凝膠推進(jìn)劑彎管流動(dòng)特性的數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究①

夏學(xué)禮，強(qiáng)洪夫，周志清

(第二炮兵工程學(xué)院，西安 710025)

0 引言

在凝膠供應(yīng)系統(tǒng)中，彎管是推進(jìn)劑管路輸送系統(tǒng)中的常見組件，推進(jìn)劑流經(jīng)彎管時(shí)，由于存在向心力及壁面壓力梯度，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變得極為復(fù)雜［1－2］。考慮到凝膠推進(jìn)劑的非牛頓流特性，考察其在這類管路中的流動(dòng)過程，已成為推進(jìn)劑輸送系統(tǒng)研究中需特別關(guān)注的內(nèi)容。

國(guó)內(nèi)外關(guān)于凝膠推進(jìn)劑彎管流動(dòng)研究的公開文獻(xiàn)少見報(bào)到，但關(guān)于非牛頓流體管道流動(dòng)特性的研究有相關(guān)探索。楊偉東和張蒙正對(duì)凝膠推進(jìn)劑模擬液在直圓管中的流動(dòng)特性進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)研究［3］，考察了管長(zhǎng)、管徑對(duì)流阻的影響，討論了流阻系數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系;Rahimi和 Natan［4－5］通過編程計(jì)算了凝膠推進(jìn)劑在收縮噴注器中的速度與粘度分布，認(rèn)為推進(jìn)劑平均表觀粘度在噴注器出口得到了明顯減小;Hwang和 Pal［6］、Deshpande 和 Barigou［7］對(duì)非牛頓流體的突擴(kuò)突縮管件進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究;Jure Marn［8］運(yùn)用二次方程流變模型對(duì)剪切變稠的高濃度灰水混合物流經(jīng)90°彎管進(jìn)行了數(shù)值模擬;Sing和Mishra［9］在大彎徑比下提出非牛頓流體流經(jīng)彎管的局部阻力系數(shù)公式;趙國(guó)華、陳良勇等［10］運(yùn)用Herschel-Bulkley模型對(duì)水煤漿90°彎管的流動(dòng)過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，得出了工程設(shè)計(jì)中最佳彎徑比與流速的關(guān)系。

本文采用管流法測(cè)量的冪率流變模型作為輸入?yún)?shù)，針對(duì)凝膠推進(jìn)劑在90°圓管中的流動(dòng)過程進(jìn)行了三維數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究，考察了彎徑比同流量和壓降的關(guān)系，得到了壓力和速度分布、局部阻力系數(shù)公式，以及最大速度點(diǎn)在彎管內(nèi)的變化規(guī)律。

1 數(shù)值模擬方法

1.1 控制方程

在柱坐標(biāo)系下，對(duì)于三維、穩(wěn)態(tài)、不可壓等溫層流流動(dòng)(?/?t=0，vθ=0，ρ=const)，其控制方程如下［11］:

流變模型:

連續(xù)性方程:

r方向動(dòng)量方程:

同理，z、θ方向動(dòng)量方程:

定義無量綱化量:

則有:

式中 r、z、θ為坐標(biāo)方向;ρ、vi、p 、τij分別為流體的密度、速度分量、壓力和切應(yīng)力分量;v0、L、η0、Re分別為入口平均速度、管長(zhǎng)、入口平均粘度和雷諾數(shù);有^符號(hào)和無^符號(hào)分別對(duì)應(yīng)為無量綱化前后相應(yīng)物理量。

1.2 邊界條件

(1)入口邊界

在入口處，沿軸向施加一速度，沿徑向速度分量為零:

入口的工況條件如表1所示。

表1 入口邊界工況條件Table 1 Inlet condition

(2)出口邊界

出口為充分發(fā)展的不可壓縮流:

(3)墻邊界

設(shè)墻面為無滑移、絕熱固壁邊界，有:

1.3 物理模型

入口邊界工況條件見表1，數(shù)值計(jì)算采用的彎管物理模型如圖1所示，具體尺寸見表2。其中Lu、Ld為彎管上、下游直管的長(zhǎng)度，Rc為彎管的曲率半徑，D為彎管的直徑，α=2Rc/D為該彎管的彎徑比，該彎管為90°彎管，L為彎管長(zhǎng)度。

圖1 90°彎管示意圖:D=8 mm，L=300 mm，Lu=LdFig.1 90°bending pipe:D=8 mm，L=300 mm，Lu=Ld

1.4 計(jì)算方法和網(wǎng)格

數(shù)值計(jì)算采用SIMPLEC算法，方程離散采用二階迎風(fēng)格式，計(jì)算網(wǎng)格如圖2所示。在z軸方向上的數(shù)值傳遞盡量垂直，平行于z軸的網(wǎng)格剖分線盡量與可能的流線相似，在墻邊界處進(jìn)行了局部加密，彎頭部分較直管部分網(wǎng)格要密，管道截面網(wǎng)格采用四邊形網(wǎng)格，由Grid生成。考慮到彎頭的長(zhǎng)度不同，對(duì)不同彎徑比，彎頭部分在網(wǎng)格剖分時(shí)，盡量使其剖分密度相近，直管部分進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，整個(gè)管道軸線上節(jié)點(diǎn)數(shù)相近。

表2 不同彎徑比下彎管長(zhǎng)度尺寸Table 2 Bending pipe length of various bend diameter ratio

圖2 90°彎管網(wǎng)格剖分示意圖Fig.2 Schematic diagram of 90°bend pipe mesh

2 流變模型的實(shí)驗(yàn)確定

凝膠推進(jìn)劑的流變模型有很多，普遍采用冪率模型來描述，其實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法可通過管流法實(shí)現(xiàn)其在管道內(nèi)的恒定剪切流動(dòng)，測(cè)量其壓降和流量，換算成名義剪切速率和壁面剪切應(yīng)力。根據(jù)流動(dòng)公式，由測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用最小二乘的多參數(shù)回歸擬合方法得出參數(shù)n、k，從而確定其流變模型。實(shí)驗(yàn)在如圖3所示實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)中被測(cè)管路水平置于兩接頭之間，接頭管徑與被測(cè)管徑相同，認(rèn)為測(cè)壓點(diǎn)間為充分發(fā)展的層流流動(dòng)。

圖4為該型凝膠推進(jìn)劑在不同管徑的相同材料管道內(nèi)測(cè)得的流動(dòng)曲線。不同管徑下曲線并不重合，這是由壁滑移引起的，必須對(duì)壁滑移效應(yīng)予以修正，修正后的模型為

圖3 凝膠推進(jìn)劑管流實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.3 Sketch map on the experimental system of gelled propellant flow in pipe

圖4 流動(dòng)曲線Fig.4 Flow curves in pipe

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 壓力和速度分布

在3 種雷諾數(shù)工況(Re5=40.4、Re6=78.8、Re7=126.4)下凝膠推進(jìn)劑流經(jīng)彎徑比為2Rc/D=1.2的L=300 mm長(zhǎng)度彎管的壓力和速度分布見圖5。

從圖5(a)可見，壓力的變化在彎頭的上、下游呈線性減小，而在彎頭部分呈非線性減小趨勢(shì)。這表明彎管彎頭部分上游是充分發(fā)展的流動(dòng)條件，而當(dāng)流動(dòng)進(jìn)入彎頭部分后，壓降變得非線性，且這種非線性隨著雷諾數(shù)的增大變得更加明顯，彎管的彎曲對(duì)流體在彎頭部分的流動(dòng)有著極大影響。當(dāng)流體流出彎頭部分后，彎頭下游部分的壓力梯度再次接近于Hagen-Poiseuile流，而且對(duì)于所有的雷諾數(shù)條件下，壓力充分發(fā)展條件出現(xiàn)在下游地區(qū)。

圖5 沿中心軸線壓力和速度分布Fig.5 Normalized pressure and velocity distribution along centerline direction

從圖5(b)可看出，速度在進(jìn)入彎頭部分后呈先減小后增大恢復(fù)的過程，這說明流動(dòng)在進(jìn)入彎頭部分后，速度的最大點(diǎn)并不出現(xiàn)在中心軸線上，速度最大點(diǎn)連成的軸線與彎管的物理軸線并不重合，3.4節(jié)管道截面速度分布的圖10也從另一側(cè)面驗(yàn)證了這一結(jié)論，截面速度最大點(diǎn)出靠近管壁外側(cè)，管壁外側(cè)速度高于截面平均速度，而內(nèi)側(cè)速度則低于截面平均速度，在密度不變條件下，定性上保證了沿彎管橫截面的質(zhì)量流量恒定。

圖6給出了凝膠推進(jìn)劑在這3種雷諾數(shù)工況(Re5=40.4、Re6=78.8、Re7=126.4)條件下，流經(jīng)同一彎管(彎徑比為1.2，管長(zhǎng)為300 mm)的內(nèi)、外壁壓力分布計(jì)算結(jié)果。

從圖6可看出，在彎頭部分內(nèi)、外壁面的壓力分布是不一致的，這種不一致作用于流體上，勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生向心力，其結(jié)果在管道截面上出現(xiàn)二次流。二次流作用在管道橫截面上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)橫向輸運(yùn)，相較于直圓管來說，這種附加的對(duì)流輸運(yùn)勢(shì)必引起壓降的增大，圖7給出了這種由于二次流引起的壓降增大而產(chǎn)生的相較于直管的壓力損失。

從圖6中還能注意到，壓降開始偏離Hagen-Poiseuille流出現(xiàn)在彎管彎頭的入口部分，雷諾數(shù)越高，偏離越明顯，最大偏離大概出現(xiàn)在彎管彎頭部分的40°～45°之間。

圖6 彎管外壁面壓力分布Fig.6 Normalized pressure distribution along inner wall and outerwall of a pipe bend

圖7 彎管與直管沿中心軸線處的壓力分布Fig.7 Normalized pressure distribution along centerline for pipe bend and straight pipe

3.2 局部阻力系數(shù)

對(duì)于大彎徑比彎管，在充分發(fā)展流動(dòng)條件下的軸向壓力梯度，過去大多數(shù)人是通過實(shí)驗(yàn)方式考察fc與fp的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式來描述，而對(duì)于小彎徑比條件下的彎管流動(dòng)，少見有文獻(xiàn)報(bào)到。Mishra-Gupta對(duì)于彎徑比大于12的管道進(jìn)行了研究，提出了經(jīng)驗(yàn)公式:

式中 Δp為彎管出入口的壓降;ρ為流體密度;v為平均流速。

對(duì)于非牛頓流體雷諾數(shù)，根據(jù)凝膠推進(jìn)劑的性質(zhì)，采用基于壁面表觀粘度的雷諾數(shù)，用式(7)來表征:

式中 d為管徑;η為表觀粘度。

影響非牛頓流體流經(jīng)彎管局部阻力系數(shù)的因素有很多，比如彎徑比、流速以及非牛頓流體本身的特性參數(shù)等。本文著重考慮彎徑比及流速(對(duì)于確定的管徑和特定的推進(jìn)劑，即為流量)對(duì)阻力系數(shù)的影響，對(duì)管徑為8 mm的彎管，考察的彎徑比及彎管的幾何尺寸如表2所示，所經(jīng)歷的雷諾數(shù)如表1所示，考察得到的凝膠推進(jìn)劑流經(jīng)90°彎管的局部阻力系數(shù)同雷諾數(shù)及彎徑比關(guān)系的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

從圖8可看出，隨著雷諾數(shù)的增大，凝膠推進(jìn)劑的局部阻力系數(shù)越偏離牛頓流體的局部阻力系數(shù)，且彎徑比越小，變化越明顯。

圖8 不同彎徑比局部阻力系數(shù)分布Fig.8 The ratio fc/fpvs lgDe for various bend diameter ratio

根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，參照Mishra-Gupta對(duì)于彎徑比大于12的管道進(jìn)行研究提出的經(jīng)驗(yàn)公式，采用最小二乘的多參數(shù)回歸擬合方法，得到凝膠推進(jìn)劑流經(jīng)小彎徑比條件下局部阻力系數(shù)同彎徑比及雷諾數(shù)的關(guān)系式如下:

3.3 最佳彎徑比

最佳彎徑比是相同流速下凝膠推進(jìn)劑流經(jīng)彎管產(chǎn)生的局部阻力系數(shù)最小時(shí)的彎徑比。對(duì)彎徑比(如表2所示)從1.2～4的各流速(如表1所示)下8 mm彎管進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到各流速下局部阻力系數(shù)隨彎徑比的分布如圖9所示。

圖9 不同De數(shù)下局部阻力系數(shù)分布Fig.9 Ratio fc/fpvs 2Rc/R for various De numbers

圖8、圖9可看出，在小彎徑比條件下90°彎管，當(dāng)De＜5時(shí)，存在最佳彎徑比，且出現(xiàn)在2左右;當(dāng)De＞5時(shí)，彎徑比越大，局部阻力系數(shù)越小，凝膠推進(jìn)劑越接近牛頓流體的流動(dòng)。

3.4 管道截面速度分布

沿著管軸線方向，在彎曲不同部位截取面，圖10描述了彎徑比為12的8 mm管徑彎管分別在θ=0°、30°、45°、60°、90°截面，3 種雷諾數(shù) Re5、Re6、Re7條件下無量綱速度沿半徑的變化分布。

圖10 彎管彎頭部分不同截面速度分布Fig.10 Normalized velocity distribution in a symmetry plane of a pipe bend inner，outer denotes the inner and outer wall

圖11描述了上述彎管在雷諾數(shù)分別為Re6、Re7條件下，彎曲部分出口截面的無量綱速度分布，并同時(shí)描繪出了同等條件下直管的速度分布。

圖11 彎頭出口截面速度分布Fig.11 Normalized velocity v/vindistribution at exit of a pipe bend

從圖10、圖11可看出:(1)流體流經(jīng)彎管，由于向心力的作用，最大速度點(diǎn)并不像流體流經(jīng)直管一樣出現(xiàn)在管徑的中心處，而是外側(cè)速度高，內(nèi)側(cè)速度低，最大速度點(diǎn)出現(xiàn)在靠近彎管外壁;(2)沿著流動(dòng)方向流經(jīng)管道截面(分別為 0°、30°、45°、60°、90°)，最大速度點(diǎn)的偏離更加明顯;(3)流體的流動(dòng)速度越大，最大速度點(diǎn)的偏離亦更加明顯;(4)最大速度點(diǎn)更偏離外側(cè)，說明彎曲管徑外側(cè)的剪切速率大，而內(nèi)側(cè)小。因此，對(duì)于凝膠推進(jìn)劑在小雷諾數(shù)條件下流動(dòng)，可能需關(guān)注內(nèi)側(cè)膠凝劑沉降現(xiàn)象的發(fā)生。

4 結(jié)論

(1)壓力和速度在彎管彎頭部分沿軸線分布呈非線性變化，且雷諾數(shù)越大，非線性越明顯。

(2)壓力在彎頭部分內(nèi)、外壁面的不一致分布會(huì)產(chǎn)生向心力作用，使得在管道截面上出現(xiàn)二次流，結(jié)果產(chǎn)生在管道橫截面上的橫向輸運(yùn)，從而引起相對(duì)于直管的壓力損失。

(3)通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)考察了局部阻力系數(shù)同速度與彎徑比的關(guān)系，得到了適合的經(jīng)驗(yàn)公式，認(rèn)為在一定的雷諾數(shù)條件下存在最佳彎徑比，工程上取值在2左右較合適。

(4)凝膠推進(jìn)劑在彎管內(nèi)的流動(dòng)，最大速度點(diǎn)出現(xiàn)在靠近彎管外壁，且沿著流動(dòng)方向和增大流動(dòng)速度，最大速度點(diǎn)的偏離更加明顯。因此，對(duì)于凝膠推進(jìn)劑在小雷諾數(shù)條件下流動(dòng)，需關(guān)注內(nèi)側(cè)膠凝劑沉降現(xiàn)象的發(fā)生。

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