波群內(nèi)單個波的波陡分布與波破碎

高志一,文 凡,李 潔

(1.國家海洋環(huán)境預報中心 海洋災害預警報技術重點實驗室,北京 100081;2.中國海洋大學 物理海洋實驗室, 山東 青島 266003)

波破碎的研究是當今海浪研究中的熱題。近年研究結果表明波群是影響波破碎的重要因素[1-4]。波群由一連串波高超過某一臨界值的波構成,而波群中單個波的最大振幅出現(xiàn)位置對波的破碎具有重要影響。Banner等[5]研究認為：波群中單個波的振幅和波陡在波群中央達到最大,當單個波振幅超過臨界值時,該波發(fā)生破碎。最大振幅的波出現(xiàn)在波群中央,意味著波群具有某種對稱性。但如果波群結構前后不對稱,波群前側波動振幅將可能大(小)于后側波動的振幅,在這種情況下,波群中最大波高可能出現(xiàn)在波群前(后)部,而不是在波群中央,波群前側波動的波破碎率就大(小)于后側。基于這種設想,本文對波群結構和波群中單個波的位置以及其對波破碎的影響進行了實驗研究。研究中依據(jù)波包絡線理論[6]研究波群,分析風浪波包絡時間導數(shù)分布的結果表明：波群結構是不對稱的,波群中波動的最大振幅出現(xiàn)在波群前部而不是波群中央,波群的這種不對稱性導致波群前部單個波出現(xiàn)大波陡的概率大于后部單個波出現(xiàn)大波陡的概率。波群前部與后部單個波波陡的差異隨譜寬度和平均波陡增大而增大,實驗研究表明：波群前部單個波的波陡大于后部單個波波陡,因此導致波群中單個波在波群前部發(fā)生破碎的概率較大。由于波破碎對風浪成長等具有重要意義,而波發(fā)生破碎的位置與波群結構的不對稱性有關,因此本文結果對風浪研究具有重要意義。

1 風浪實驗

1.1 實驗設置

實驗室觀測在中國海洋大學物理海洋實驗室大型風浪槽中進行。風浪槽長65 m,寬1.2 m,高1.2 m。在風浪槽中取10個觀測點觀測風浪波面高度。觀測點位置為7,10.7,14.35,18,21.7,25.4,29.05,32.75,36.4,41 m。在4種平均風速下進行實驗：4,6,8,10 m/s(由設置在風浪槽 47 m處的風杯式風速計測得),同時在各個觀測點進行同步的風場觀測。實驗時水深0.73 m。觀測波面高度時采樣間隔為0.0308 s,每個波浪觀測記錄長度為5 min。本文實驗中錄制了實驗室風浪視頻資料,以便用于研究波群中單個波發(fā)生破碎的頻率。

1.2 波陡的計算

本文以ak表示波群中單個波的波陡,a為該波的波峰高度,k為該波的波數(shù)k=2π/L。L=gT2/2π[7],是單個波的低階近似波長,周期T是相鄰波谷之間的時間間隔。平均波陡為ak0=a0k0,其中a0=(2m0)1/2,其中m0為0階譜矩,平均波數(shù)k0是譜峰頻率對應的波數(shù)。用平均波陡對單個波的波陡進行歸一化。

1.3 波齡的觀測

實驗中在各個觀測點采用皮托管式風速計觀測瞬時風速,皮托管風速計與測波儀固定于同一支架上,并由計算機控制可以上下移動、定位,定位間隔2cm,最低測點距下墊波浪浪尖約 2cm,由下至上共觀測15層,每層風速采樣 200次,采樣間隔 0.02 s。使用最小二乘法擬和對數(shù)風速廓線并求出粗糙度和摩擦風速

其中z0為粗糙度,U*為摩擦風速,z為高度,κ為Karman常數(shù),取0.4。再以上述公式計算z=10 m高度處的風速U10,由下式計算波齡σ：

其中Cp為譜峰頻率波動的相速。

1.4 譜寬度的定義

本文研究中采用一般的譜寬度參數(shù)ε[8]

其中mi為頻率譜的i階矩。

1.5 波包絡的計算

實驗研究中采用 Hilbert變換方法求波包絡,求波包絡時濾波截斷頻率取0.5～1.5倍譜峰頻率[6]。計算得到的波包絡如圖1中虛線所示。

圖1 由Hilbert變換方法得到的波包絡Fig.1 The envelope calculated by Hilbert transformation

1.6 波群定義

本文研究中采用 Kimura的波群定義[9]：波高超過某一臨界高度的單個波構成波群。實驗中將波峰高度超過水平ρ0的波浪序列定義為波群,臨界水平取值為ρ0=(2m0)1/2。同時對波群內(nèi)單個波編號,如圖2為一個連長3的波群,即該波群包含3個單個波,按從左至右的順序將它們編為第1,2,3號波動。

圖2 連長為3的波群Fig.2 A wave group with three individual waves

1.7 波破碎

以波破碎產(chǎn)生的氣泡作為波動發(fā)生破碎的示蹤物(如圖3)。如果測波探頭前后半個主導波波長范圍內(nèi)出現(xiàn)氣泡,則認為發(fā)生一次破碎事件,同一個單個波的波峰出現(xiàn)多個氣泡仍然記為一個破碎事件。將波破碎率B定義為發(fā)生破碎的波峰個數(shù)與單個波總個數(shù)之比。實驗室產(chǎn)生的風浪具有明顯的群性,容易從視頻資料中統(tǒng)計波群中單個波發(fā)生破碎的頻率。

圖3 波破碎形成的氣泡Fig.3 The bubble(s) generated in the process of wave breaking

2 波包絡時間導數(shù)分布的研究

迄今 Longuet-Higgins[6],Nolte和 Hsu[10],Ew-ing[11]等依波包線理論對海浪波群的統(tǒng)計性質進行了大量研究,如對波群平均歷時長度、平均連長以及波群波包絡上跨水平數(shù)的研究等。前人在其研究中一般都假定波群包絡線具有對稱結構,未注意波群包絡線的不對稱性問題。本節(jié)依波包絡線理論來研究波群結構,研究結果表明波群具有不對稱結構,即波群前部單個波振幅大于波群后部單個波振幅。

圖4 波群前部和后部波包絡的時間導數(shù) 和Fig.4 The time derivatives of the envelope in the front of and in the rear of a wave group (and )

按 Hilbert變換方法求出包絡線ρ之后,采用線性差分計算波包絡線時間導數(shù)ρt

其中Δt為采樣時間間隔,使用ρt的均方根σtρ將ρt歸一化。

本文采用Gram-Charlier級數(shù)[12]擬合波包絡時間導數(shù)的分布,Gram-Charlier級數(shù)為

圖5 歸一化的波包絡時間導數(shù)分布Fig.5 The distributions of the normalized time derivative of wave envelope

圖5為根據(jù)實驗數(shù)據(jù)擬合得到的歸一化波包絡線時間導數(shù)分布。實測波包絡時間導數(shù)分布系統(tǒng)地向左偏離正態(tài)分布,概率密度最大值出現(xiàn)在-1～0之間。0～2之間的概率密度低于正態(tài)分布曲線,2～4的概率密度高于正態(tài)分布;-1.5～0的概率密度高于正態(tài)分布,-3～-1.5的概率密度低于正態(tài)分布。大量實驗結果都具有上述特征,這表明波群具有前后不對稱的結構(波群前部包絡線陡峭,后部包絡線平緩)。

研究結果還表明波群結構的不對稱性程度隨譜寬度和平均波陡增大而增大。

圖6和圖7分別為偏度因子與譜寬度和平均波陡之間的關系。從圖中可以看出偏度因子隨譜寬度和平均波陡增大而增大(除圓圈圈出的點外)。對實驗數(shù)據(jù)進行分析發(fā)現(xiàn),被圈出的點對應的波浪有較高的破碎率,波破碎造成波群前部單個波振幅變小,因而波群前部波包絡線振幅下降,造成波包絡線不對稱程度減小,因此這些點的偏度因子λ3值偏低。

圖6 偏度因子λ3與譜寬度之間的關系εFig.6 The relation between the skewness λ3 and spectral width ε

圖7 偏度因子λ3與平均波陡ak0之間的關系Fig.7 The relation between skewness λ3 and the mean wave steepness ak0

波包絡時間導數(shù)分布系統(tǒng)地向左偏離對稱分布表明波群的包絡線前部陡峭后部平緩,而不是前后對稱的(如圖4)。這對波群中最高單個波出現(xiàn)的位置有重要影響,從圖4容易看出最大波高出現(xiàn)在波群前部。由于波動的波高與波陡之間存在密切聯(lián)系,波群內(nèi)最高單個波出現(xiàn)在波群前部可能造成波群內(nèi)單個波波陡的累積概率分布與單個波在波群中的次序有關。

3 波群內(nèi)單個波波陡分布的研究

研究結果表明,波群具有不對稱結構,波群前部單個波振幅較大。又已知波群中單個波的振幅與波陡之間存在密切聯(lián)系,這就引出一個問題：波群結構的不對稱性對波群中單個波的波陡分布有什么影響？為研究這一問題需要研究波群中不同位置上單個波的波陡分布。這項研究對深入了解波破碎現(xiàn)象也具有重要意義[13-14]。

研究結果表明,波群前部單個波出現(xiàn)大波陡的概率大于后部單個波出現(xiàn)大波陡的概率;單個波的波陡分布與單個波在波群內(nèi)的位置有密切關聯(lián);波群前部和后部的單個波波陡累積概率分布的差異(單個波波陡累積概率分布曲線的“張角”)隨譜寬度和平均波陡增大而增大。

3.1 單個波波陡分布次序性的研究

對波群內(nèi)不同序號單個波的波陡分布進行研究。結果表明,波群前部單個波出現(xiàn)較大波陡的概率大于波群后部單個波出現(xiàn)較大波陡的概率。

將同一波面記錄上全部連長為N的波群分為一組,分別對第1到N號(編號方式見圖2)單個波的波陡進行統(tǒng)計。統(tǒng)計結果如圖8所示。圖8為波群內(nèi)單個波的波陡累積概率分布。從圖中明顯可以看出,序號越大的單個波出現(xiàn)大波陡的概率越小。大量實驗結果都具有上述特征,這表明波群內(nèi)單個波的波陡分布與單個波的序號有關。下面的分析將看到,單個波序號對波陡分布的影響與波齡的影響相當。

圖8中顯示波群內(nèi)不同序號單個波的波陡分布曲線形式相似,單個波的序號越小其波陡分布曲線的位置越高(波群前部和后部單個波的波陡分布曲線之間的張角θ越大),這意味著序號越小的單個波的平均波陡越大,這將導致波群前部單個波的破碎率較大。

圖8 單個波在波群中的次序與單個波波陡分布的關系Fig.8 The relation between the steepness distribution of individual waves and the position of the waves

3.2 單個波波陡分布與序號關系的研究

研究發(fā)現(xiàn),單個波波陡分布與單個波在波群中的序號(編號方式見圖2)有密切關聯(lián)。單個波序號對單個波波陡分布的影響是不可忽略的。

圖9為波群內(nèi)單個波序號和波齡與單個波波陡分布的關系。圖9 上圖為同一風浪場中連長分別為2,3,4的波群中1號和2號單個波的波陡累積概率分布,圖9下圖為譜寬度相同波齡不同的兩種風浪場波群內(nèi) 1號單個波的波陡累積概率分布。比較上下兩組圖可以發(fā)現(xiàn),連長2和3的波群內(nèi)單個波的序號對波陡累積概率分布的影響大于波齡對波陡累積概率分布的影響,連長 4的波群內(nèi)單個波的序號對波陡累積概率分布的影響與波齡對波陡累積概率分布的影響相當。圖10采用了與圖9不同的觀測數(shù)據(jù),得到的結論是相同的。大量實驗結果表明,單個波序號對波陡分布的影響與波齡的影響相當,甚至超過波齡的影響。

圖9 單個波次序和波齡對單個波波陡分布影響Fig.9 The influences of the position of the individual wave and wave age on the steepness distribution

3.3 譜寬度和平均波陡對單個波波陡分布影響的研究

實驗結果表明波群結構不對稱性的程度隨譜寬度和平均波陡增大而增大,也就是說波群前部和后部單個波的振幅差異隨譜寬度和平均波陡增大而增大。研究發(fā)現(xiàn),波群前部和后部單個波波陡累積概率分布曲線的差異也隨譜寬度和平均波陡增大而增大。

圖11為平均波陡相同條件下譜寬度對單個波波陡分布的影響。從圖中可見,譜寬度較大的波群中首個單個波波陡分布與末尾單個波波陡分布的差別(波群內(nèi)單個波波陡分布曲線的張角θ)較大。大量實驗結果都具有上述特征,這表明波群前后單個波陡分布的差異隨譜寬度增大而增大。

圖12為平均波陡較小情況下平均波陡對單個波波陡分布的影響。從圖中可以看出平均波陡較小時(波破碎影響較小),平均波陡較大的波群中首個單個波波陡分布與末尾單個波波陡分布的差別(波群前部和后部單個波波陡分布曲線的張角θ)較大。

由于波破碎率隨平均波陡增大而增大,波群前部單個波發(fā)生破碎的頻率較大使該波的波陡減小。因此平均波陡增大時波群前后單個波波陡分布的差異不增大反而減小(如圖13所示)。

圖13為平均波陡較大(破碎率較大)情況下平均波陡對單個波的波陡分布的影響。從圖中可以看出平均波陡較大時(波破碎影響較大),平均波陡較大的波群中首個單個波波陡分布與末尾單個波波陡分布的差別(波群前部和后部單個波波陡分布曲線的張角θ)較小。

大量實驗結果都具有上述特征。這表明平均波陡較小時(波破碎影響較小),波群前部和后部單個波波陡分布的差別隨平均波陡增大而增大;平均波陡較大時(波破碎影響較大),波群前部和后部單個波波陡分布的差別隨平均波陡增大而減小。

圖10 單個波次序和波齡對單個波波陡分布影響Fig.10 The influences of the position of the individual wave and wave age on the steepness distribution

3.4 單個波波陡分布信息熵的研究

將信息熵概念應用于波群內(nèi)單個波波陡分布的研究,發(fā)現(xiàn)相同連長的波群中不同序號單個波波陡分布的信息熵不同。

3.4.1 波陡分布的信息熵

Shannon將Boltzmann熵的概念加以推廣,引入信息熵的概念,用以表征隨機過程中事件的不確定性程度。在某隨機過程中若各事件發(fā)生的概率為p1,p2,….,pn信息熵定義[15]為

圖11 譜寬度對單個波波陡分布的影響Fig.11 The influence of spectral width on the distributions of individual wave steepness

信息熵(6)通過概率分布pj定量地表征隨機過程中事件發(fā)生的不確定性的程度。信息熵的值越大,事件發(fā)生的不確定性程度越高。

將實測的歸一化波陡ak/ak0的取值范圍劃分為多個取值區(qū)間,統(tǒng)計歸一化波陡在各個區(qū)間出現(xiàn)的概率(ak/ak0的取值范圍為0.5～3,將其劃分成10個取值區(qū)間)。ak/ak0出現(xiàn)在第j個取值區(qū)間的概率即為(6)式中的pj。根據(jù)(6)式計算出同連長波群單個波波陡分布的信息熵。

圖12 平均波陡較小時其對單個波波陡分布的影響Fig.12 The influence of the mean wave steepness (with smaller values) on the individual wave steepness distribution

3.4.2 不同序號單個波波陡分布的信息熵

圖14為連長2和連長3的波群內(nèi)單個波歸一化波陡ak/ak0分布的信息熵與譜寬度ε的關系。從總體趨勢上看,連長為2的情況中1號單個波波陡分布的信息熵大于2號;連長為3的情況中1號單個波波陡分布的信息熵最大,2號次之,3號最小。由圖14的結果可知,同樣連長的波群中不同位次單個波波陡的統(tǒng)計分布是不同的。

圖13 平均波陡較大時其對單個波波陡分布的影響Fig.13 The influence of the mean wave steepness (with larger values) on the steepness distribution of steepness

4 波群中波破碎的研究

波破碎對大氣-海洋之間熱量和動量交換以及波浪譜的演化都有重要影響,對波破碎的研究具有重要理論和應用意義。近年對波破碎的研究結果表明,波群是影響波破碎發(fā)生的重要因素。Donelan等[1]和Holthuijsen[4]在外海觀測時發(fā)現(xiàn)多數(shù)波破碎事件發(fā)生在波群內(nèi)。Dold和 Peregrine[16]發(fā)現(xiàn),波群內(nèi)包含的單個波越多,發(fā)生波破碎的臨界波陡越小。Banner等[5]提出,波破碎判據(jù)中應包含與波群性質有關的參量。然而迄今對波群中波破碎發(fā)生位置這一問題研究較少。

圖14 連長2和3的波群內(nèi)單個波波陡分布的信息熵與譜寬度的關系Fig.14 The relation between information entropies of the individual wave steepness distributions in wave groups and spectral width

實驗結果表明,波群結構的不對稱性(波群前部單個波的振幅較大)導致波群前部單個波出現(xiàn)大波陡的概率大于后部單個波出現(xiàn)大波陡的概率,也就是說波群內(nèi)序號較小的單個波的平均波陡較大。由于波破碎與波陡密切相關,這意味著波群內(nèi)的波破碎率很可能與波群內(nèi)各波的序號(即各波在波群中的位置)有關。對這一問題進行研究的結果表明,波群前部單個波更容易發(fā)生破碎,波群前部單個波發(fā)生破碎的頻率為后部單個波的 4倍。這一結果對深入了解波破碎現(xiàn)象具有重要意義。

實驗中首先研究破碎率B與平均波陡之間的關系,實驗結果表明波破碎率隨平均波陡增大而增大(如圖15),這與前人研究結果一致[5]。接下來研究波群中波動發(fā)生破碎的位置。統(tǒng)計波群內(nèi)不同序號單個波發(fā)生破碎的次數(shù),結果表明在各種連長的波群內(nèi)波群前部單個波的破碎數(shù)高于后部單個波的破碎數(shù)(如表1)。其中連長2的波群內(nèi)1號單個波破碎數(shù)為2號波的1.3倍,連長3的波群內(nèi)1號單個波破碎數(shù)為3號波的4倍。這意味著波群前部的波動更容易發(fā)生破碎。

圖15 破碎率B與平均波陡ak0的關系Fig.15 The relation between probability of wave breaking B and mean wave steepness ak0

表1 波群中單個波發(fā)生破碎的次數(shù)Tab.1 Breaking times of individual waves in wave groups

波群前部單個波發(fā)生破碎的頻率較大導致圖6和圖7中的數(shù)據(jù)散落。圖16為波群前部單個波破碎率較大對波群結構不對稱性程度的影響。圖中所示波群內(nèi)第一個單個波發(fā)生破碎,將該波的波峰削去(如圖16中陰影部分所示)。本文實驗中采用電容式測波儀觀測波浪,該儀器只能記錄水位的升降,波破碎事件在波面記錄上就表現(xiàn)為波面高度下降。由這種波面高度記錄計算得到波包絡為圖中長虛線ρb所示,若沒有波破碎的影響波包絡應為圖中短虛線ρnb所示。容易看出波破碎造成波群結構的不對稱性程度減小。這樣便解釋了圖6和圖7中的數(shù)據(jù)散落現(xiàn)象。同樣道理可以解釋圖13中平均波陡增大波群前后單個波波陡分布差異減小的現(xiàn)象(波陡分布曲線張角θ減小)。

圖16 波破碎對波包絡線振幅的影響Fig.16 The influence of wave breaking on the envelope amplitude

5 結語

本文研究了波群結構對波群中單個波波陡分布和波破碎的影響。實驗結果表明,波群具有不對稱結構,波群內(nèi)最高單個波出現(xiàn)在波群前部而不是波群中央;波群的這種不對稱性導致波群前部單個波出現(xiàn)較大波陡的概率較大,且波群前部和后部單個波波陡分布的差異隨譜寬度和平均波陡增大而增大;波破碎視頻統(tǒng)計結果表明,由于波破碎與波陡密切相關,波群前部和后部單個波的波陡的差異導致波群前部的單個波更容易發(fā)生破碎(波群前部單個波破碎的頻率是后部單個波破碎頻率的 4倍),而不是波群中央的單個波更容易發(fā)生破碎。由于波破碎是風浪成長理論中的重要問題,而波破碎更容易發(fā)生在波群前部,因此本文結果對風浪研究具有重要意義。

[1]Donelan M A,Longuet-Higgins M S,Turner J S.Whitecaps [J].Nature,1972,239：449-451.

[2]Thorpe S A,Humphries P N.Bubbles and breaking waves [J].Nature,1980,283：463-465.

[3]Su M Y.Large,steep waves,wave grouping and breaking [C]//Webster W C.Proc 16th Symposium on Naval Hydrodynamics.Berkeley：ONR,1986.

[4]Holthuijsen L H,Herbers T H C.Statistics of breaking waves observed as whitecaps in the open sea [J].J Phys Oceanogr,1986,16：290-297.

[5]Banner M L,Babanin A V,Young I R.Breaking probability for dominant waves on the sea surface [J].J Phys Oceanogr,2000,30：3145-3160.

[6]Longuet-Higgins M S.Statistical properties of wave groups in a random sea state [J].Phil Trans R Soc Lond,1984,312(A)：219-250.

[7]文圣常,余宙文.海浪理論與計算原理 [M].北京：科學出版社,1984.

[8]Cartwright D E,Longuet-Higgins M S.The statistical distribution of the maxima of a random function [J].Proc Roy Soc London,1956,237(1209)：212-232.

[9]Kimura A.Statistical properties of random wave groups[C]// Billy L E.Proc 17th Int Conf on Coastal Eng.Sydney Australia,New York：ASCE 1980.

[10]Nolte K G,Hsu F H.Statistics of larger waves in a sea state [J].J Waterway,Port,Coastal Ocean Div,1972,105：389-404.

[11]Ewing J A.Mean length of runs of high waves [J].J Geophys Res,1973,78(12)：1933-1936.

[12]Huang N E,Long S R.An experimental study of the surface elevation probability distribution and statistics of windgenerated waves [J].J Fluid Mech,1980,101：179-200.

[13]Banner M L,Gemmrich J R,Farmer D M.Multiscale measurements of ocean wave breaking probability [J].J Phys Oceanogr,2002,32：3364-3375.

[14]Svendsen I A,Veeramony J.Wave breaking in wave groups [J].J Waterway,Port,Coastal,and Ocean Engineering,2001,127(4)：200-212.

[15]Guiasu S.Information theory with applications [M].London：Mc-Graw-Hill Inc,1977：1-439.

[16]Dold J W,Peregrine D H.Water-wave modulations[C]//Billy L E.Proc 20th Int Conf Coastal Eng.Taipei Taiwan,New York：ASCE 1986.