水流發生渦旋，環量不為0，水車將轉動；而且水車在不同位置轉動的角速度也有所不同，表明同樣的閉合路徑L處于不同位置所對應的環量不同。

圖1 環量物理意義的闡述

隨后，比較環量與通量的共同點：通量和環量都是宏觀量，環量只能表明在選定的閉合路徑中是否有渦旋源，不能描述空間點的性質。然后，引導學生思考：可不可以也為渦旋源準確定位并且衡量渦旋源的強弱呢？就像從通量引出散度一樣？

由于有了從通量引出散度奠定的基礎，學生很自然地會仿照其將“面”壓縮成為“點”的思路，設想將線積分中的“線”也壓縮成為“點”。這個設想一經提出，筆者就引導學生繼續將設想深入實現。

圖2 旋度物理意義的闡述

借助多媒體分步演示的圖2，筆者與學生共同研討如何把“線”壓縮到“點”。首先，給出流速場中一根流速線、一條閉合路徑L1及其法線方向n1，以及將L1壓縮而成的點M。然后提示學生：如果照搬從“面”壓縮成為“點”的思路，即計算壓縮到點M后的閉合路徑L1所對應的環量再除以閉合路徑所圍成的面積，得到環量面密度，整個過程會不會有什么問題？當學生思考時，再給出另外兩個同樣也可以壓縮到點M的閉合路徑L2和L3作為提示，為學生進行如下引導。

（1）比較閉合路徑L1、L2和L3對應的環量和環量面密度的大小。由于L3與矢量線垂直，所以環量為零，環量面密度也為零；而L1和L2對應的環量和環量面密度均不為零。表明：在同一位置點（如點M）的不同的閉合路徑，法線方向不同，所對應的環量也不相同，從而同一位置點的環量面密度并不唯一。說明無法直接套用散度的定義方式得到新物理量，應予以修正；

（2）確定閉合路徑L1、L2和L3對應的環量和環量面密度的關系。容易發現：L1對應的環量及其面密度最大，而且其他路徑（如L2和L3）對應的環量，都可由L1對應的環量值乘以L1與所求路徑夾角的余弦值求得。

（3）討論特殊路徑L1。首先，它是使該點環量及其面密度取得最大值的閉合路徑；其次，其他任意路徑所對應的環量均可由它間接求得；另外，它的法線正好是引發矢量渦旋的軸線。

最后，建立在這一特殊路徑上，定義了旋度：大小是把這條特殊的“線”壓縮到“點”而得到的環量面密度，即該點環量面密度的最大值；方向是該特殊路徑的法線方向，即環量面密度取最大值的曲面方向。通俗一點是：某點旋度的方向就是該點渦旋源的軸線方向，而旋度的大小表征了場量繞著這一點渦旋趨勢的大小。

根據旋度的定義，可以得到斯托克斯公式：對旋度作面積分，得到環量。

最后，通過對旋度的定義，證實了最初的設想：把一個閉合線積分通過對每一點求其旋度，轉化為一個面積分。

2 研究型教學理念的深化

關于旋度定義的教學設計，遵循的主線為，仿照從通量到散度（“面—點—體”）的思路，實現“線—點—面”，由環量得到旋度。整個教學活動，重視問題解決的思維過程，在立足教材內容的同時，有意識地把靜態知識展示成為動態的科學探究過程。

另外，研討與回顧環節是夯實與深化知識的重要保障，也是研究性教學的重要環節之一。此環節應提煉所學到的知識、能力，引導學生反思和總結解決問題的思維過程，并揭示出隱含的科學方法和思維脈絡。筆者注重學生在知識獲取過程中的情感體驗，從該教學過程中提煉出如下人文精神，以培養學生積極探索未知世界的科學態度，如下的體會值得強調。

1）成功并非偶然

課堂講授中，從有設想開始，到最終得到驗證，只用短短十幾分鐘。但是在實際的科學研究中，這一探索過程可能很長。筆者引入一則故事：法拉第從“既然電能生磁，磁是否能生電”的疑問開始，到實現這一設想花了整整9年。一次次失敗面前，他并沒有氣餒，而是不斷調整，直到最終的成功。

這則故事很自然地向學生們傳遞一個信息：成功通常要經歷漫長的痛苦，只有不輕言放棄的人才有可能成功。如此自然地將人文精神融入到專業教學中去，可以達到提高學生承受挫折和失敗的能力，從而達到最終提高情商目的［3］。

2）大膽設想，小心驗證

科學的進步和知識的增長永遠始于問題，必須先有大膽的設想，再加以科學的探索。這里值得借鑒的有兩種探索方法：一是“同”中尋“異”，“異”中求“同”。同樣是壓縮，壓縮面和壓縮線就不同，從而引出了不同的物理概念；二是數學與物理結合，把生動的物理學概念同數學結合起來，再充分利用數學這一工具，來推進物理的不斷發展。法拉第在實現了“磁生電”的夙愿以后，麥克斯韋把其物理思想作了數學上的綜合和引伸，定義了新的物理量—位移電流，繼而得到了涵義深遠的麥克斯韋方程組。

這樣，一方面向學生介紹了電磁發展史，另一方面也幫助學生消除對電磁場課程的神秘感，激發他們學習“電磁場”課程的積極性和主動性；同時可以了解科學家的科學研究方法，培養他們的科研興趣。

3 結語

筆者通過對“電磁場”課程幾年的教學體會，作了一次關于散度與旋度的研究型教學模式的設計和實踐，取得了很好的教學效果。本文獲得北京市第六屆青年教師基本功大賽理工組A組的一等獎和最佳演示獎；作者之一的張小青老師獲最佳指導獎。

［1］Pendry.Controlling eleclromagnotic field［J］.sceince，2006.6

［2］吳明贊.“工程電磁場”中靜電場的研究型教學實踐［J］.南京：電氣電子教學學報，2009，31（6）：104－105

［3］龔杰星.在電類基礎課教學中進行情商教育［J］.南京：電氣電子教學學報，2009，31（4）：6－7