LMS自適應波束形成方法研究

王桂寶，林中朝，王蘭美，蔣小杰

(1.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安710071;2.西安電子科技大學理學院，陜西西安710071)

最小均方誤差(LMS)算法的基本原理是基于最陡梯度下降法，即沿著權值的梯度估值的負方向進行搜索，達到權值最優，實現均方誤差最小意義下的自適應波束形成［1－4］。由于輸入端不可避免地存在干擾噪聲，自適應波束形成算法將產生參數的失調。為提高波束形成的穩健性文獻［1～2］分別提出了帶有雙約束的和類似于對角加載的穩健波束形成方法，文獻［4］提出了一種改進的非線性隨機梯度LMS算法。收斂速度、穩態誤差和失調量這3個相對的常規參數則是衡量自適應濾波算法優劣的重要指標。

1 LMS算法的原理

最陡梯度下降法是多種自適應算法的基礎，其算法結構如圖1所示。

LMS算法具有計算量小、易于實現等優點，因而廣泛應用于實踐中。圖1為輸入信號，ei=xi－di為誤差。LMS算法的遞推公式

圖1 LMS算法迭代電路

2 LMS算法的改進

收斂速度、穩態誤差和失調量上的改進成為LMS算法改進的3個主要方向。在對收斂速度方面的研究中，重點集中在對LMS算法迭代公式w(n+1)=w(n)+2μe*(n)x(n)中步長因子μ的改進上。

對失調量方面的研究，重點集中在對0＜μ＜1/λmaxLMS算法失調系數的研究上，通過確立失調量與步長μ的約束關系來建立方程，然后以設定失調量的方式求解近似步長μ'，建立用近似步長μ'表示步長μ的迭代公式，再根據約束關系確定μ的取值范圍。

在通常的情況下，這3項指標是相互關聯的，在實際研究過程中，對穩態誤差的研究常常被包含在其它兩項指標之中。因此，可以說通常的各種LMS改進算法從公式形式看，都是一類變步長改進算法。

LMS算法存在的固定步長因子無法解決收斂速度和穩態誤差之間的矛盾。μ值對E{wi(n)}的收斂過程有很大的影響，μ必須滿足收斂條件(0＜μ＜1/λmax)。在收斂范圍內，μ越大E{wi(n)}收斂越快;在失調方面，LMS濾波器的階數越高，步長因子μ和輸入信號功率越大，失調系數越大。另外，當Rxx的特征值分散時，LMS算法的收斂性能很差。

3 NLMS算法

失調系數

式中，ξ表示LMS算法的穩態均方誤差，ξmin表示維納誤差，根據文獻［3～4］LMS算法的失調系數δ=μTr［Rxx］=μMPin。當輸入功率變化時，過剩誤差ξξmin將變化，若使LMS算法的μ隨輸入功率Pin成反比變化，則過剩誤差將保持不變。若取則可保證LMS算法的過剩誤差為給定值。

在實際應用時，E［xH(n)x(n)］即輸入信號的功率可能很小，從而導致式(3)不穩定，因而通常采用如下的遞推公式作為歸一化LMS算法

4 仿真實驗

陣元數N=4，首先給出了SNR=10 dB，期望信號方位角為30°，干擾信號方位角為0°;

實驗1INR=20 dB，快拍數為200，步長因子μ=10－8;10－9;10－10時的波束形成。

由圖2可以看出，隨著步長因子的增大，波束形成的性能在逐漸提高，根據步長μ對算法性能的影響，變步長LMS濾波算法的步長調整原則應該為在初始收斂階段或未知系統參數發生變化時，步長應較大，以便有較快的收斂速度和對時變系統的跟蹤速度;而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號有多大，都應保持很小的調整步長以達到很小的穩態失調噪聲。

圖2 步長對性能的影響

實驗2INR=20，μ=10－9，迭代次數為50、200、600時的波束形成性能比較。

由圖3可以看出，隨著迭代次數的增大，波束形成的性能在逐漸提高，因此迭代次數越大越好，但是次數過大，運算速度會下降。

圖3 迭代次數的影響

實驗3快拍數為200，μ=10－9，迭代次數200，干擾噪聲比為10 dB、20 dB、30 dB時的波束形成性能。

從圖4看出，隨著干噪比的增大，波束形成的性能在逐漸提高，因此干噪比越大性能越好。

圖4 干噪比的影響

實驗4陣元數N=8，快拍L=1 000，信噪比SNR=20，干噪比INR=25，期望信號方位角為0°，干擾信號方位角為20°。

由圖5看出，在期望信號方向有明顯的峰值，在干擾信號方向有明顯的零陷。在同樣的條件下，NLMS算法的零陷更深。從圖6看出NLMS算法比LMS算法收斂速度更快，誤差收斂曲線更平穩。

5 結束語

LMS算法在大快拍數及大干噪比下性能更好，且應根據不同收斂階段采用不同的步長因子提高波束形成的性能。相同情況下NLMS比LMS波束形成性能更佳，收斂速度更快，誤差收斂曲線更平穩。

［1］ LI Jian，PETE，WANG Zhisong．Doubly constrained robust capon beamforming［J］．IEEE Signal Processing，2004，52(9):2407－2423．

［2］ 劉宏清，廖桂生，張杰．穩健的Capon波束形成［J］．系統工程學報與電子技術，2005，27(10):1669－1672．

［3］ 張賢達．現代信號處理［M］．北京:清華大學出版社，2002．

［4］ DOUGLAS S C，MENG T H Y．Normalized data nolinearities for LMS adaptation［J］．IEEE Transaction on Signal Processing，1994，42(6):1352－1365．