一類離散H信號的時域構(gòu)造方法及其特性分析

石 榮,胡來招

(電子信息控制重點實驗室,成都 610036)

1 引 言

H信號由文獻(xiàn)[1]首次公開提出,該信號是類似于噪聲的信號,其良好的特性使得其在許多領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。利用H信號來攜帶信息可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)的隱蔽傳輸,利用H信號探測目標(biāo)可以具備良好的低截獲概率特性。由H信號的定義可知,H信號既包括連續(xù)型,也包括離散型,由于工程實踐中數(shù)字信號處理手段的普及,經(jīng)過數(shù)字化采樣后的離散H信號使用更加廣泛,所以本文也以離散H信號為研究對象。離散H信號的構(gòu)造通常是按照其在頻率域中的定義,通過信號頻域相位隨機化后,進(jìn)行傅里葉逆變換來得到時域中的離散H信號。按照這種方法構(gòu)造出的信號通常是時域中的多值化信號,一方面增加了其在某些應(yīng)用領(lǐng)域中時域硬件處理的復(fù)雜性,另一方面在信號發(fā)射過程中會出現(xiàn)嚴(yán)重的峰均比問題,發(fā)射機的工作點必須回退以保證信號的放大處于發(fā)射機的線性區(qū)。本文以m序列為基礎(chǔ),利用其互相關(guān)函數(shù)的單峰性,直接從時域進(jìn)行離散H信號的合成,按照這種方法構(gòu)造出的離散H信號在時域只取兩個值,這類離散H信號的時域硬件處理復(fù)雜度可以得到很大的簡化,而且信號發(fā)射過程的峰均比問題也得到基本解決,同時對此類離散H信號的相關(guān)特性從理論上給予了證明。本文的分析也從另一個角度展現(xiàn)了H信號、m序列等隨機信號之間的緊密聯(lián)系,這對于進(jìn)一步開展H信號的理論研究,理解H信號的本質(zhì)內(nèi)涵和工程應(yīng)用具有重要的參考意義。

2 離散H信號及其頻域構(gòu)造

根據(jù)文獻(xiàn)[1],信號的自相關(guān)只有一個位置在零的峰,其傅里葉變換的幅度是一個常數(shù),而信號頻譜的相位是隨機均勻分布的,其特征非常接近于一個白噪聲,這樣的信號就稱為H信號。由此可知,H信號是一個在統(tǒng)計意義上定義的信號種類,一個具體信號實現(xiàn)可以看成是H信號中的一個信號樣本。離散H信號具有如下特性:

(1)對一個H信號樣本進(jìn)行傅里葉變換,其頻譜幅度是一個常數(shù),頻譜的相位在360°范圍內(nèi)均勻分布;

(2)如果對該信號樣本進(jìn)行周期性擴(kuò)展,其自相關(guān)函數(shù)在一個周期內(nèi)只有一個非零點,相關(guān)沒有任何柵瓣;

(3)兩個獨立的H信號之間的互相關(guān)函數(shù)與信號本身具有近似的規(guī)律,即互相關(guān)函數(shù)的頻譜是平坦的,在時間上是一個平穩(wěn)隨機量,沒有高聳的峰值。

根據(jù)上述信號特性,在同時使用多個H信號時,它們彼此之間可以認(rèn)為是一定意義上接近正交的,基本沒有相互干擾。根據(jù)H信號的定義來合成H信號是最直接的信號構(gòu)造方法,該方法以頻域為基礎(chǔ),所以又稱為H信號的頻域構(gòu)造法。

首先確定信號長度L,然后根據(jù)同余法生成在0～360范圍內(nèi)均勻分布的L個隨機數(shù)作為頻域相位值,遞推公式如下:

式中,a、b為遞推參數(shù),這樣只要確定了隨機相位起始值 θ1,便可以通過上式得到0°～360°范圍內(nèi)均勻分布的相位序列,在此基礎(chǔ)上可得到H信號的頻域表達(dá)式Hf如下:

式中,ξ是幅度調(diào)節(jié)參數(shù),對Hf進(jìn)行傅里葉逆變換,將最終得到H信號的時域表達(dá)式為

顯然,一般情況下,Ht是一個長度為L的復(fù)數(shù)值時間序列。如果要得到實數(shù)值的H信號,需要對 Hf附加一個限制條件使得θi=360-θL+1-i,即頻域序列具有共額對稱特性,這樣經(jīng)過傅里葉逆變換之后的Ht便是一個長度為L的實數(shù)值時間序列。

3 利用m序列構(gòu)造時域離散H信號

H信號是一大類信號,通常情況下按照其定義從頻域構(gòu)造后經(jīng)傅里葉逆變換得到。但是H信號中有一個特殊子類,這類信號可以從時域來直接構(gòu)造,其構(gòu)造的基礎(chǔ)是利用m序列來生成。m序列是最長線性反饋移位寄存器序列的簡稱,帶線性反饋邏輯的寄存器設(shè)定初始狀態(tài)后,在時鐘的觸發(fā)下通過移位與模2加反饋邏輯,將生成一個周期性的0/1序列,序列的周期與線性反饋寄存器的特征多項式密切相關(guān),一個產(chǎn)生m序列的 n級移位寄存器,其特征多項式一定是n次的本原多項式F(x),即滿足如下條件:F(x)是既約的,即不能再分解因式;F(x)可整除xm+1,其中m=2n-1;F(x)不能整除 xq+1,其中q

利用m序列來直接構(gòu)造H信號的步驟如下:

(1)確定信號的長度L,且滿足L=2n-1;

(2)利用次數(shù)為n的本原多項式,得到長度為L的m序列Sm,Sm是一個0/1序列;

(3)對序列Sm進(jìn)行如下線性運算,即可得到長度為L的H信號HL,t:

式中,d是幅度調(diào)節(jié)參數(shù),其中的每一離散信號樣點值

由此構(gòu)造的離散H信號只取一正一負(fù)兩個值,而這兩個值的絕對值隨著信號長度的增加差別越來越小,這樣在信號發(fā)射過程中發(fā)射機基本上可以處于滿功率工作狀態(tài),不會因為信號幅度的多值性而將工作點大幅度回退,所以基本上解決了信號的峰均比問題。

下面以一個實例來進(jìn)行說明。取要構(gòu)造的H信號序列長度為1023,因1023=210-1,所以選取次數(shù)為10的本原多項式x10+x3+1來生成m序列,然后按照式(3)即可得到長度為1023的H信號H1023,t,該信號的時域波形、周期自相關(guān)函數(shù)、頻域幅值、頻域相位分別如圖1～4所示。

圖1 H1023,t信號的時域波形圖Fig.1 Waveform of H1023,tin time domain

圖2 H1023,t信號的周期性自相關(guān)圖Fig.2 Periodic self-correlation of H1023,t

圖3 H1023,t信號的頻域幅值圖Fig.3 Amplitude of H1023,tin frequency domain

圖4 H1023,t信號的頻域相位圖Fig.4 Phase of H1023,tin frequency domain

4 該類離散H信號的主要特性

按照上述方法構(gòu)造出的時域信號序列HL,t具有如下的主要特征:

(1)性質(zhì)1:信號序列HL,t的周期性自相關(guān)函數(shù)rxx(k)具有沖激信號特征,只有一個位置在零的峰,且滿足:

將式(3)代入上式化簡,立即可得 rxx(0)=d2·2n。當(dāng) k≠0時,

其中 i′=(k+i)mod(2n-1),將式(3)代入上式化簡可得:

實際上,Ssum1表示m序列Sm映射為+1/-1序列后的非零自相關(guān)函數(shù),根據(jù)m序列的性質(zhì)Ssum1=-1,由于一個m序列Sm循環(huán)移位后仍然為m序列,且一個長度為2n-1的m序列自身求和為,這樣

于是,根據(jù)上述結(jié)果可得:

(2)性質(zhì)2:信號序列HL,t是一個時域二值信號,即在時域上只取一正一負(fù)兩個值,且正值的數(shù)目比負(fù)值的數(shù)目多1。

證明:根據(jù)式(3),信號序列HL,t是由m序列Sm線性變換后生成,其中的m序列Sm只取0和1兩個值,經(jīng)過線性變換仍然取兩個值,其中m序列中的0變換為H信號序列中的負(fù)值序列中的1變換為H信號序列中的正值。根據(jù)m序列的性質(zhì)即序列中1的數(shù)目比0的數(shù)目恰好多1個,所以對應(yīng)的H信號序列中,正值的數(shù)目比負(fù)值的數(shù)目多1。

(3)性質(zhì)3:信號序列HL,t具有類似于m序列的信號游程特性。

劉佳爸爸要送我回家，我死活不肯，我說我離家出走了。我像一只八爪魚那樣抓著劉佳不放，最后他帶我回了家，我在他家浴室里洗頭洗澡，出來時，我的頭發(fā)終于有了和他一樣的味道。

證明:根據(jù)式(3),信號序列 HL,t是由m序列 Sm線性變換后生成,m序列信號游程特性同樣也對應(yīng)映射到H信號序列中,H信號中的游程以正數(shù)游程與負(fù)數(shù)游程來進(jìn)行劃分,即:信號長度為2n-1的信號序列中,總共有2n—1個游程,其中長度等于l的游程占游程總數(shù)的,此外,還有一個長度為n的正數(shù)游程,一個長度為n-1的負(fù)數(shù)游程。

(4)性質(zhì) 4:信號序列HL,t的傅里葉變換,其頻譜幅度是一個常數(shù),頻譜的相位均勻分布。

證明:信號序列HL,t的傅里葉變換為

根據(jù)離散傅里葉的性質(zhì)[5]可得:

將性質(zhì)1的結(jié)果代入上式可得:

(5)性質(zhì)5:信號序列HL,t的周期性移位時間序列仍然是一個H信號時間序列。

證明:根據(jù)式(3),信號序列 HL,t是由m序列 Sm線性變換后生成,m序列周期性移位后仍然為m序列,所以對應(yīng)映射到H信號序列中,HL,t的周期性移位時間序列仍然是一個H信號時間序列。

5 結(jié)束語

本文以m序列為基礎(chǔ),從時域直接構(gòu)造了一類特殊的離散H信號,給出了該類信號的構(gòu)造原理與方法,并從理論上證明了該類信號所具有的五大特性。一方面展現(xiàn)了H信號與m序列信號相互之間的聯(lián)系,提供了此類H信號分析的理論基礎(chǔ)。另一方面,這一類具有時域二值化取值特征的離散H信號,也給實際數(shù)字化硬件平臺的信號處理類應(yīng)用提供了更加簡潔的處理手段,這對于H信號的更加廣泛的工程實際應(yīng)用具有重要的參考意義。

[1]胡來招.信號與信息[M].北京:電子工業(yè)出版社,2010.HU Lai-zhao.Signal and Information[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010.(in Chinese)

[2]Hans-Jǜrgen Zepernick,Adolf Filger.Pseudo Random Signal Processing Theory and Application[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2007.

[3]John G Proakis.Digital Communications[M].5th ed.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2009.

[4]Paul Garrett.The Mathematics of Coding Theory[M].Beijing:China Machine Press,2005.

[5]Sanjit K Mitra.Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach[M].2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press,2001.