水泥砂漿的一個(gè)熱粘彈性率型損傷本構(gòu)模型*

陶俊林，李 奎

(西南科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽621010)

混凝土類材料是一種重要的結(jié)構(gòu)工程材料，已被廣泛應(yīng)用于高層建筑、工業(yè)廠房、橋梁、大壩等工程。然而，在現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)中，混凝土類材料除了會(huì)經(jīng)受一般的靜態(tài)載荷和動(dòng)態(tài)載荷外，還可能在火災(zāi)環(huán)境中遭受爆炸或沖擊荷載的作用，如火災(zāi)中煤氣罐的爆炸、化學(xué)物質(zhì)燃燒引起的爆炸、火工品的燃燒爆炸及上層建筑垮塌對(duì)下面建筑的沖擊等。為了更好地研究和分析在這些特殊條件下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)情況，需要研究混凝土類材料在高溫和沖擊荷載同時(shí)作用下的力學(xué)特性。

對(duì)混凝土類材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能已經(jīng)有了比較深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)其動(dòng)態(tài)本構(gòu)特性也做了相關(guān)研究。P.H.Bischoff［1］和D.L.Grote 等［2］利用SHPB 對(duì)混凝土的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究;胡時(shí)勝和王道榮等［3-5］利用損傷凍結(jié)實(shí)驗(yàn)對(duì)混凝土的損傷演化規(guī)律進(jìn)行了研究，并基于ZWT 本構(gòu)模型提出了混凝土的動(dòng)態(tài)本構(gòu)方程。商霖等［6-7］利用輕氣炮動(dòng)力實(shí)驗(yàn)裝置分別對(duì)混凝土和鋼筋混凝土在沖擊荷載作用下的力學(xué)性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，并在理想各向同性的粘彈性本構(gòu)關(guān)系基礎(chǔ)上引入損傷，分別建立了混凝土材料和鋼筋混凝土材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。陳江瑛等［8-9］基于金屬的熱激活理論對(duì)水泥砂漿的動(dòng)態(tài)損傷演化規(guī)律進(jìn)行了研究，并利用ZWT 本構(gòu)模型提出水泥砂漿高應(yīng)變率下的本構(gòu)方程。然而，這些研究都未涉及溫度對(duì)混凝土類材料力學(xué)特性的影響，高應(yīng)變率下與溫度相關(guān)的混凝土本構(gòu)關(guān)系也鮮見報(bào)道。水泥砂漿作為無粗骨料的混凝土，制作和加工相對(duì)容易且均勻性較好，本文中以它為研究對(duì)象。

1 高溫沖擊壓縮實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)裝置為?50SHPB，所用水泥砂漿采用42.5R 普通硅酸鹽水泥，砂為中砂，拌合水為自來水。砂漿的配合比為:w(水泥)∶ w(砂子)∶ w(水)=1∶ 2∶ 0.5。試件尺寸為?49.8 mm×35 mm。實(shí)驗(yàn)時(shí)，在入射桿的前端加入波形整形器，以改善波形彌散。為了快速均勻地加熱試件，研制了高溫加熱設(shè)備微波加熱爐［10］。

實(shí)驗(yàn)溫度為20、220、370、480、600 ℃，同一溫度下分別進(jìn)行3 種沖擊速度的實(shí)驗(yàn)。圖1 為高溫沖擊壓縮實(shí)驗(yàn)時(shí)典型的波形曲線。實(shí)驗(yàn)時(shí)，預(yù)先將系統(tǒng)氣壓充到預(yù)定氣壓，接著將試件加熱到預(yù)定溫度后，迅速安放到SHPB 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)上，快速進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖2 為不同沖擊速度下不同溫度水泥砂漿試件典型的應(yīng)力應(yīng)變曲線。圖中的星號(hào)表示試件在這種情況下的峰值應(yīng)力(或破壞應(yīng)力)點(diǎn)。詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)技術(shù)、過程及分析可以參看文獻(xiàn)［11］。

圖1 水泥砂漿試件典型的波形Fig.1 Typical wave curves of cement mortar

圖2 不同沖擊速度和溫度下水泥砂漿試件典型的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Typical stress-strain curves of cement mortar at different impact velocities and different temperatures

2 熱粘彈性率型損傷本構(gòu)模型理論分析

由文獻(xiàn)［12］可知，粘性和損傷滯后是產(chǎn)生混凝土材料非線性特性和率敏感性的2 個(gè)重要因素，因此，將混凝土類材料看作加入損傷的粘彈性材料，其本構(gòu)方程的一般形式如下［13］

式中:σd為表觀應(yīng)力，即含損傷的材料應(yīng)力;σi為無損傷材料的應(yīng)力。

2.1 損傷演化規(guī)律

混凝土類材料的破壞以微裂紋、微空洞等損傷的產(chǎn)生和演化為前導(dǎo)，它們?cè)诳陀^上起到某種弱化作用。為了較好地反映材料的弱化效應(yīng)，采用概率密度服從Weibull 分布的函數(shù)來表征水泥砂漿的損傷演化規(guī)律［14-15］

式中:α、n、γ 分別為尺度參數(shù)、形狀參數(shù)和損傷閾值。γ 一般在0.2 ～0.4 倍峰值應(yīng)變范圍內(nèi)［16］，同時(shí)考慮到在準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)，通常認(rèn)為混凝土材料在0 ～0.3 倍峰值應(yīng)力范圍內(nèi)裂紋的擴(kuò)展可以忽略。因此，本文中取γ=0.3εp，εp為水泥砂漿在相應(yīng)條件下的峰值應(yīng)變，則有

2.2 粘彈性率型損傷本構(gòu)模型

由文獻(xiàn)［17-18］知，在準(zhǔn)靜態(tài)荷載到?jīng)_擊荷載范圍內(nèi)，即在應(yīng)變率為10－4～103s－1范圍內(nèi)，常溫下高聚物材料的非線性粘彈性本構(gòu)行為可以采用ZWT 本構(gòu)模型較好地描述。陳江瑛等［9］在分析水泥砂漿時(shí)，發(fā)現(xiàn)ZWT 本構(gòu)模型同樣可以應(yīng)用于混凝土本構(gòu)特性的描述，其表達(dá)式為

式中:fe(ε)描述非線性彈性平衡響應(yīng)，E0、α、β(或σm、m、k)是對(duì)應(yīng)的彈性常數(shù);第1 個(gè)積分項(xiàng)描述低應(yīng)變率下的粘彈性響應(yīng);第2 個(gè)積分項(xiàng)描述高應(yīng)變率下的粘彈性響應(yīng)，E1、E2和θ1、θ2分別是所對(duì)應(yīng)的Maxwell 單元的彈性常數(shù)和松弛時(shí)間。

式(5b)中，為了防止由于fe(ε)函數(shù)的選取形式帶來的彈性應(yīng)變強(qiáng)化和軟化現(xiàn)象，本文中的fe(ε)選取冪指數(shù)形式。對(duì)于水泥砂漿材料，由式(2)、(4)和(5)得計(jì)及損傷的粘彈性本構(gòu)方程為

上式中包含9 個(gè)材料參數(shù)，各有明確的物理意義。

2.3 熱粘彈性率型損傷本構(gòu)模型

以上討論是基于室溫條件進(jìn)行的。圖2 表明不同溫度下水泥砂漿材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線具有相似的特性，因此，2.2 節(jié)的討論可推廣到不同溫度情況。為方便進(jìn)一步考察溫度效應(yīng)，將相同沖擊速度不同溫度下的應(yīng)力應(yīng)變曲線改繪成給定應(yīng)變下的σ-T 曲線，如圖3 所示。圖中給定應(yīng)變是以等差值(0.005)變化的，但曲線間的距離所反映的應(yīng)力差卻不是以等差值變化的。這也表明溫度對(duì)水泥砂漿材料的損傷是非線性的。因此，可以考慮式(6)中的9 個(gè)材料參數(shù)均是溫度T 的函數(shù)，即有

式中的材料參數(shù)可根據(jù)不同溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。

3 本構(gòu)模型參數(shù)擬合

由上述可知，同一溫度下模型參數(shù)的求解需要準(zhǔn)靜態(tài)、準(zhǔn)動(dòng)態(tài)及動(dòng)態(tài)條件下3 組不同應(yīng)變率的實(shí)驗(yàn)曲線。因此，進(jìn)行動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，在材料萬能試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行了相同溫度下的準(zhǔn)靜態(tài)和準(zhǔn)動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)曲線如圖4 中的實(shí)線所示(均只給出峰值應(yīng)力以前數(shù)據(jù)，峰值應(yīng)力以后，試件開始破壞)。

實(shí)際參數(shù)擬合時(shí)，選取準(zhǔn)靜態(tài)、準(zhǔn)動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)曲線和7 m/s 條件下沖擊壓縮實(shí)驗(yàn)曲線作為動(dòng)態(tài)曲線進(jìn)行擬合。準(zhǔn)靜態(tài)與準(zhǔn)動(dòng)態(tài)曲線擬合時(shí)不考慮損傷的影響，參數(shù)k 由準(zhǔn)靜態(tài)壓縮曲線確定，發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一取k=4 即可滿足要求，σm、m 和E1、θ1由準(zhǔn)靜態(tài)和準(zhǔn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分別求得，擬合情況如圖4 所示。E2和θ2在擬合時(shí)，由于隨著溫度的升高，實(shí)際曲線初始段為下凹型，直接擬合時(shí)，不能得到有效的結(jié)果。因此以常溫時(shí)的參數(shù)作為參考，采用經(jīng)驗(yàn)取值，使得理論曲線的前一部分盡量和0.3εp前的實(shí)驗(yàn)曲線吻合。α和n 由計(jì)入損傷后材料的響應(yīng)求得。實(shí)際擬合時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以將n 取為固定值0.7。通過對(duì)不同溫度下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，得到相應(yīng)溫度下水泥砂漿材料的最優(yōu)模型參數(shù)如表1 所示。

圖4 不同溫度下水泥砂漿準(zhǔn)靜態(tài)和準(zhǔn)動(dòng)態(tài)的擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線Fig.4 Fitted and experimental stress-strain curves at different temperatures under quasi-static and quasi-dynamic loads

表1 不同溫度下的水泥砂漿試件的模型參數(shù)Table 1 Model parameters of cement mortar at different temperatures

根據(jù)表1 數(shù)據(jù)，可以得到該水泥砂漿材料各參數(shù)隨溫度的變化滿足以下公式

式(8)和式(7)一起構(gòu)成了該水泥砂漿材料的熱粘彈性率型損傷本構(gòu)模型。本構(gòu)方程擬合所得理論曲線和實(shí)測(cè)應(yīng)力應(yīng)變曲線的比較如圖5 所示。由圖5 可知，在各種沖擊速度下，除初始上升段有一定的差異，其余部分吻合良好(應(yīng)力應(yīng)變曲線的初始段對(duì)水泥砂漿材料的實(shí)際應(yīng)用影響較小)，因此所得模型是可行的。

圖5 水泥砂漿不同溫度條件下理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的對(duì)比Fig.5 Comparison of stress-strain curves of cement mortar between theory and experiment at different temperatures

4 結(jié) 論

基于ZWT 粘彈性本構(gòu)模型，考慮高溫下水泥砂漿損傷演化規(guī)律都服從Weibull 分布，提出的一個(gè)水泥砂漿的熱粘彈性率型損傷本構(gòu)模型可以較好地描述水泥砂漿在高溫和沖擊荷載同時(shí)作用下的動(dòng)態(tài)特性。在下一步的工作中，將考慮圍壓等因素對(duì)水泥砂漿材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為的影響。

［1］ Bischoff P H.Compressive behavior of concrete at high strain rates［J］.Material and Structure，1991，114(24):425-450.

［2］ Grote D L，Park S W，Zhou M.Dynamic behavior of concrete at high strain rates and pressures:I.experimental characterization［J］.International Journal of Impact Engineering，2001，25(9):869-886.

［3］ 胡時(shí)勝，王道榮，劉劍飛.混凝土材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)研究［J］.工程力學(xué)，2001，18(5):115-118.HU Shi-sheng，WANG Dao-rong，LIU Jian-fei.Experimental study of dynamic mechanical behavior of concrete［J］.Engineering Mechanics，2001，18(5):115-118.

［4］ 王道榮，胡時(shí)勝.沖擊荷載下混凝土材料損傷演化規(guī)律的研究［J］.巖土力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2003，22(2):223-226.WANG Dao-rong，HU Shi-sheng.Study on damage evolution of concrete under impact load［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2003，22(2):223-226.

［5］ 胡時(shí)勝，王道榮.沖擊荷載下混凝土材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系［J］.爆炸與沖擊，2002，22(3):242-246.HU Shi-sheng，WANG Dao-rong.Dynamic constitutive relation of concrete under impact［J］.Explosion and Shock Waves，2002，22(3):242-246.

［6］ 商霖，寧建國(guó).強(qiáng)沖擊荷載下混凝土動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系［J］.工程力學(xué)，2005，22(2):116-119.SHANG Lin，NING Jian-guo.Dynamic constitutive relationship of concrete subjected to shock loading［J］.Engineering Mechanics，2005，22(2):116-119.

［7］ 商霖，寧建國(guó)，孫遠(yuǎn)翔.強(qiáng)沖擊荷載下鋼筋混凝土動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26(2):175-181.SHANG Lin，NING Jian-guo，SUN Yuan-xiang.The constitutive relationship of reinforced concrete subjected to shock loading［J］.Acta Mechanics Solida Sinica，2005，26(2):175-181.

［8］ 陳江瑛，黃旭升，王禮立.水泥砂漿的損傷演化［J］.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998(5):41-44.CHEN Jiang-ying，HUANG Xu-sheng，WANG Li-li.Study on rate depent damage evolution of cement mortar［J］.Journal of China University of Mining＆Technology，1998(5):41-44.

［9］ 陳江瑛，王禮立.水泥砂漿的率型本構(gòu)方程［J］.寧波大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版)，2000，13(2):1-5.CHEN Jiang-ying，WANG Li-li.Rate-dependent constitutive equation of cement mortar［J］.Journal of Ningbo University(Natural Science＆Engineering Edition)，2000，13(2):1-5.

［10］ 秦李波.混凝土高溫實(shí)驗(yàn)技術(shù)及高溫力學(xué)性能研究［D］.綿陽:西南科技大學(xué)，2009.

［11］ 陶俊林，秦李波，李奎，等.混凝土高溫動(dòng)態(tài)壓縮力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)研究［J］.爆炸沖擊，2011，31(1):101-107.TAO Jun-lin，QIN Li-bo，LI Kui，et al.Experimental investigation on dynamic compression mechanical performance of concrete at high temperature［J］.Explosion and Shock Waves，2011，31(1):101-107.

［12］ 尚仁杰.混凝土動(dòng)態(tài)本構(gòu)行為研究［D］.大連:大連理工大學(xué)，1994.

［13］ 李霞.損傷力學(xué)及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2002.

［14］ 孫飛飛，沈祖炎.混凝土單軸受拉的非局部本構(gòu)模型［J］.力學(xué)季刊，2006，3(1):1-6.SUN Fei-fei，SHEN Zhu-yan.Anon-local consititutive for concrete under uniaxial tension［J］.Chinese Quarterly Mechanics，2006，3(1):1-6.

［15］ 陶俊林，秦李波.一種新的混凝土單軸壓縮損傷本構(gòu)模型［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，46(4):1084-1088.TAO Jun-lin，QIN Li-bo.A new damage constitutive model for concrete on uniaxial compression［J］.Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)，2009，46(4):1084-1088.

［16］ 寧建國(guó)，商霖，孫遠(yuǎn)翔.混凝土材料沖擊特性的研究［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(2):199-208.NING Jian-guo，SHANG Lin，SUN Yuan-xiang.Investigation on impact behavior of concerete［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(2):199-208.

［17］ 唐志平.高應(yīng)變率下環(huán)氧樹脂的力學(xué)性能研究［D］.合肥:中國(guó)科技大學(xué)，1981.

［18］ 王禮立，董新龍，孫紫建.高應(yīng)變率下計(jì)及損傷演化的材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)行為［J］.爆炸與沖擊，2006，26(3):193-198.WANG Li-li，DONG Xin-long，SUN Zi-jian.Dynamic constitutive behavior of materials at high strain rate taking account of damage evolution［J］.Explosion and Shock Waves，2006，26(3):193-198.