基于Boussinesq問題解的錨索受力分析

鄭小毅 武金博

（中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司 武漢 430056）

0 引 言

預(yù)應(yīng)力錨索作為一種重要的錨固支護(hù)技術(shù)，在改善巖土體應(yīng)力狀態(tài)，提高巖土體的整體性、承載力及穩(wěn)定性等方面已為大量的工程實(shí)踐所證實(shí)，廣泛地應(yīng)用于地質(zhì)災(zāi)害加固的各個(gè)領(lǐng)域.但由于巖土體的復(fù)雜性，預(yù)應(yīng)力錨索作用機(jī)理十分復(fù)雜，影響因素眾多，目前關(guān)于預(yù)應(yīng)力錨索作用機(jī)理及設(shè)計(jì)理論還很不完善，遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了工程實(shí)踐的需要，因此了解錨索的內(nèi)力分布將對錨索設(shè)計(jì)有很大幫助，同時(shí)將帶來顯著的經(jīng)濟(jì)效益.

1 受力機(jī)理分析

假設(shè)巖土體為無限彈性空間體，錨索張拉力為一作用于巖土體表面的垂直集中力，則此問題可以看成為Boussinesq問題.在半無限體表面受法向集中力作用下，如圖1所示，用位移法求解，即解空間軸對稱體的Lame方程.

Boussinesq找到了滿足上式的兩組特解，即滿足上述平衡方程的兩組位移函數(shù)，分別為

代入得

根據(jù)位移互等定理，在O點(diǎn)作用力P產(chǎn)生M點(diǎn)的位移等于M點(diǎn)作用力P產(chǎn)生O點(diǎn)的位移，取錨固體與Z軸重合，此時(shí)R＝z，則端點(diǎn)的位移為

設(shè)錨固段對巖體產(chǎn)生的剪應(yīng)力為τz，取一微小單元如圖2所示.

dP＝2aπτ（z）dz，則τz引起的錨固段點(diǎn)O的位移為

圖2 軸力－剪應(yīng)力平衡圖

圖1 Boussinesq問題示意圖

錨固段總的總伸長量為

錨固段與巖體的變形都處于彈性狀態(tài)，滿足變形協(xié)調(diào)條件，則

兩邊同時(shí)對z求導(dǎo)，簡化可得二階變系數(shù)齊次常微分方程

借助MATLAB求解得出

有邊界條件z＝0時(shí)τz＝0可得C2＝0.

沿錨索體積分可得軸力為

這與尤春安等人［1－3］基于Kelvin問題的推導(dǎo)結(jié)果公式相似.

錨固段位移積分得

2 應(yīng)力分布形式及影響因素

2.1 應(yīng)力分布形式

假設(shè)P＝960kN；a＝0.075m；υ＝0.25；E／Ea＝0.644 4，則得到k＝13.08，繪制分布曲線，如圖3所示.由圖3可知，軸力在錨固段端口處最大，然后快速衰減，直至趨于0，而剪應(yīng)力在端口處為0，然后快速增大，在距端口0.5m位置左右到達(dá)極值，而后又迅速衰減，直至趨于0.

圖3 錨固段應(yīng)力分布曲線

2.2 鉆孔半徑的影響

其他參數(shù)不變，取不同的a（分別為0.0575，0.0675，0.075mm）得到鉆孔半徑對應(yīng)力分布的影響如圖4所示.

2.3 介質(zhì)彈性模量的影響

巖石的E一般為0.95～83GPa，故E／Ea的變化范圍一般為0.0266～2.3253，假設(shè)其他參數(shù)不變，取E／Ea分別為0.0266，0.6444，2.3253.E／Ea的變化對應(yīng)力分布的影響如圖5.

圖4 鉆孔半徑a對錨固段應(yīng)力分布的影響圖

圖5 E／Ea對錨固段應(yīng)力分布的影響圖

2.4 材料泊松比的影響

一般材料的泊松比υ變化不大，彈塑性材料的υ一般值為0.1～0.4，分別取υ為0.1，0.25，0.4.算得k值分別為13.27，13.08，13.41，相差不大，由此可知其對應(yīng)力分布影響較小.

2.5 注漿壓力的影響

錨索的錨固段一般都在很深的基巖中，由于開孔的影響，會使巖體的天然應(yīng)力的平衡狀態(tài)破壞，從而造成圍巖應(yīng)力的重分布，這些巖石可以近似認(rèn)為各向同性的線彈性體，其應(yīng)力從分布可以用彈性力學(xué)方法計(jì)算［4－5］.

當(dāng)無注漿壓力時(shí)，此時(shí)可以按平面應(yīng)變問題考慮，引用柯西課題求解.計(jì)算圖示如圖6.

圖6 無注漿壓力計(jì)算圖

此時(shí)砂漿處于無圍壓狀態(tài)，抗剪強(qiáng)度沒有提高，在這種情況下如果張拉噸位過大容易發(fā)生錨索與砂漿整體一起被拔出.當(dāng)張拉時(shí)，對于壓力型錨索來說砂漿受壓，其應(yīng)變?yōu)?/p>

而巖石由于開挖所產(chǎn)生的徑向應(yīng)變?yōu)?/p>

兩式相等得

式中：σr為圍壓；σ0為天然應(yīng)力；σz為錨索在承壓板處的應(yīng)力；υme為砂漿的泊松比；Eme為砂漿的彈模；υ為圍巖的泊松比；E為圍巖的彈模.

傳統(tǒng)理論認(rèn)為的在不考慮剪滯效應(yīng)情況下砂漿無圍壓，黏結(jié)力僅有砂漿與巖面的絞合力提供，其值一般取圍巖單軸抗壓強(qiáng)度的10%.事實(shí)上當(dāng)張拉完成后，砂漿既處于有圍壓狀態(tài)，其抗剪強(qiáng)度和黏結(jié)力都有所提高.

當(dāng)有注漿壓力時(shí)，其附加應(yīng)力可用彈性厚壁筒理論來計(jì)算，計(jì)算模型如圖7所示.

圖7 有注漿壓力計(jì)算圖

σr即為圍壓，它使得砂漿處于空間應(yīng)力狀態(tài)，對改善應(yīng)力重分布，提高砂漿的抗剪強(qiáng)度是很有益處的.其力學(xué)模型如圖8所示［6－7］.

圖8 砂漿體受力模式圖

當(dāng)注漿壓力為σ′時(shí)，由于巖石的彈模比砂漿的大很多，可以假設(shè)巖石不變形，既εr＝0，于是可得到

當(dāng)張拉時(shí)砂漿應(yīng)變?yōu)?/p>

而巖石由于開挖所產(chǎn)生的徑向應(yīng)變?yōu)?/p>

兩式相等得

3 結(jié) 論

1）拉力型錨索的的應(yīng)力分布規(guī)律是在端口處剪應(yīng)力為0，然后順?biāo)僭龃螅⒃诳拷丝诩s0.5m的時(shí)候達(dá)到最大值，然后有快速的減小到0.而軸力在端口處為最大值，然后衰減為0.這與以前學(xué)者們研究的結(jié)論是一致的.

2）鉆孔半徑越小剪應(yīng)力極值越大，分布范圍越小，曲線越陡，應(yīng)力集中現(xiàn)象越明顯.故在實(shí)際工程中在條件許可的條件下可適當(dāng)考慮增加鉆孔半徑來減小應(yīng)力集中現(xiàn)象.

3）彈性模量比對應(yīng)力分布的影響很大.比值越小即巖體越軟，應(yīng)力分布較均勻，分布范圍較廣，這與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中采用剪應(yīng)力平均分布相一致，故傳統(tǒng)理論在軟巖中設(shè)計(jì)的值是合理的.比值較大即巖體堅(jiān)硬時(shí)，曲線陡峭，分布范圍較小，集中現(xiàn)象明顯，這時(shí)就不可以采用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)理論.

4）一般材料的泊松比υ變化不大，彈塑性材料的υ一般值為0.1～0.4，分別取為0.1，0.25，0.4.算得k值分別為13.27，13.08，13.41，相差不大，由此可知其對應(yīng)力分布影響較小.

5）在軟巖中應(yīng)力分布范圍較廣，而在硬巖中分布范圍較小.整體而言分布范圍大約為0～5.5 m內(nèi)，這說明錨固段錨索體的其它部分對應(yīng)力無影響，即對錨索的極限抗拔力無貢獻(xiàn)，故設(shè)計(jì)時(shí)可以減小長度，節(jié)約材料和造價(jià).

6）注漿壓力可以提高砂漿的圍壓，使其處于空間應(yīng)力狀態(tài)，從而提高砂漿的抗剪強(qiáng)度，減少在張拉時(shí)發(fā)生錨索被拔出的情況；同時(shí)在張拉完成后可以增加砂漿和巖面的黏結(jié)力，從而提高抗拔力.

［1］尤春安，戰(zhàn)玉寶.預(yù)應(yīng)力錨索錨固段的應(yīng)力分布規(guī)律及分析［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24（6）：925－928.

［2］馮楊文.預(yù)應(yīng)力錨索有關(guān)問題的分析研究［J］.探礦工程：巖土鉆掘工程，2005，32（B09）：119－123.

［3］徐前衛(wèi)，尤春安，朱合華.預(yù)應(yīng)力錨索的三維數(shù)值模擬及其錨固機(jī)理分析［J］.地下空間與工程學(xué)報(bào)，2005，1（2）：214－218.

［4］云舟工作室.MATLAB 6數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)教程［M］.北京：人民郵電出版社，2001.

［5］李同林，殷綏域.彈塑性力學(xué)［M］.武漢：中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2006.

［6］Makris N，Zhang J.Rocking response of anchored blocks underpulse－type motions［J］.Journal of Engineering Mechanics，2001，127（5）：484－493.

［7］黃 豪，唐小兵，張開銀，向木生.豎向預(yù)應(yīng)力作用效果的數(shù)值模擬與預(yù)應(yīng)力損失的試驗(yàn)研究［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2007，31（5）：922－924.