黑河日徑流量混沌變化特性的研究—Ⅲ最大李雅普諾夫(Lyapunov)指數的確定

陳引鋒,馬長鈴

(陜西能源職業技術學院,陜西 咸陽 712000)

要將混沌分析法應用于水文系統中,首先需要研究水文序列是否為混沌時間序列,即判別水文系統的運動形式是否為混沌運動,進行混沌性識別或序列性質鑒別。水文系統是一個遠離平衡態的復雜的開放系統,又是一個動態的非線性系統[1]。一方面,它是由許多因素相互作用相互影響而演化形成的一個整體,另一方面,它又受到外界自然力的作用及不同程度的人類活動的影響,從而形成了水文系統復雜的演化規律。因而水文系統中表現出混沌特征是可能的,且有關文獻研究已經予以證明[2][3]。

1 水文系統混沌特性的識別

在實際的水文數據序列中,噪聲與混沌往往并存,既有確定性成分,也有隨機性成分。對于觀測資料有噪聲且長度有限的水文資料序列,進行混沌性的識別,基于目前的混沌理論水平,大都是從某一個方面判別水文序列是否滿足混沌序列的某些必要條件[4],只能得出可能具有混沌特征的結論,而不能給出水文序列具有混沌特征的肯定答復,因此需要采用盡可能多的方法來鑒別水文序列,水文時間序列的鑒別,可以從定性、定量以及將兩者結合起來的途徑進行,方法眾中,具體包括有李雅普諾夫(Lyapunov)指數、測度熵、分維數、自相關函數、標度指數、功率譜指數及關聯維數法等[5][6]。

利用這些方法進行時間序列混沌性質的判別,實際上需要利用時間序列,重構相空間,計算混沌量水平,也就是吸引子的不變量。混沌理論認為,決定系統長期演化的任一變量的時間演化,均包含了系統所有變量長期演化的信息。因此,通過決定系統長期演化的任一單量構成的時間序列可以研究系統的混沌行為。大多數水文問題都是由許多變量組成的動力系統,選用系統的單個或多個重要變量構成單維或者多維時間序列,進行水文系統的重構,在相空間中刻劃 N維水文系統的混沌吸引子,從而揭示出傳統坐標系無法揭示的水文現象演化規律。吸引子的不變量(吸引子分維數、Lyapunov指數、測度熵等)表征了系統的混沌性質,是混沌系統的重要特征量[7]。

在《黑河日流量混沌特性的研究—Ⅰ》中[8],通過觀察自相關函數的圖像發現,自相關函數隨嵌入滯時迅速衰減,且帶有一個指數尾巴,表明該系統是混沌運動。在《黑河日流量混沌特性的研究—Ⅱ》中指出[9],吸引子分維數為 2.1,可以認為,該動力系統具有混沌特征,本論文就是在此基礎上,通過確定最大李雅普諾夫(Lyapunov)指數的值,進一步論證黑河日流量時間序列的混沌特性。

2 最大李雅譜諾夫(Lyapunov)指數

Lyapunov指數用于量化初始相近的軌道的指數發散和估計系統的混沌量,從整體上反映了動力系統的混沌量水平,表征了系統的混沌性質。混沌運動的基本特點是運動對于初始條件極為敏感。兩個靠的很近的軌道線,隨時間的推移按指數方式分離。Lyapunov指數就是從整體上定量描述軌道的平均分離或者收縮的快慢。n維的動力系統具有 n個Lyapunov指數,代表了 n個方向系統的軌道之間的分離程度。在 Lyapunov指數小于零的方向,軌道收縮,運動穩定,對初始條件不敏感;在Lyapunov指數大于零的方向,軌道分離,對初始條件敏感。所有 Lyapunov指數的和大體上表征了軌道總的平均發散快慢,而最大的 Lyapunov指數決定了軌道發散,覆蓋到整個吸引子的快慢。因此最大 Lyapunov指數為正,常常被作為判斷混沌性質的重要條件,而最大 Lyapunov指數的倒數可以作為最大可預測長度的估計值[10]。

目前,計算 Lyapunov指數的方法很多,包括定義法、Wolf法、Jacobian法、P-范數法、Rosentstein小數據量法等等。其中 Wolf法對于噪聲和數據量要求較高,適用于無噪聲序列,切空間中小變量的演變高度非線性,只能較可靠地估計最大Lyapunov指數[11];Jacobian法可用于有噪聲的序列,切空間中小變量的演變接近線性。兩者對軌道分布不均勻的情況計算效果較差。而范數法避免了兩者的共同弱點[10],但是計算量大,Rosentstein小數據量法,具有計算量小,對小數據序列可靠,可用于有噪聲的情況等優點。因此,本文選用Rosenstein小數據量法計算最大 Lyapunov指數。

2.1 計算原理與方法

我們認為選擇讓相空間重構的緊鄰的兩個點跨越整個軌道周期是合理的且是非常必要的,我們姑且稱這兩個點為“緊鄰點對”。最大 Lyapunov指數是大量緊鄰點對在軌道方向上指數發散率的平均[12]。

在大多數實際的耗散系統中,狀態變量不能趨于無窮,對非線性系統在給定狀態附近線性化,在局部得到類似最簡單的線性常微分方程

它的解可以寫為

如果 a＞0,則在初始時刻相鄰的兩條軌道,在下一時刻要按指數速率分離開。a＜0時,它們之間的距離按指數消失。a=0時,不同初值給出不同的平行線,它們之間的距離永不改變。一般說來,x是矢量,而 a是依賴于給定的線性化點的矩陣。這個矩陣的特征值決定相鄰兩點間的拉伸、壓縮或轉動,其速率可能在相空間中各點不同。對運動軌道各點的拉伸或壓縮速率進行長時間平均,就是刻劃這種整體效果的 Lyapunov指數。

定義[12]:對于一維動力系統,xn+1=F(xn),初始兩點迭代后的分離與靠攏情況取決于導數︱dF/dx︳的值。若︱dF/dx︳＞1,則迭代使兩個初始點分離;若︱dF/dx︳＜1,則迭代使兩個初始點靠攏。在不斷迭代過程中,︱dF/dx︳的值也不斷改變。此改變量對迭代次數(即時間)取平均,從整體上看兩相鄰狀態的分離情況。每次迭代后所引起的指數分離中的指數為 ,則原來相距為的兩點經過n次迭代后相距為:

取極限得:

通過變形簡化為:

λ稱為原動力系統的Lyapunov指數。

對于一般的 n維動力系統,定義Lyapunov指數如下:設F是 Rn→Rn上的n維映射,決定一個維離散動力系統 Xn+1=F(Xn)。設系統的初始條件用一個無窮小的 n維 的球表示,隨著時間的演變過程變為橢球。將 n維橢球的 n個主軸按其長度順序排列,λ1≥λ2≥λ3≥…≥λn,那 么第 i個 Lyapunov指數根據第 i個主軸的長度 Pi(n)的增加速率定義為

n個Lyapunov指數表示了系統在相空間的n維方向的收縮或者擴張的性質。橢球的主軸長度按 ei增加,前 i個Lyapunov指數的和表示了前 i個主軸定義的 i維立體體積按指數增加的長期平均速率。最大的 Lyapunov指數決定了軌道發散覆蓋整個吸引子的快慢,最小的 Lyapunov指數決定了軌道收縮的快慢,而所有 Lyapunov指數大體上表征了軌道總的平均發散快慢[12][13]。

2.2 計算過程

Lyapunov指數的計算需要基于相空間重構[12][13]。對于數據長度為 n的單變量時間序列 x1,x2,…,xn,在嵌入維數為 m,時間延遲為 τ的重構相空間內,相點 yi=(xi,xi-τ,xi-2τ,…,xi-(m-1)),選取所有的 N=n-(m-1)τ個相點為參考點,以參考相點 yi及其在相空間內的最鄰近相點 yir,作為相鄰軌道的起始點,來考察相鄰軌道的指數分離情況。在時間下標為 i的時刻,軌道的距離為初始距離(采用歐幾里德距離)。

由于混沌系統的軌道分離具有指數分離特點,則

最大 Lyapunov指數可表示為

如果對 N個相點及其鄰近點經過 s步演化后的分離距離取整體平均值

然后取其自然對數,繪出的曲線圖,選取曲線圖中的線性部分進行直線擬合,所得的斜率是全局最大 Lyapunov指數。

2.3 結果與分析

根據式(8)和式(10),采用 Matlab軟件計算最大 Lyapunov指數。

由《黑河日流量混沌變化特性的研究—Ⅰ》與《黑河日流量混沌特性的研究—Ⅱ》一文可知,時間延遲 τ=10,嵌入相空間維數m=9。為了考察計算方法對于嵌入維數和時間延遲的依賴性[14],分別對 τ=10,m=8,9,…,13和 m=9,τ=7,8,…,15的情況進行計算,計算結果 lnδS～S曲線見圖 1和圖 2所示。

圖1 R法計算最大 Lyapunov指數(τ=10)

由圖 1可以看出,當 m逐漸增大時,每個 m值的曲線上都出現了多個波峰跳躍,但是其跳躍階段的頂點明顯位于同一直線上,具有線性規律。對于 m=10,11,12,13時曲線的波峰包絡線,作直線擬和,斜率明顯是大于零的,并隨著 m的增大,斜率在減少。根據前述計算結果,取 m=9,τ=10,對應圖中第三條曲線,為了進一步計算方便期間,將圖 2的局部部分進行放大如圖 3所示。

圖2 R法對時間延遲的依賴圖 (m=9)

圖3 計算 Lyapunov指數局部放大圖

其擬合直線斜率即最大Lyapunov指數,結果為0.002 012。在此需要說明的是,圖 2與圖 3在計算最大Lyapunov指數實質上是一致的(此處計算選圖 2)[7]。

3 結語

(1)混沌序列預測方法,是根據日流量數據序列本身的客觀規律(如 Lyapunov指數)來進行預測,避免了人為的主觀性,從而可以提高精度和可信度。

(2)由 Rosenstein小數據量法計算得出其最大李雅普諾夫指數為 0.002 012,大于零,可以認為黑河日徑流量時間序列具有混沌特性。可以判定,黑河日徑流量數據序列是由非線性的確定性系統產生的混沌序列。

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