全球定位系統(tǒng)（GPS）的相對(duì)論修正

鄭慶璋 羅蔚茵

（中山大學(xué)物理系 廣東 廣州 510275）

1 引言

傳統(tǒng)的觀念認(rèn)為，狹義相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)只有在微觀世界中才明顯出現(xiàn)，才有實(shí)際應(yīng)用；而廣義相對(duì)論則由于引力微弱，只有在宇觀世界方顯作用．然而，自從全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)（GPS）開發(fā)以來，情況大為改觀．

全球定位系統(tǒng) GPS（Global Positioning System）至少由24顆繞地極衛(wèi)星所組成，分成6個(gè)軌道，運(yùn)行于約20 200 km的高空，繞地球一周約12 h．由此可保證地面上任何地方、任何時(shí)刻的接收機(jī)，都能無障礙地接收到4顆衛(wèi)星發(fā)射載有衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)及時(shí)間的無線電信號(hào)，實(shí)時(shí)地計(jì)算出接收機(jī)所在位置的坐標(biāo)、移動(dòng)速度及時(shí)間．

由于信息傳遞速度即光速是不變量，因此精確定位的關(guān)鍵是衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)的時(shí)刻和接收機(jī)收到信號(hào)的時(shí)間差．準(zhǔn)確度在30 m之內(nèi)的GPS接受器就意味著它已經(jīng)利用了相對(duì)論效應(yīng)的修正．華盛頓大學(xué)物理學(xué)家Clifford M．Will指出①：“如果不考慮相對(duì)論效應(yīng)，衛(wèi)星上的時(shí)鐘就和地面上的時(shí)鐘不同步．”相對(duì)論認(rèn)為，快速運(yùn)動(dòng)的鐘走時(shí)率要比靜止的慢；而在較強(qiáng)引力場(chǎng)中的鐘也比在較弱引力場(chǎng)中的要慢．Will進(jìn)一步指出，由于運(yùn)動(dòng)原因，GPS衛(wèi)星鐘每天要比地面鐘大約慢7μs；而引力對(duì)兩者施加了更大的相對(duì)論效應(yīng)，使衛(wèi)星鐘大約每天要比地面鐘快45μs．兩種效應(yīng)共產(chǎn)生38μs的偏差，在這段時(shí)間內(nèi)，光走過約11 km的距離，可謂“差之毫厘，謬之千里”．

本文在相對(duì)論的物理基礎(chǔ)上，介紹對(duì)GPS時(shí)鐘不同步修正的基本思想，并粗略做一些數(shù)值估算，目的是引起大家對(duì)相對(duì)論在日常生活應(yīng)用中意義的重視．

2 估算相對(duì)論效應(yīng)的物理基礎(chǔ)

為突出主要矛盾，只考慮地球引力場(chǎng)所起的作用．這是我們估算相對(duì)論效應(yīng)對(duì)GPS時(shí)鐘不同步修正的物理基礎(chǔ)．

首先，選地心系（坐標(biāo)原點(diǎn)在地心，坐標(biāo)軸指向遠(yuǎn)處恒星）為基本參考系．表面上看，地心繞日公轉(zhuǎn)的加速度約為a地心＝5．9×10－3m／s2不算很小，但注意到太陽的引力剛好與這點(diǎn)的慣性離心力抵消（等效原理）．因此可以說，相對(duì)于太陽引力場(chǎng)（甚至銀河系和更遠(yuǎn)的星系團(tuán)），地心系是一個(gè)局域慣性系．至于這個(gè)局域慣性系的適用范圍有多大，要視研究問題的性質(zhì)而定．

對(duì)于現(xiàn)在所討論的問題，地心到日心的距離R日＝1．49×1011m，GPS衛(wèi)星到日心的距離與R日的最大差距為

其中R地＝6．4×106m為地球的半徑，h衛(wèi)＝2．02×107m為衛(wèi)星離地面的高度．在這個(gè)范圍內(nèi)，太陽的引力場(chǎng)強(qiáng)最大誤差值為

在我們估算的精度（兩位有效數(shù)字）范圍內(nèi)，只考慮地球引力場(chǎng)所起的作用是可以接受的．

3 史瓦西度規(guī)

在地心系中，可以不考慮地球的自轉(zhuǎn)而只考慮引力效應(yīng)，這是因?yàn)榈厍虻淖赞D(zhuǎn)效應(yīng)與其引力效應(yīng)相比可以忽略②，因此把地球附近的引力場(chǎng)近似地視為球?qū)ΨQ的史瓦西（Schwarzschild）引力場(chǎng)，其時(shí)空間隔為［1］

注意到d s2＝－c2dτ2以及

其中d L為時(shí)空中相鄰兩點(diǎn)的固有距離［2］，dτ為固有時(shí)間間隔．（1）式又可寫成

其中v為時(shí)空點(diǎn) （這里是鐘）的運(yùn)動(dòng)速度③．

4 衛(wèi)星鐘和地面鐘的相對(duì)論修正

若dτ衛(wèi)星和dτ地面分別為衛(wèi)星鐘和地面鐘的固有時(shí)間間隔，則有

圖1 衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)示意圖

考慮到衛(wèi)星速度比光速小很多，可用經(jīng)典力學(xué)計(jì)算．由向心力公式

于是（3）式又可寫成

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，可以算出衛(wèi)星鐘相對(duì)于地面鐘每秒走快約0．44 ns；其中運(yùn)動(dòng)效應(yīng)走慢約0．08 ns，引力效應(yīng)走快約0．52 ns．

由于該誤差是累積的，因此，要準(zhǔn)確定位，就不能不考慮相對(duì)論修正．

②若考慮地球的自轉(zhuǎn)，其引力場(chǎng)應(yīng)是克爾（Kerr）解而不是史瓦西解；但從地球的有關(guān)數(shù)據(jù)估算，發(fā)現(xiàn)兩者的差異小于10－4．

③史瓦西坐標(biāo)的物理意義，見文獻(xiàn)［2］．這里由于衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度比光速小得多，因而固有長(zhǎng)度和運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度的區(qū)別很小，對(duì)后面的計(jì)算可以不用考慮．

5 結(jié)語

（1）相對(duì)論的應(yīng)用不再只是微觀世界高速運(yùn)動(dòng)的粒子，或宇觀世界大尺度時(shí)空的“專利”；而是深入到日常生活中的GPS或其他需要精密計(jì)算的領(lǐng)域．

（2）衛(wèi)星鐘到地心的距離約為地面鐘到地心距離的4倍，而引力場(chǎng)強(qiáng)約為16倍，引力效應(yīng)使它比地面鐘走快很多，每天走快約45μs；而地面鐘與地面連在一起，它的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于衛(wèi)星速度，這就使得衛(wèi)星鐘比地面鐘每天走慢約7μs．總的效應(yīng)是使衛(wèi)星鐘比地面鐘每天走快約38μs．為什么通常十分微弱的引力在GPS的修正中起主要作用？這是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)效應(yīng)在此情況下更微弱．從（4）、（5）式就容易看到，即使衛(wèi)星鐘運(yùn)動(dòng)速度快如衛(wèi)星，它的運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)也只有引力效應(yīng)的一半．

（3）由于傳播信號(hào)的速度是光速，38μs這段時(shí)差內(nèi)，信號(hào)傳播約11 km的距離，因此如不作修正，對(duì)精確定位是沒有意義的．當(dāng)然，本文所作的分析和討論（包括附錄中的數(shù)值估算），也只是給出相對(duì)論修正的主要結(jié)果．如要更進(jìn)一步提高定位的精度，還要考慮衛(wèi)星沿著一個(gè)偏心軌道，有時(shí)離地球較近，有時(shí)又離得較遠(yuǎn)；要考慮地面鐘的運(yùn)動(dòng)以及太陽引力梯度的影響等，作更深入的分析和細(xì)致的精密計(jì)算．

附錄：

（1）有關(guān)數(shù)值估算

首先估算衛(wèi)星鐘的運(yùn)動(dòng)速度．由（4）式知

其次考慮地面鐘，地面鐘與所處的地理位置及相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，若它停在赤道上，則

由此可得

可見衛(wèi)星鐘在1 s內(nèi)，比地面鐘走快約0．444 ns，而在一天 （86 400 s）內(nèi)走快38．4μs．

（2）分別考慮引力效應(yīng)和運(yùn)動(dòng)效應(yīng)

1）考慮引力效應(yīng)

即衛(wèi)星鐘在1 s內(nèi)，引力效應(yīng)使它比地面鐘走快約0．528 ns，而在一天 （86 400 s）內(nèi)走快45．4μs．

2）考慮運(yùn)動(dòng)效應(yīng)這就是說，衛(wèi)星鐘在1 s內(nèi)，運(yùn)動(dòng)效應(yīng)使它比地面鐘走慢約0．084 ns，而在一天 （86 400 s）內(nèi)走慢約7．3μs．

總之，衛(wèi)星鐘在1 s內(nèi)，由于引力和運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，使它比地面鐘走快約0．444 ns，一天 （86 400 s）內(nèi)約走快38．4μs．

1 鄭慶璋，崔世治．廣義相對(duì)論引論基本教程．廣州：中山大學(xué)出版社，1991．266

2 俞允強(qiáng)．廣義相對(duì)論引論（第二版）．北京：北京大學(xué)出版社 ，1997．81