基于協調機制的多學科設計優化框架研究＊

李冬琴 王麗錚 孔令海

（江蘇科技大學船舶與海洋工程學院1） 鎮江 212003）

（武漢理工大學交通學院2） 武漢 430063） （江蘇現代造船技術有限公司3） 鎮江 212003）

0 引 言

復雜工程系統的設計過程是一個多學科交叉的系統工程，其設計的高度非線性和強耦合性使優化設計面臨著諸多挑戰，如計算復雜性、組織復雜性、模型復雜性與信息交換復雜性［1－2］.多學科設計優化（multidisciplinary design optimization，MDO）是解決復雜工程系統設計優化的一種有效方法和工具.在保持學科層或子系統層各自獨立優化設計的同時，它能提供一種協同機制協調學科之間的沖突，獲取系統的整體最優解，并且利用分布式計算機網絡環境進行并行優化設計，從而大大縮短設計周期和降低成本［3－4］.本文通過引入分解和協調策略，構建了基于協調機制的多學科協同優化方法的統一框架.同時在該框架中，引入了基于函數關系矩陣（functional dependency table，FDT）的多學科分解策略和基于參數化近似模型的協調策略.最后進行了減速器的優化設計；根據實例的計算結果，對上述幾種多學科設計優化方法進行了定量的比較和研究.

1 基于協調機制的多學科協同優化方法統一框架的構建

本文提出了如圖1所示的MDO理論研究主線，即以分解策略、協調策略為基礎，通過MDO優化過程實現集成，進而求解復雜設計問題.

圖1 MDO求解問題的一般流程

由圖1可以確立MDO求解問題的一般流程，包括：（1）系統建模：建立系統模型，確定設計問題的邊界與約束以及設計變量、目標與約束函數等；系統建模需對各個學科分別建模，由各個學科模型構成系統模型；（2）分解與協調：對系統模型涉及的設計變量、耦合變量和約束條件進行合理分解，在協調基礎上形成MDO模型，系統模型經過分解后形成的MDO模型必須保持解空間的等價性；（3）集成與求解：運用MDO優化過程集成搜索策略求解具體問題，求解過程根據MDO優化過程特點可分布式并行開展；（4）后處理分析：對優化結果進行靈敏度分析、不確定性分析等.

1.1 基于FDT的多學科分解策略

MDO問題的分解策略主要分為兩類：（1）按照產品物理邊界進行的基于物理特性的分解，如按照產品系統結構進行的層次型分解、非層次型分解以及混合型分解［5］，按照產品設計組織進行的基于物理結構的分解、基于學科領域的分解和基于設計任務的分解以及序貫分解（sequencebased decomposition）；（2）按照產品系統模型數學邊界進行的基于數學特性的分解，如基于函數關系矩陣（functional dependency table，FDT）的分解、基于設計結構矩陣（design structure matrix，DSM）的分解和基于網絡可靠性的分解以及基于貢獻的分解（contribution－based decomposition）等.

本文主要采用了基于函數關系矩陣（FDT）的分解策略.根據數學模型中狀態方程包含的設計函數與設計變量間的依賴關系，以矩陣形式構建函數關系表.其分解可利用矩陣變換或圖論連通性原理實現［6］，即將耦合關系較強的變量及函數重新組合成子系統（學科）.FDT分解的思想［7］是根據FDT所表達的設計函數與設計變量間的關系，利用對應算法確定某些關鍵連接變量（包括系統設計變量和耦合狀態變量），對設計函數和設計變量分解后組合而成兩級系統結構（主問題和子問題）進行求解.

FDT是用于描述設計函數（包括目標函數與約束函數）與設計變量間依賴關系的工具，是以“0”和“l”為元素的真值表.其中，“列”表示設計變量，“行”表示設計函數.若第i個設計函數依賴第j個設計變量，則FDT（i，j）＝1，否則FDT（i，j）＝0.本文算例減速器優化問題的FDT描述如表1及表2所列.

1.2 基于參數化近似模型的協調策略

MDO優化過程通過反復協調各個子系統的優化指導整個系統設計過程，同時保持子問題間的內在耦合關系.本文在數學分析的基礎上，引入了基于參數化近似模型的協調策略，并對協同優化方法做出了合理的數學解釋.考慮如下一個帶參數的優化問題

式中：X為設計變量；P為參數化向量，在某次優化中是確定值.假設對上述問題進行n次優化，不同的參數Pi對應不同的f＊i，即：｛P1，P2，…，Pn｝→｛f＊1，f＊2，…，f＊n｝.這相當于一個從P到f的映射，因此可以將f＊看作是參數P的函數，即：f＊＝f＊（P）.

表1 減速器優化問題的FDT描述

表2 減速器優化問題的FDT分解

根據上述參數化優化問題的概念，可以將協同優化問題中的學科級優化問題看成是一個參數化優化問題，其中的參數 就是系統級分配下來的設計向量期望值.而又是系統級設計向量Xsys的最優解（系統級傳遞的設計向量期望值），學科級目標函數最優解可以看作是系統級優化問題的設計向量期望值的函數.同時，在協同優化中，系統級優化問題的一致性等式約束條件等于學科級優化問題的目標函數.因此，完全可以建立系統級分配下來的設計向量期望值與系統級優化問題的一致性等式約束條件的近似函數關系，即可以采用一種近似模型來取代系統級優化問題的一致性等式約束條件與設計向量期望值之間的某種函數關系，從而進一步簡化二層優化問題.這就是基于近似模型的協同優化方法的本質.根據近似方法的不同，又可以擴展為基于泰勒級數近似、靈敏度近似、響應面近似的協同優化方法.

2 算例及計算特性分析

2.1 算例描述

選取一個常見的工程實例——減速器的優化設計，它是NASA評估MDO方法性能的十個標準算例之一.該減速器的設計模型包括13個設計函數，7個設計變量，設計模型如下［8］.

上式系數中：

以上各式中，變量取值范圍為：2.6≤x1≤3.6；0.3≤x2≤1.0；17≤x3≤28；7.3≤x4；x5≤8.3；2.9≤x6≤3.9；5≤x7≤5.5.

在基于近似模型的CO方法中，通過基于函數關系矩陣的分解策略，將減速器優化問題的進行了FDT分解，如表1和表2所列.

根據表3所列的減速器優化FDT分解結果，原優化問題可以分解為如下3個問題：（1）主問題｛x1，x2，x3；g1，g2，g7，g8；f1｝；（2）子問題1｛x4，x6；g3，g5，g9；f2｝；（3）子問題1 ｛x5，x7；g4，g6，g10；f3｝.

由上可知，該MDO優化問題不存在學科耦合狀態變量，因此可以確定CO表述時的系統設計變量Z、學科設計變量Xi、學科約束Gi及學科目標Fi分別如下.

把學科目標作為約束，利用CO描述如下.

系統級.

學科1.

學科2.

學科3.

分別采用MDF，IDF，AAO和基于近似模型的CO方法進行計算，系統級與子系統的優化均采用序列二次規劃算法（sequential quadratic programming，SQP），初始點均取為（3.5，0.8，20，7.3，7.3，3.5，5.3）.其中，采用基于近似模型的CO方法時，先采用正交拉丁方試驗設計方法對系統級設計變量的設計空間進行采樣，取9水平81個初始試驗點；然后在樣本點上進行子系統的優化；隨后通過Kriging模型，建立系統級設計變量與學科級最優目標函數之間的近似模型；最后，展開系統級的優化.其優化結果和優化歷程分別列于表3和圖1.

由表3及圖2可知，基于近似模型的CO方法的綜合性能結果最優，表明它最適合減速器的優化設計.這比較符合當前多學科優化設計方法的發展潮流與方向.

表3 各MDO方法計算結果對比

圖2 各MDO方法迭代過程比較

2.2 算例結果分析

通過上面對于減速器優化設計問題的計算結果比較可以發現：（1）對于初始點位置敏感性來說，這四種多學科設計優化框架均受初始點的位置影響.其中CO受初始值的選取影響最大，而MDF和IDF這兩種多學科設計優化框架受初始點影響相對較小；（2）對于多學科設計優化框架復雜度來說，IDF設計框架構建最為簡單，CO次之，MDF最為復雜；（3）對于完成優化運算時間來說，采用AAO多學科優化框架的運算時間最短，IDF次之，而CO相對時間最長；（4）對于優化計算結果來說，IDF優化框架的計算結果相對于MDF和AAO優化框架更接近最優值，而CO優化設計框架的計算結果最優.

值得一提的是，通過本文的比較，不能片面地認為基于近似模型的CO方法最好，因為隨著工程優化問題的不同，所適合的多學科設計優化方法也將不同，沒有絕對意義上最好的多學科設計優化方法.因此，作者建議從以下幾個方面來選擇多學科設計優化方法：（1）如果優化問題的優化變量較少，學科分析計算量不大，則推薦使用MDF方法；（2）如果系統變量遠遠多于學科間耦合變量，且為松散耦合情況的設計問題，則推薦采用IDF或AAO方法；（3）如果優化設計問題非線性較強，且學科之間為強耦合的情況，則推薦采用結合近似模型的CO方法.

3 結束語

本文首先討論了多學科設計優化的3種典型方法：多學科可行方向法（MDF），單學科可行方法（IDF），同時分析和設計方法（AAO）；其次，通過引入基于函數關系矩陣（functional dependency table，FDT）的多學科分解策略和基于參數化近似模型的協調策略，構建了基于協調機制的多學科協同優化方法的統一框架.最后，通過對減速器的優化設計，展開了四種多學科設計優化方法的量化比較.值得一提的是，不同的多學科設計優化方法適合不同的優化問題，工程師應根據自己工程技術經驗和對工程優化問題的理解，去選擇合適的多學科設計優化方法.

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