正弦交流電教學中的解題技巧

2011-08-16 01:15:24徐志躍

電氣電子教學學報 2011年3期

徐志躍

（北京航空航天大學電工電子中心，北京 100191）

0 引言

對于工科學生來說，在學習“電路分析”、“電工學”和“電工電子技術”這一類專業基礎課時，必須做夠一定數量的習題，才能對教師講述的內容進行消化和掌握［1］。然而在學習正弦交流電的內容時，除了有原來較為熟悉的電阻元件R之外，還有儲能元件、電容器C和電感器L。電阻元件R上的電壓和電流成比例關系，電容器C和電感器L上的電壓和電流為導數或積分的關系。由RLC組成的正弦交流電路，不論是串聯、并聯還是混聯，各元件之間的電壓和電流不再是簡單的加減關系，由于相位差形成了三角形的關系［2］。學生有時簡單地把交流電路當作直流電路來處理，導致使解題結果發生錯誤［3］。

我們可以利用相量圖描繪出各個電壓、電流之間的大小和相位關系。從相量圖的幾何關系上找到解決問題的突破口，可以起到事半功倍的效果［4］。下面我們對正弦交流電路中的幾個典型例題加以分析，希望能夠幫助學生克服學習交流電的困難，找到一些交流電路解題規律和技巧，建立學習的自信心。

1 電容補償

［例1］RLC并聯電路如圖1（a）所示。已知開關K閉合前后電流表A的讀數不變，試求電容器的容抗XC與電感器的感抗XL之間的關系，其解法如下。

（1）開關K斷開時的相量圖如圖1（b）中實線所示。以輸入電壓U為參考相量，電阻里的電流IR與電壓U同相；電感里的電流IL滯后于電壓U90°。電路的總電流滯后于輸入電壓，電路為感性的。電流表的讀數為電路的總電流

圖1 阻抗測量

（2）開關K閉合時的相量圖如圖1（b）中虛線所示［5］。為了使開關K閉合前后電流表的讀數不變，即OA＝OB，此時電路必為容性的，并且IC＝2IL，即XC＝XL／2。

2 電感線圈參數測量

［例2］電感線圈參數（直流電阻r和電感量L）的測量電路如圖2（a）所示。將被測電感（r，L）與一個已知的電阻R串聯后接到交流電壓U，用交流電壓表分別測量U1、U2及U 的值，試計算參數r和L［6］，其解法如下。

以電流I為參考相量，電阻R上的電壓與I同相。被測電感線圈上的電壓可以分解為與I同相的電阻r上的電壓Ur和與I垂直的純電感上的電壓UL，如圖2（b）所示。（雖然它們并不存在，但可以這樣去想象）［7］。

圖2 參數測量

由余弦定理可知

則純電感電壓UL＝Usinφ

線圈電阻電壓Ur＝Ucosφ－U1

電路中電流I＝U1／R

則線圈電阻r＝Ur／I

線圈的電感L＝UL／（ωI）

3 利用諧振解題

［例3］電路發生諧振如圖3（a）所示。已知電壓U，及I1＝I2，且電流I與電壓U同相，試求電路參數R、XL和XC。其解法如下。

因為電路中電流I與電壓U同相，所以電路發生諧振，即整個電路的復阻抗的虛部為零，由此可以得到R、XL和XC的一些關系式。這時求解較為復雜的方程式，容易出錯。我們可以利用相量圖地描繪出電路中各個電壓和電流之間的相位關系，如圖3（b）所示［8］。

圖3 電路諧振狀態

現以電容器C上的電壓U2為參考相量，則電阻R里的電流I1與U2同相，電容器C里的電流I2超前于U2為90°，總電流I ＝，且超前于U2為45°。電感上的電壓UL超前于其電流I為90°，即UL超前于U2為135°。最后，由于電壓U與電流I同相，所以電壓U與電流I平行，并與UL相交。顯然，電壓U、UL和U2構成了等腰直角三角形，即U＝UL＝U2／。由此很容易計算出電路參數R、XL和XC：

4 復阻抗的測量

［例4］測量復阻抗Z的電路如圖4（a）所示。將可變電阻器R接到交流電壓上，將被測復阻抗Z與已知的電阻R1串聯后接到同一交流電壓上。改變滑動端C的位置，電壓表V的讀數隨之改變。當C滑動到某一位置時電壓表V的讀數達到最小值，試計算復阻抗Z值［8］。其解法如下。

（1）一般解法

以Uab作為參考相量，假設復阻抗Z為容性的，即電流I1超前于電壓Udb，阻抗角為φ3，畫出電路的相量圖如圖4（b）實線所示。

圖4 阻抗測量

根據題意，當滑動端c達到某一特定位置時，電壓表V的讀數達到最小值，即電壓Ucd達到最小，并且線段cd⊥ab。此時電壓Ucb、Uac、Ucd均已知，可以計算出電壓Udb、Uad。再由余弦定理得到φ1、φ2，從而得到復阻抗Z的阻抗角φ3。復阻抗Z的模為｜Z｜＝Udb／I1＝ Udb／（Uad／R1）。

因此，復阻抗Z＝｜Z｜∠φ3

（2）最簡解法

相量圖如圖4（b）實線所示，仍然假設復阻抗Z為容性的。注意到電阻R1上的電壓Uad可以從兩方面得到。

一方面，從原理圖上看，Uad是R1，與Z串聯后對輸入電壓U 分壓的結果。即ad＝（Z）／（R1＋Z）。另一方面，從相量圖上看，ad＝ac＋cd＝Uac＋j Ucd。

不難求得復阻抗Z＝（Uac＋j Ucd）R1／（Ucb－j Ucd）

（3）綜合分析

以上分析是假設復阻抗Z為容性，如果Z為感性，則其中的電流I1滯后于電壓Udb，得到的相量圖如圖4（b）虛線所示。顯然，它與實線的情形是完全對稱的。綜合以上兩種情形，有（Z）／（R1＋Z）＝Uac±j Ucd。因此，Z＝（Uac±j Ucd）R1／（Ucb－j Ucd）。

5 功率因數的提高

正弦交流電路中，有功功率p取決于電壓U、電流I以及U、I之間的夾角的余弦cosφ（功率因數）的乘積。提高電路的功率因數，可以充分提高電源的潛力，降低電網傳輸線的功率損耗，具有重要的意義［9］。功率因數低下的主要原因是感性負載使用過多，如工廠里的電動機，日常生活中的日光燈、節能燈等。要想提高功率因數可以并聯電容進行補償，如圖5（a）所示。補償的原理如圖5（b）所示。

圖5 提高功率因數

并聯電容C之前，線路上的電流I等于電感里的電流I1。盡管電流I1很大，但由于U與I1的相位差φ1很大，cosφ1很低，即I1的有功分量IP很小。并聯電容C之后，由于電容里的電流IC超前于電壓U為90°，線路上的電流I等于電感電流I1與電容電流IC的相量和。I比I1小得多，但是兩者的有功分量卻是相同的。此時總電流I與電壓U之間的夾角φ比之前的φ1減小，功率因數cosφ大為提高。從這個意義上講，并聯電容C提高功率因數的實質就是保持有功分量不變的前提下，降低線路上的總電流。

從圖5（b）不難看出，此時電路里的電流I落后于電壓U，電路仍然是感性的。這種情況稱為欠補償。當IC與電壓U相交時，電流I與電壓U同相位，cosφ＝1.0，稱為完全補償。當IC超過電壓U時，電路變為容性的，稱為過補償。

如果要求將電路的功能因數從cosφ1提高到cosφ，補償電容C的值如何計算呢？

從電路圖上看IC＝UωC

從相量圖上看IC＝I1sinφ1－Isinφ

因為有功功率P＝UI1cosφ1＝UIcosφ

因此I1＝P／（Ucosφ1）；I＝P／（Ucosφ）

所以IC＝P／U（tanφ1－tanφ）

電容器C的值C ＝P／［U2ω（tanφ1－tanφ）］

［1］秦增煌.電工學（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2004

［2］邱關源.電路（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2006

［3］上官左黎.“電路分析基礎”課程改革的思考［J］.北京：北京郵電大學學報，2000.3，2（1）：44－46

［4］周茜，徐亞寧.《電路分析基礎》課程教學設計的創新與實踐［J］.桂林：桂林電子工業學院學報.2004.8，24（4）：113－116