在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探討

王凡剛

(臨沂大學(xué) 繼續(xù)教育學(xué)院，山東 臨沂 130022)

1 什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在上世紀(jì)80年代出現(xiàn)于美國的一些大學(xué)，被稱為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，重點(diǎn)是通過一系列的結(jié)合使用計(jì)算機(jī)的實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)的境界。我國高校在上世紀(jì)90年代中期開始設(shè)置“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課，發(fā)展極為迅速，目前許多學(xué)校已經(jīng)或準(zhǔn)備開設(shè)這門課。筆者以為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)至少包含以下三層含義:

(1)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(Mathematics Experiment)是一門新的數(shù)學(xué)課程。它是利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)，一方面對學(xué)習(xí)知識(shí)過程中的某些問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，另一方面，結(jié)合已掌握的數(shù)學(xué)(微積分，代數(shù)與幾何等)知識(shí)，去探究解決一些簡單實(shí)際問題，從而熟悉數(shù)學(xué)建模，解法研究到實(shí)驗(yàn)分析的科學(xué)研究的方法。

(2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種新的教學(xué)模式。它采用開放式教學(xué)，運(yùn)用現(xiàn)代教育思想，改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，把學(xué)生上機(jī)實(shí)踐與多媒體教學(xué)手段相結(jié)合，使學(xué)生由被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極主動(dòng)參與。它將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，并借助于數(shù)學(xué)軟件或自己編程，使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。

(3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種教學(xué)過程。它是通過讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，最后獲得概念、理解或解決問題的一種教學(xué)過程。在這過程中教師處于主(要引)導(dǎo)的地位，而學(xué)生則處于主動(dòng)學(xué)習(xí)的地位。

2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中為什么要進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

2.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是時(shí)代發(fā)展的需要量

人類社會(huì)進(jìn)入21世紀(jì)，正逐步從工業(yè)經(jīng)濟(jì)時(shí)代向知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代過渡，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位發(fā)生了巨大的變化。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入，它不僅應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域，而且已滲透到軍事、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、人文科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)在高科技領(lǐng)域中的重要地位和作用日益突出，已成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分。教好數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，迅速提高國民的數(shù)學(xué)素質(zhì)成為一個(gè)迫切的時(shí)代要求。基于此，我們認(rèn)為定量分析等數(shù)學(xué)素質(zhì)是面向21世紀(jì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代人才素質(zhì)的一個(gè)重要方面，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一個(gè)重要方法和途徑，開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課將會(huì)在這方面起著重要的作用。

2.2 開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的需要

現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)取得了舉世矚目的成就，大量功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件包的出現(xiàn)，使得過去很多繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算變得輕而易舉。例如在廣泛的應(yīng)用工程領(lǐng)域，微分方程的求解，線性規(guī)劃問題，只要編制一些簡單的程序即可得到滿足應(yīng)用需要的數(shù)值解。另外很多復(fù)雜的幾何圖形，抽象難懂的數(shù)學(xué)概念都可以通過計(jì)算機(jī)直觀顯示。在計(jì)算機(jī)技術(shù)日益普及的新時(shí)代，若數(shù)學(xué)科學(xué)不抓住這一機(jī)遇，用最先進(jìn)的技術(shù)手段武裝自己，將會(huì)大大降低數(shù)學(xué)科學(xué)的作用與地位。開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將先進(jìn)的技術(shù)成果應(yīng)用于實(shí)踐，一方面增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的實(shí)踐功能，另一方面也有助于數(shù)學(xué)科學(xué)本身向前發(fā)展。

2.3 開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要

長期以來，人們對數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)就是概念、定理、公式和解題，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科是一種具有嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)的演繹科學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)只是高度的抽象思維活動(dòng)。但是，數(shù)學(xué)不只是邏輯推理，還有實(shí)驗(yàn)。G·波利亞曾指出:“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”弗賴登塔爾也曾指出:要實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則是不可能的。在傳統(tǒng)的課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由的發(fā)展。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的設(shè)立，首先是改變了高等數(shù)學(xué)課程那種僅僅依賴“一支筆，一張紙”，由教師單向傳輸知識(shí)的模式。它提高了學(xué)生在教學(xué)過程中的參與程度，學(xué)生的主觀能動(dòng)性在實(shí)驗(yàn)中能得到相當(dāng)充分的發(fā)揮。好的實(shí)驗(yàn)會(huì)引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的強(qiáng)烈興趣并激發(fā)他們自己去解決相關(guān)實(shí)際問題的欲望，因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于促進(jìn)獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。

其次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改變了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中原有的從概念定理出發(fā)進(jìn)行理論教學(xué)的模式，轉(zhuǎn)向加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力的培養(yǎng)。提高了學(xué)生自覺地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，能夠促進(jìn)學(xué)生基本技能和專業(yè)技術(shù)水平的提高，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。

2.4 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)

“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”(G·波利亞)。飛速發(fā)展的計(jì)算機(jī)技術(shù)恰好為我們提供了一個(gè)良好的自己發(fā)現(xiàn)問題的工具。借助于計(jì)算機(jī)，通過學(xué)生親自設(shè)計(jì)和動(dòng)手，可體驗(yàn)解決問題的全過程，從實(shí)驗(yàn)中去探索、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，使用計(jì)算機(jī)并利用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題的能力，最終達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和綜合能力的目的。

通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以使學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，使他們在今后工作中能經(jīng)常性地、有意識(shí)地想到用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題。同時(shí)，提高他們利用計(jì)算機(jī)軟件以及當(dāng)代最新科技成果的意識(shí)，能將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來，更科學(xué)、更便捷地去處理各種問題.這種數(shù)學(xué)模式的顯著特點(diǎn)，一是使數(shù)學(xué)思維(即邏輯思維)的過程視覺化、形象化，從而刺激大腦接受信息的興奮點(diǎn)，起到激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的效果。二是借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，開展人機(jī)對話，既能鞏固學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，又能提高計(jì)算機(jī)運(yùn)用水平，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提高創(chuàng)新能力。

通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的過程。數(shù)學(xué)的魅力是多方面的，許多數(shù)學(xué)結(jié)論被發(fā)現(xiàn)的過程更具神秘感.但是教師在處理較為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，顯得過于直接，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程大多經(jīng)歷:了解結(jié)論、論證結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論這樣的幾個(gè)過程.這樣的結(jié)果是:知識(shí)在學(xué)生頭腦中的印象常常盡快消失。可以這樣說，這樣的一個(gè)學(xué)習(xí)過程是不成功的。因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拋開了抽象的數(shù)學(xué)定義、定理的推導(dǎo)證明，將復(fù)雜的公式和方程變?yōu)橛邢薜牟僮鞒绦颍纯傻玫礁鞣N需要的數(shù)值結(jié)果，而這些結(jié)果的取得也許用傳統(tǒng)的計(jì)算方法需要花費(fèi)十倍甚至幾十倍的時(shí)間才能解決。在較短時(shí)間內(nèi)即可讓學(xué)生體會(huì)到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的快樂。借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以迅速突破難點(diǎn)，加深對相關(guān)概念、知識(shí)的理解;有助于揭示概念本質(zhì)，展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。

3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)施應(yīng)注意的問題

3.1 開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課要因材施教，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平有計(jì)劃地進(jìn)行

要從教學(xué)設(shè)施、教材內(nèi)容、學(xué)生能力等實(shí)際情況出發(fā)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)要由淺入深，教師的指導(dǎo)也要由多到少，逐漸過渡到學(xué)生的自主實(shí)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者與共同實(shí)驗(yàn)者，在開展活動(dòng)時(shí)，要注意學(xué)生非智力因素的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生自己主動(dòng)完成實(shí)驗(yàn)，及時(shí)肯定學(xué)生的積極表現(xiàn)，鼓勵(lì)創(chuàng)新，與學(xué)生平等地進(jìn)行交流和討論，創(chuàng)設(shè)民主、和諧的實(shí)驗(yàn)氣氛，建立新型的師生關(guān)系。

3.2 選擇合適的數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)

目前常用數(shù)學(xué)軟件有的Mathematica、Matlab、Maple等，基本上都能夠?qū)崿F(xiàn)高等數(shù)學(xué)的主要計(jì)算。在這幾款軟件中，本人更傾向于選擇Mathematica，主要它有如下優(yōu)點(diǎn):①符號運(yùn)算更方便，不需事前聲明。特別是，3.0以上版本建立了專用模板，輸入數(shù)學(xué)公式和各種操作既簡便又直觀，還可根據(jù)需要自制模板，這是同類軟件不可比擬的;②繪圖操作簡便，并帶有擴(kuò)展的繪圖軟件包，使得繪圖功能更加完善;③數(shù)值計(jì)算精度高，更具數(shù)學(xué)的嚴(yán)肅性，是精確計(jì)算軟件的佼佼者。

3.3 精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程

上機(jī)實(shí)驗(yàn)前先復(fù)習(xí)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，掌握要用到的公式、定理、結(jié)論，還要給學(xué)生介紹一些計(jì)算方法，數(shù)學(xué)軟件的功能及操作原理，然后再逐步進(jìn)入實(shí)驗(yàn)過程。在每次上機(jī)實(shí)驗(yàn)前要明確地告訴學(xué)生實(shí)驗(yàn)的目的，實(shí)驗(yàn)的過程、方法及步驟。例如，在學(xué)習(xí)極限時(shí)，為了了解數(shù)列的變化趨勢，實(shí)驗(yàn)步驟設(shè)計(jì)如下:第1步，運(yùn)行命

圖1

圖2

圖3

3.4 在實(shí)驗(yàn)過程中細(xì)心指導(dǎo)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)以學(xué)生獨(dú)立操作為主，教師輔導(dǎo)為輔。但在實(shí)驗(yàn)過程中，一些命令、參數(shù)學(xué)生經(jīng)常會(huì)輸入錯(cuò)誤，比如字母的大小寫，函數(shù)拼寫錯(cuò)誤，參數(shù)不足等等，這時(shí)教師應(yīng)及幫助學(xué)生。在教學(xué)過程中，教師還要經(jīng)常提出一些思考題目，甚至一些猜想，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，勇于創(chuàng)新。要保證學(xué)生上機(jī)的時(shí)間，確實(shí)能讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，最后要求學(xué)生寫出包括算法、計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)、計(jì)算結(jié)果及其分析等內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種新興的數(shù)學(xué)教學(xué)手段正在受到越來越多的數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注，隨著研究者的增多，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容、方法和意義會(huì)被更的人們所認(rèn)識(shí)。如何上好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更好地服務(wù)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作，也對我們每個(gè)數(shù)學(xué)工作者構(gòu)成了一個(gè)挑戰(zhàn)。這不僅要求我們具備較高的數(shù)學(xué)專業(yè)水平，更需要具備豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和解決問題的能力。這也迫使我們學(xué)習(xí)新的更多的知識(shí)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)，迫使我們了解數(shù)學(xué)以外的世界，不斷地更新知識(shí)，努力提高業(yè)務(wù)水平和科研能力。

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