優化GM(1，1)模型在地下水埋深預測中的應用

魏光輝

(新疆塔里木河流域管理局，新疆 庫爾勒841000)

合理開發和利用好地下水，是一個政策問題，也是一個可持續發展問題。需水量預測方法主要分為:時間序列法、結構分析法和系統分析法。幾種最為典型的方法包括:ARMA方法，回歸分析法，指標分析法，灰色預測法，人工神經網絡方法，系統動力學方法。各種需水量預測方法都有其自身的優點和不足，而需水量預測就是結合預測的目的、特點，結合用水量變化規律，合理地選擇一種或幾種預測方法，并收集所需的數據進行預測。

作為灰色系統理論重要內容之一的 GM(1，1)模型［1－2］，其應用價值在越來越多的領域中得到體現［3－4］。GM(1，1)模型的突出特點是:建模過程簡單，模型表達式簡潔，便于求解，應用廣泛。在發展系數a的絕對值較小時(當時間間隔很小、序列數據變化平緩時，如0(－a≤0.3)，模擬值精度較高。但當發展系數a的絕對值較大(如－a＞0.5)時，模型偏差較大，無法用于中長期預測，甚至不宜作短期預測。一些學者對此進行了改進，得到了比原GM(1，1)模型模擬精度高和適應性更強的新模型［5－8］。在此基礎上，羅黨等人［9］經過分析GM(1，1)模型產生模擬誤差的原因，從構造背景值公式入手，優化GM(1，1)模型，既保持了原GM(1，1)模型的優點，又使優化GM(1，1)模型適用于各種發展系數的情形，尤其是當發展系數絕對值較大時也可用于中長期預測。本文利用優化的GM(1，1)模型，對某水庫周邊地區地下水埋深變化進行了預測，通過數據的分析處理、函數擬合預測，對于未來水庫周邊地區地下水資源的可持續利用提供參考。

1 優化GM(1，1)模型建模過程

設x(0)為非負準光滑序列，x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

對其進行一次累加生成，得到生成序列:

其中當 x(1)(k)=x(1)(k－1)時，z(1)(k)=z(1)(k－1)

則:

(1)灰色微分方程x(0)(k)+αzx(1)(k)=b的最小二乘估計參數滿足:

(2)灰色微分方程x(0)(k)+αz(1)(k)=b的白化方程

(3)灰色微分方程x(0)(k)+αzx(1)(k)=b的時間響應式為:

(4)還原值為:

(5)灰色預測檢驗

①殘差檢驗

殘差檢驗就是計算相對誤差，以殘差的大小來判斷模型的好壞。

殘差:Δ(k)=x(0)(k)－0)(k)

GM(1，1)的建模精度:p=1－ε

則ε(k)越小越好，p越大越好，一般要求ε(k)＜20%，p＞80%;最好是 ε(k)＜10%，p＞90%。x(0)為原始數列，^X(0)是由式(5)、(6)得到的預測數據列。

②后驗差檢驗

式中:S1為原始數列 x(0)的均方差;S2為殘差序列{Δ(k)}的均方差;C越小，模型越好。

表1 檢驗指標等級標準

2 應用實例

2.1 模型計算

本文以新疆某平原水庫周邊地區地下水水位觀測資料為依據，選擇該水庫2003年至2009年共計7年的地下水水位觀測數據，見表2。

表2 某平原水庫周邊地區歷年平均地下水位

依據灰色模型原理建立GM(1，1)模型，并求得模型參數:a= －0.098 502，b=2.947 962，最終得模型計算式為:

2.2 模型檢驗

(1)殘差檢驗。經檢驗，相對誤差值為－4% ～5%(見表3)。

其殘差平均值ε=2.3% ＜10%，平均精度 p=97.7% ＞95%，模型擬合精度較高，模型判為優。

(2)后驗差檢驗。經計算，后驗差比值 C=0.1323＜0.35，小誤差概率P=1，模型級別為好。

表3 模型擬合效果分析

2.3 用水量預測

經過檢驗的模型符合精度要求后，可用于外推預測。2010～2014年該水庫周邊地下水水位預測結果見表4。

表4 2010～2014年地下水水位預測

3 結論

(1)優化GM(1，1)模型建模過程簡單，需要的數據也比較少，擬合精度較高，對于地下水埋深預測，具有很強的適用性。

(2)通過建立數學模型來反映地下水的動態變化規律，對于今后該地區的持續、合理的開采和利用地下水資源起到積極作用，對于農業及水資源的可持續發展具有重大意義。

［1］鄧聚龍.灰色系統理論教程［M］.武漢:華中理工大學出版社，1990.

［2］劉思峰，郭天榜，黨慧國，等.灰色系統理論及其應用［M］.北京:科學出版社，1999.

［3］劉思峰，孫書安.應用數學［M］.鄭州:河南科技出版社，1993.

［4］劉思峰，鄧聚龍.GM(1，1)模型的適用范圍［J］.系統工程理論與實踐，2000，(5):121 －124.

［5］王義鬧，劉光珍，劉開第.GM(1，1)的一種逐步優化直接建模法［J］.系統工程理論與實踐，2000，(9):99 －104.

［6］潭冠軍.GM(1，1)模型的背景值構造方法和應用［J］.系統工程理論與實踐，2000，(4):98 －103.

［7］呂林正，吳文江.灰色模型 GM(1，1)優化探討［J］.系統工程理論與實踐，2001，(8):92 －96.

［8］吉培榮，黃巍松，胡翔勇.灰色預測模型特性的研究［J］.系統工程理論與實踐，2001，(9):105 －108.

［9］羅黨，劉思峰，黨耀國.灰色模型 GM(1，1)優化［J］.中國工程科學，2003，(8):50 －53.