二端變類器實現憶阻元件

王清華，宋衛平

（太原科技大學 電子信息工程學院，山西 太原 030024）

0 引言

基本電路理論中，常見的基本電路元件有：電阻、電感、電容。這些元件的特性是用電壓、電流、磁鏈和電荷這4個物理量來表征。1971年，蔡少棠（L.Chua）先生指出應該有六個數學關系來聯接這四個基本的物理量。但現在只有五個確定的關系，從對稱的觀點看，推測出有第四種基本元件存在，他稱為憶阻器（M），用來反映電荷和磁鏈之間的函數關系［1］。2008年惠普實驗室的 Williams等人［2］成功的在納米尺度下制作出了具有憶阻特性的器件，從而證明了蔡少棠推測是正確的。

變類器是線性二端口類型變換器的統稱。它的作用是把電路元件從一種類型轉變為另一種類型。一般變類器可用有源元件綜合而成。利用變類器可以用四種基本二端元件電阻、電感、電容、憶阻中的任意一種來實現其他三種。本文通過對憶阻元件特性的分析，根據二端口網絡理論，給出了將非線性電阻通過變類器轉換成憶阻元件的電路模型。

1 憶阻元件的特性

由電磁場理論知道，電壓、電流、磁鏈和電荷之間存在著下述關系：

可見，上述兩對變量之間是動態相關的［3］。對于任何元件，這兩對變量均由式（1）聯系在一起，而與元件的性質無關。四個變量的六對組合中，（u，i），（i，φ），（u，q），（Ψ，q）這四對變量之間的關系是用來確定元件性質的，我們稱它們兩兩之間動態無關。這四對變量定義電阻元件（u，i）、電感元件（i，Ψ）和電容元件（u，q）中，有一對動態無關的變量偶（Ψ，q）未被使用。蔡少棠從電路變量關系完整性角度，定義了增量憶阻來描述（Ψ，q）之間的關系。

［4］給出的電阻器、電容器和電感器的定義，根據電路理論來介紹憶阻器的一般定義。

［定義1］一個二端元件，當且僅當在任一瞬間t，電荷q與磁鏈Ψ兩者之間的關系是由Ψ～q平面上的一條曲線來決定的。此二端元件為憶阻器。

上述在Ψ～q平面上的特性曲線所表達的關系，稱為憶阻器的構造性關系。這條曲線是憶阻器在時間t的特性曲線，確定了時間t時電路變量Ψ（t）和q（t）的全部可能的數值集合?？捎么鷶捣匠蘤［Ψ（t），q（t），t］＝0來表示上述特性曲線。憶阻器構造性關系的另一數學表達法為

憶阻元件分為流控型和壓控型［5］。

流控憶阻元件的端口方程為

式中，M（q）＝dΨ／dq稱為流控憶阻元件的增量憶阻，M（q）的量綱與電阻相同。

壓控憶阻元件的端口方程為

式中，W（Ψ）＝dq／dΨ具有電導的量綱稱為鏈控憶阻元件的增量憶導。W（Ψ）的值與碰鏈Ψ有關，取決于電壓從 －∞ 到t的積分。即W（Ψ）可以記憶元件端電壓的值。

蔡少棠指出雖然憶阻器的定義涉及磁通量，但磁場并不能直接對憶阻器起作用。電流的定義是電荷量對時間的求導，根據法拉第定律電壓是磁通量對時間求導。因此，僅需要在電流的積分和電壓之間有一個非線性關系即可反映憶阻元件［6］。

2 憶阻元件的實現

變類器是一族線性二端口類型變換器的統稱。它的作用是把電路元件從一種類型轉變為另一種類型（如圖1）。利用變類器可以用四種基本二端元件R、L、C、M中的任意一種來實現其他三種。特別有意義的使用電阻器和變類器來實現憶阻元件。實際上，我們也是使用黑箱方法根據憶阻器的外部特性進行造型。

圖1 變類器結構

如果要把一個電阻元件變換為一個憶阻元件，則應使表征電阻元件的i－u特性曲線上的每個點，映射成那些用來表征憶阻元件的Ψ～q特性曲線上的相應點，如圖2所示。

圖2 R－M變類器結構

［定義2］一個二端口元件，如果它在任一瞬間t的端口電壓u1和u2，端口電流i1和i2符合式（5）所表達的構造性關系，則稱為第Ⅰ型R－M變類器。

將電阻元件變換成為一個憶阻元件的另種方法是使R－M 變類器的中間作用為u2q1，（－i2）Ψ1，可得狀態方程：

由上式可知，u1取決于i2的變化率，i1取決于u2的變化率，u1和i1的比值等于增量憶阻M（q）。

［定義3］一個二端口元件，如果它在任一瞬間t的端口電壓u1和u2，端口電流i1和i2符合式（6）所表達的構造性關系，則稱為第Ⅱ型R－M變類器。

根據式（5）可以得出第Ⅰ型R－M變類器電路原理圖，用T型網絡表示；根據式（6）可以得出第Ⅱ型R－M變類器的電路原理圖，用雙倒L型網絡表示。如圖3和圖4所示。圖中涉及的線性電容、電阻、電感及受控源均能用現有的器件實現，由這些器件實現的憶阻器為有源器件。

圖3 第I型R－M變類器電路原理圖

圖4 第II型R－M變類器電路原理圖

3 結語

本文在討論憶阻元件的基礎上，介紹了利用二端變類器實現憶阻元件的端口特性方程，并將電阻元件通過M－R型變類器轉換成憶阻元件，給出了電路模型圖。我們也可以使用同樣的方法得出M－C和M－L型變類器。將電容元件或電感元件通過變類器得到憶阻元件，從而得到了由電子器件組成的有源憶阻器。

參考文獻：

［1］L.O.Chua.Memristor －the missing circuit element［J］.IEEE Trans.On Circuit Theory，1971，18（5）：507－519

［2］D.B.Strukov，G.S.Snider，D.R.Stewart，and R.S.Williams，“The missing memristor found，”Nature 453，80－83（2008）

［3］劉小河.非線性電路理論［M］.北京：機械工業出版社.2009

［4］林爭輝.電路元件的映射理論［J］.上海：上海交通大學學報，1995，29（1），54－60

［5］俎云霄，于歆杰.憶阻元件的研究進展［J］.南京：電氣電子教學學報，2010，32（6）

［6］Frank Y.Wang.Memristor for introductory physics.arXiv：0808.0286v1 ［physics.class－ph］4Aug 2008