基于脊波變換的Sar復(fù)數(shù)圖像壓縮方法

胡方方

HU Fang-fang

（陜西三原空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，三原 713800）

1 脊波概述

脊波（Ridgelet）是應(yīng)用現(xiàn)代調(diào)和分析的概念和方法在小波分析理論上發(fā)展起來的新的分析工具。與小波分析和Fourier分析相比，脊波能對(duì)多維函數(shù)有更好的逼近速率。脊波綜合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、調(diào)和分析等多個(gè)學(xué)科，克服了多維函數(shù)逼近的“維數(shù)災(zāi)”問題。

脊波分析等價(jià)于函數(shù)在Radon域上的小波分析。脊波對(duì)線性（超平面狀）的奇異性的有效性可以理解為多維函數(shù)的線性（超平面狀）奇異性經(jīng)過Radon變換之后，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)狀奇異性，這正好是小波分析的優(yōu)勢(shì)所在。

1.1 基于脊波變換的圖像壓縮算法

數(shù)字圖像數(shù)據(jù)量巨大，為了高效率地存儲(chǔ)和傳輸圖像,必須對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮。圖像壓縮中本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題是函數(shù)的稀疏逼近。Fourier變換與小波變換都是經(jīng)典的函數(shù)逼近工具，ITU，ISO制定的靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG采用了DCT（Discrete Cosine Transform）而JPEG2000采用了小波變換。然而，F(xiàn)ourier基和小波基對(duì)高維函數(shù)的逼近都不是最優(yōu)的。Fourier基是“全域”基,點(diǎn)奇異會(huì)影響到所有的變換系數(shù)，因而不能很好地刻畫點(diǎn)奇異；小波基具有時(shí)域局部化的特性，能有效表示點(diǎn)奇異，但由于缺乏方向性而不能很好地刻畫沿直線或曲線的奇異性。有以下幾個(gè)結(jié)論：

1）設(shè)?t（x）為光滑、緊支的窗函數(shù)，α＜1/2，對(duì)fα=|x|-α·?t（x），x∈R2的N項(xiàng)小波非線性逼近fW滿足：

||g-gw||=0（N-1），N→∞。

3）對(duì)定義在[0,2π]2上有直線奇異的函數(shù)f的非線性Fourier逼近fF滿足||f-fF||= O（N-1/2），N→∞。

Fourier基于小波基的不足使人們開始尋求更好的非線性逼近工具。脊波理論就在這樣的背景下應(yīng)運(yùn)而生。1998年，E.J.Candès為了解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造問題和用脊函數(shù)的線性組合逼近多元函數(shù)的問題提出了脊波分析（ridgelet analysis）的概念，其基本思想是用Radon變換把空域的直線奇異映射為Radon域上點(diǎn)奇異，然后在Radon域上進(jìn)行小波分析。但Candès最初提出的脊波具有脊函數(shù)的形式，從而不屬于L2（R2），這給相關(guān)的理論分析和脊波變換的數(shù)字實(shí)現(xiàn)帶來了困難。1999年，Donoho構(gòu)造了L2（R2）中的正交脊波{ρλ}λ∈Λ及相應(yīng)的脊波變換，作為沿直線奇異的分片光滑函數(shù)的多尺度表示方法。關(guān)于{ρλ}λ∈Λ，有以下主要結(jié)論：

自然圖像包括大量的具有明顯“直線邊緣”的圖像，而且邊緣表示了圖像的主要信息，這同視覺過程中神經(jīng)活動(dòng)機(jī)制有關(guān)，也與信息論有關(guān)。利用脊波對(duì)“直線奇異”的良好刻畫，針對(duì)具有直線特征的圖像，設(shè)計(jì)基于脊波變換的有損壓縮算法。首先對(duì)圖像進(jìn)行脊波變換，然后對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行標(biāo)量量化、掃描、熵編碼。仿真實(shí)驗(yàn)表明，與基于小波變換的JPEG 2000壓縮算法相比,本文的算法能獲得更高的壓縮率，同時(shí)保持較高的信噪比。

1.2 連續(xù)脊波變換

定義1：設(shè)（ψj,k（t）：j∈Z,k∈Z）是L2（R2）中由Meyer小波構(gòu)成的規(guī)范正交基；

（?px,t（θ）,l=0,..,2to-1；?1t0,t（θ）,i≥i0,l=0,...,2i-1）是L2

（0,2π）中一組規(guī)范正交基，其中?1t0,t是周期化的Lemarie尺度函數(shù)，?1t,t是周期化的Meyer小波。令ψj,k（ξ）表示ψj,k（t）的傅里葉變換。于是，正交脊波ρλ,可在頻域中定義：

λ=（j,k,i,l,ε）

ρλ（ξ）=|ξ|?1/2（ψj,k（|ξ|）?ei,l（θ）+ψj,k（-|ξ|）?ε

i,l（θ+π））/2

其中j,k∈Z,l=0,…,2i-1-1；i≥i0,i≥j。

定理1：{ρλ}λ∈Λ構(gòu)成L2（R2）上的完備正交基。

對(duì)f（x）∈L2（R2）,連續(xù)脊波變換定義為：

CRTf（λ）=＜f,ρλ＞

重構(gòu)公式為：f（x）=Σλ＜f,ρλ＞ρλ。

2 基于脊波變換的Sar圖像壓縮方法

2.1 離散Ridgelet變換的正交性

離散脊波變換就是先對(duì)圖像進(jìn)行離散Radon變換，然后在Radon域進(jìn)行離散小波變換。我們知道離散Radon變換是冗余的,非正交的，因此即使選擇正交小波變換，相應(yīng)的脊波變換仍然是非正交的。

設(shè)Zp={0,1,2,…,p-1},p為素?cái)?shù)。設(shè)圖像的大小為M×N，必須將其轉(zhuǎn)化為p×p,p為大于M,N的最小素?cái)?shù)。則定義在上函數(shù)f（·）的離散Radon變換FRAT f（k,l）為

其中，非垂直方向的直線為

Lk,l=｛（i,j）lj=kj+l（modp）,i∈Zp｝k,l∈Zp

和垂直方向的直線為

Lp,l=｛（i,j）|j∈Zp｝,l∈Zp

包括了Zp2上的所有可能的直線,k,l分別為直線的斜率和截距。可以看出Zp2的任意兩點(diǎn)只可能在同一條直線上，同時(shí)任意兩條非平行線僅交于一點(diǎn),同一斜率的p條直線覆蓋了Zp2的所有節(jié)點(diǎn)。變換之后得到了矩陣r（p+1）×p。這里要求p為素?cái)?shù)保證方向的唯一性。為方便討論期間，我們假設(shè)f的均值為零（其他值也無妨,只是為了證明相關(guān)性）。同樣我們可以知道當(dāng)p比較大的時(shí)候，minklk't＜（δLL·δLL'L'）=cos-1（1/p），也就說離散Radon變換當(dāng)p比較大的時(shí)候幾乎是正交的。

下面我們給出脊波變換的形式：

因此離散脊波變換的基函數(shù)為

可以證明若｛wkm（·），m∈Zp｝正交,則{ρk,m}也是正交的。

2.2 基于離散Ridgelet變換的SAR圖像壓縮算法

1）根據(jù)SAR圖像的大小M,N選擇合適的素?cái)?shù)p，一般我們選擇大于M,N的最小素?cái)?shù)（一般p比較大，可以基本滿足后續(xù)變換的正交性要求）；

2）對(duì)p個(gè)方向分別進(jìn)行Radon變換，得到Radon域系數(shù)r（p+1）×p；

3）對(duì)r（p+1）×p進(jìn)行小波變換得到小波域系數(shù)，為了確保算法的效率，確保變換的正交性，進(jìn)一步降低數(shù)據(jù)的冗余性，我們選擇了正交db小波，邊界延拓使用了零延拓；

4）在小波域根據(jù)壓縮比CR的大小確定保留系數(shù)的個(gè)數(shù)D，再根據(jù)系數(shù)絕對(duì)值的案由達(dá)到小排序后，序數(shù)大于D的一律置為0；

5）逆小波變換；

6）逆Radon變換。

3 結(jié)果分析

我們分別采用圖1（a）、圖2（a）中大小為256×256的真實(shí)SAR圖像作為壓縮測(cè)試圖像，兩幅圖像都受到了斑點(diǎn)噪聲的污染，而且兩者線性奇異性都比較明顯。其中圖1（a）線性奇異性占絕對(duì)優(yōu)勢(shì),主要目標(biāo)為跑道和道路；圖2（a）既包含了線性奇異性，還包含了建筑物等類似于點(diǎn)狀奇異性的目標(biāo)。本文基于脊波的壓縮方案和傳統(tǒng)的基于小波的壓縮方法都選用了db4小波函數(shù)，小波分解一次,保留若干絕對(duì)值最大的小波系數(shù)。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果容易看出壓縮比比較小的時(shí)候，基于小波變換的方法占優(yōu)勢(shì)，原因是所有的線性奇異性都“淹沒”在點(diǎn)狀奇異性之中，而且在運(yùn)算復(fù)雜度、壓縮效果等方面稍遜于小波變換。當(dāng)壓縮比較大時(shí)，本文方法優(yōu)勢(shì)非常明顯，壓縮效果隨壓縮比的增大緩慢衰減，即使當(dāng)壓縮比達(dá)到128時(shí)，效果仍比較好，大部分的方向信息得以保留，但圖像由于Radon變換的原因出現(xiàn)了平行干涉條紋，這是難以避免的。

圖1 測(cè)試圖像1及本文方法與小波壓縮的效果

圖2 測(cè)試圖像2及本文方法與小波壓縮的效果

同時(shí)，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出本文方法適用于方向信息比較突出的圖像。對(duì)于較小壓縮比脊波變換的優(yōu)勢(shì)無法體現(xiàn)，而較高壓縮比時(shí)脊波變換的優(yōu)勢(shì)非常明顯。因此對(duì)于方向特征比較明顯的圖像（市區(qū)、高速公路，規(guī)則幾何圖像等）可使用脊波進(jìn)行壓縮,壓縮效果（PSNR和視覺效果）非常好，尤其在壓縮率比較高的場(chǎng)合更為適用。

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