基于CORDIC算法的光相位檢測及FPGA實現*

胡 博，段發階，張 超，呂昌榮，蔣佳佳，董宇青

(天津大學 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津300072)

當前，非接觸式測量已經逐漸取代接觸式測量，成為測量發展的方向。而在各種各樣的非接觸式測量方法中，光纖干涉投射技術測量物體表面形貌的方法，由于其光路具有柔軟、形狀可變、傳輸距離遠、抗干擾能力強等優點，得到了越來越廣泛的應用，尤其在各種有強電磁干擾、易燃易爆等惡劣環境中，光纖干涉投射測量技術更是有著很高的應用價值。

在光纖干涉投射技術中，裸露在空氣中的光纖容易受到溫度、振動的影響，使臂長差發生變化，進而產生光相位的變化，導致干涉條紋漂移，從而影響到測量的精度[1]。交流相位跟蹤零差補償技術（PTAC）是實現光纖相位變化檢測和誤差補償的一種關鍵技術[2]，其中涉及信號解調和相位求解，求解反正弦是相位求解的一種主要方法[2]。在FPGA中，傳統的求解反正弦函數的主要方法是查找表法[3]，查找表數據量的大小和精度緊密相關，在高精度下，查找表法需要大量存儲單元，另外也需要校正算法來計算未計入表中的點，這樣就對處理器資源提出很高的要求。

針對傳統反正弦函數求解方法的缺點，本文采用CORDIC算法求解反正弦值，得到光相位變化并在FPGA中設計了CORDIC算法實現的流水線結構，從而達到了對光相位變化的實時檢測。同時，提出采用查找表配合拋物線插值校正算法解決CORDIC算法在運算中存在的“死區”問題。通過實驗驗證該了方法的可行性。

1 系統結構

光纖干涉投射系統由激光器、聚焦透鏡和3 dB耦合器等組成。激光器發出的激光經過聚焦透鏡耦合到光纖，經3 dB耦合器分光后由兩光纖臂輸出。兩光纖輸出端可被看作是楊氏雙孔干涉中的兩個小孔，其輸出光由同一點光源發出，頻率相同，具有恒定的相位差，滿足楊氏雙孔干涉條件，從而在輸出端產生干涉條紋。在實際測量中，溫度、振動的影響使光纖發生臂長差變化，從而使光相位發生變化，導致干涉條紋漂移。為解決這一問題，通過PTAC對光相位進行調制解調得到光相位變化信息并對相位誤差進行補償。

如圖1所示，光纖干涉投射交流相位跟蹤零差補償系統由激光器、聚焦透鏡、3 dB耦合器、PZT和信號調理等部分組成。兩輸出臂分別纏繞在兩個PZT上，一路作為信號臂對光相位進行調制，另一路用作控制和補償。兩條輸出臂投射端面存在反射，反射的光返回到3 dB耦合器中發生干涉，構成馬赫-澤德干涉儀[4]，干涉的光由光電探測器PD接收。信號臂反射回耦合器的光包含光相位調制信息，同時也存在著由環境影響產生的光相位變化信息。兩束反射光在耦合器中發生干涉，則光相位調制信息轉化為光強變化，再由光電探測器將光強變化轉化為電信號。

對PZT1外加正弦調制，通過調制后，光電探測器PD接收的信號可用貝塞爾公式展開：

其中，A和B是干涉儀的背景光強系數和對比度系數，z為對光相位的調制系數，ω為調制角頻率，θ為調制信號的初始相位值，α為由環境引起的相位變化。S(t)經過中心頻率為ω的帶通濾波器后，與幅值為G1的信號G1cos(ωt+θ)相乘，再經低通濾波，得到包含 α 的信息，如式(2)。

經過AD轉換后，輸入FPGA進行計算，通過求解反正弦求出α。改變驅動器的直流偏置，即改變待測鏡和參考鏡的相位差α。再經過數模轉換、高壓放大，通過控制PZT2調整另一輸出臂的長度，使兩光纖臂相位差保持為一正弦函數，消除溫度振動等環境因素帶來的影響。

2 反正弦算法實現

2.1 反正弦算法原理

基于CORDIC算法計算反正弦。數字信號處理中常常會遇到求解超越函數的問題，如求解矢量旋轉、反三角函數運算、雙曲函數等，CORDIC是為了這些問題而提出的[5]。CORDIC基本思想是用一組確定的角度不斷擺偏去逼近所求的角度，而這一組角度與運算基數（2i）有關。在硬件電路中，CORDIC運算可以只通過加減操作和移位操作實現，大大節約了資源。CORDIC算法可由式(3)、(4)、(5)、(6)給出[6]。 其中，(xi，yi)是矢量的坐標，zi為剩余未旋轉的角度。

使用CORDIC計算反正弦值屬于圓周旋轉中的矢量模式。設x軸正半軸上有一向量x0，由外界輸入一個值c，旋轉單位向量，使它的y分量逐漸趨近輸入值，同時令z0等于 0，用 zi記錄旋轉過的角度，如式(7)。

如圖2所示，經過n次迭代，得到結果：

An為畸變因子，當n→∞時，An→1.646 760 258。令 x0=1/An，則 zn即為輸入 c值的反正弦值。

2.2 反正弦程序設計

2.2.1 字長設計

輸入值范圍為 [-1，1]，輸入 FPGA的初值 c為 12位。選第一位為符號位，第二位為整數位，后10位為小數位。在FPGA中，使用浮點形式計算小數比較復雜，因此，將小數部分左移10位，化成定點形式運算。CORDIC的計算次數取決于 xi、yi的小數位數。如式(8)，用yi與輸入初值c比較，如果yi的小數位為10位，則最多進行10次CORDIC計算，精度很難保證。因此，設計xi、yi的小數位為22位，在c后面補0，補足22位小數位，則最多可進行22次CORDIC計算。因為z的值域范圍為[-1.570 8 rad，1.570 8 rad]，將 z設計成 25 位，z[24]為符號位，z[23:22]為整數位，z[21:0]為小數位。

2.2.2 實現結構的設計

在FPGA中，CORDIC的實現結構可以選擇迭代結構或流水線結構。迭代結構是直接由公式寫出循環語句，處理完當前數據才可以處理下一個數據，缺點是效率低。本設計采用流水線結構，流水線結構在數據處理的同時，還能繼續輸入和處理后續數據，提高了數據吞吐率。此外，設計中采用前端數據處理加22級CORDIC計算加后端處理，第一個數據需要24個時鐘周期處理完畢，之后每個周期都可以輸出一個處理結果，可以顯著提高數據處理速度。

2.2.3 CORDIC結構

本設計總共有22級CORDIC計算模塊，第i級CORDIC計算模塊如圖 3所示。yi與|ci|比較，決定di的值，再根據式(7)來計算 xi+1、yi+1、zi+1，同時傳遞輸入值的符號位，在流水線的后端處理模塊處理。若輸入c[11]為1，則結果為-arcsinc；若輸入 c[11]為 0，則結果為arcsinc。

3 算法校正

輸入數據范圍為[-1，1]，將計算結果與真實結果比較，得到誤差分布如圖4所示。

由圖4可見，在橫坐標絕對值為 0.6、0.8、0.9附近出現較大誤差，最大誤差達到10-1數量級。CORDIC算法使用的是一種數值計算逼近的思想，增減的步長值是離散的，為 arctan(2i)。在橫坐標絕對值為 0.3、0.6、0.8、0.9附近，CORDIC計算存在 “死區”。本文采用查找表和拋物線插值校正，在誤差值較大的區間[c1，c3]，令：

其中

在前端數據處理中判斷輸入值是否在需要校正的區間，若在則進行拋物線插值校正。用少量查找表存儲校正區間端點的反正弦值和分母的比值。選用FPGA為32 bit，在其中設計乘法運算時，乘數和被乘數最高為16 bit才不會使數據溢出。在所有拋物線插值校正系數中，區間[0.95，0.96]上拋物線插值校正的一次項系數最大為22.108 9。因此選擇高5位為整數位，低11位為小數位進行運算。

4 實驗與仿真

CORDIC程序流程圖如圖5所示，初始化之后，先判斷輸入值c是否在需要校正的區間。若是，則進入拋物線插值校正運算；否則進行CORDIC運算，使x0=1/An，y0=0，z0=0。CORDIC運算計算出一個小數的反正弦值需要24個時鐘周期，為了保證流水線的機能，當輸入值c在需要校正的區間時，插值計算后的數據在CORDIC運算模塊中直接傳輸。計算出反正弦值后，判斷輸入值c的符號位，如果是 0，則c為正數，反正弦值也為正數；如果是1，則c為負數，反正弦值也為負數。

仿真軟件采用ModelSim SE PLUS 6.2b。輸入的c值范圍為[-1，1]，存放在ModelSim的測試激勵文件中。處理一個數據需要24個時鐘周期，之后每個周期都能輸出一個數據，如圖6所示。

將仿真后的數據導入Matlab得到反正弦仿真曲線，如圖 7(a)所示，并與理想值對比，得到如圖 7(b)所示誤差曲線，CORDIC計算部分弧度值精度達到10-4數量級，經過校正的部分，誤差從10-1數量級降到10-4數量級。

本設計采用流水線結構，提高了數據吞吐率。仿真實驗表明，光相位的誤差精度達到10-4數量級，精度較高，且具有較高的運算速度，適合大數據量高速處理。

[1]Duan FaJie，Zhang Cong，Zhang Chao，et al.Fourier transform profilometry based on fiber-optic interferometric projection[C]，2009 2nd International Congress on Image and Signal Processing.2009.

[2]李超．邁克爾遜型全光纖加速度地震檢波器理論與實驗研究[D].天津：天津大學，2007.

[3]付雷，陳淑芬，孟彥斌．數字式開環單模光纖陀螺中求arcsine的查表和線性插值法[J]．北京理工大學學報，2003，23(4)：499-502.

[4]孟克．光纖干涉測量技術[M]．哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2008：67-74.

[5]RAY A.A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers[C].Proceeding.ACM/SIGDA Conference，1998：191-200.

[6]CHANG Y K，Swartzlander.An analysis of the CORDIC algorithm for direct digital frequency synthesis[C].In：IEEE International Conference on ASAP.California，USA：IEEE Press，2002：111-119.