基于脊波變換的Sar復數圖像壓縮方法

胡方方

HU Fang-fang

（陜西三原空軍工程大學 導彈學院，三原 713800）

1 脊波概述

脊波（Ridgelet）是應用現代調和分析的概念和方法在小波分析理論上發展起來的新的分析工具。與小波分析和Fourier分析相比，脊波能對多維函數有更好的逼近速率。脊波綜合了神經網絡、統計學、調和分析等多個學科，克服了多維函數逼近的“維數災”問題。

脊波分析等價于函數在Radon域上的小波分析。脊波對線性（超平面狀）的奇異性的有效性可以理解為多維函數的線性（超平面狀）奇異性經過Radon變換之后，轉化為點狀奇異性，這正好是小波分析的優勢所在。

1.1 基于脊波變換的圖像壓縮算法

數字圖像數據量巨大，為了高效率地存儲和傳輸圖像,必須對圖像數據進行壓縮。圖像壓縮中本質的數學問題是函數的稀疏逼近。Fourier變換與小波變換都是經典的函數逼近工具，ITU，ISO制定的靜態圖像壓縮標準JPEG采用了DCT（Discrete Cosine Transform）而JPEG2000采用了小波變換。然而，Fourier基和小波基對高維函數的逼近都不是最優的。Fourier基是“全域”基,點奇異會影響到所有的變換系數，因而不能很好地刻畫點奇異；小波基具有時域局部化的特性，能有效表示點奇異，但由于缺乏方向性而不能很好地刻畫沿直線或曲線的奇異性。有以下幾個結論：

1）設?t（x）為光滑、緊支的窗函數，α＜1/2，對fα=|x|-α·?t（x），x∈R2的N項小波非線性逼近fW滿足：

||g-gw||=0（N-1），N→∞。

3）對定義在[0,2π]2上有直線奇異的函數f的非線性Fourier逼近fF滿足||f-fF||= O（N-1/2），N→∞。

Fourier基于小波基的不足使人們開始尋求更好的非線性逼近工具。脊波理論就在這樣的背景下應運而生。1998年，E.J.Candès為了解決神經網絡構造問題和用脊函數的線性組合逼近多元函數的問題提出了脊波分析（ridgelet analysis）的概念，其基本思想是用Radon變換把空域的直線奇異映射為Radon域上點奇異，然后在Radon域上進行小波分析。但Candès最初提出的脊波具有脊函數的形式，從而不屬于L2（R2），這給相關的理論分析和脊波變換的數字實現帶來了困難。1999年，Donoho構造了L2（R2）中的正交脊波{ρλ}λ∈Λ及相應的脊波變換，作為沿直線奇異的分片光滑函數的多尺度表示方法。關于{ρλ}λ∈Λ，有以下主要結論：

自然圖像包括大量的具有明顯“直線邊緣”的圖像，而且邊緣表示了圖像的主要信息，這同視覺過程中神經活動機制有關，也與信息論有關。利用脊波對“直線奇異”的良好刻畫，針對具有直線特征的圖像，設計基于脊波變換的有損壓縮算法。首先對圖像進行脊波變換，然后對變換系數進行標量量化、掃描、熵編碼。仿真實驗表明，與基于小波變換的JPEG 2000壓縮算法相比,本文的算法能獲得更高的壓縮率，同時保持較高的信噪比。

1.2 連續脊波變換

定義1：設（ψj,k（t）：j∈Z,k∈Z）是L2（R2）中由Meyer小波構成的規范正交基；

（?px,t（θ）,l=0,..,2to-1；?1t0,t（θ）,i≥i0,l=0,...,2i-1）是L2

（0,2π）中一組規范正交基，其中?1t0,t是周期化的Lemarie尺度函數，?1t,t是周期化的Meyer小波。令ψj,k（ξ）表示ψj,k（t）的傅里葉變換。于是，正交脊波ρλ,可在頻域中定義：

λ=（j,k,i,l,ε）

ρλ（ξ）=|ξ|?1/2（ψj,k（|ξ|）?ei,l（θ）+ψj,k（-|ξ|）?ε

i,l（θ+π））/2

其中j,k∈Z,l=0,…,2i-1-1；i≥i0,i≥j。

定理1：{ρλ}λ∈Λ構成L2（R2）上的完備正交基。

對f（x）∈L2（R2）,連續脊波變換定義為：

CRTf（λ）=＜f,ρλ＞

重構公式為：f（x）=Σλ＜f,ρλ＞ρλ。

2 基于脊波變換的Sar圖像壓縮方法

2.1 離散Ridgelet變換的正交性

離散脊波變換就是先對圖像進行離散Radon變換，然后在Radon域進行離散小波變換。我們知道離散Radon變換是冗余的,非正交的，因此即使選擇正交小波變換，相應的脊波變換仍然是非正交的。

設Zp={0,1,2,…,p-1},p為素數。設圖像的大小為M×N，必須將其轉化為p×p,p為大于M,N的最小素數。則定義在上函數f（·）的離散Radon變換FRAT f（k,l）為

其中，非垂直方向的直線為

Lk,l=｛（i,j）lj=kj+l（modp）,i∈Zp｝k,l∈Zp

和垂直方向的直線為

Lp,l=｛（i,j）|j∈Zp｝,l∈Zp

包括了Zp2上的所有可能的直線,k,l分別為直線的斜率和截距。可以看出Zp2的任意兩點只可能在同一條直線上，同時任意兩條非平行線僅交于一點,同一斜率的p條直線覆蓋了Zp2的所有節點。變換之后得到了矩陣r（p+1）×p。這里要求p為素數保證方向的唯一性。為方便討論期間，我們假設f的均值為零（其他值也無妨,只是為了證明相關性）。同樣我們可以知道當p比較大的時候，minklk't＜（δLL·δLL'L'）=cos-1（1/p），也就說離散Radon變換當p比較大的時候幾乎是正交的。

下面我們給出脊波變換的形式：

因此離散脊波變換的基函數為

可以證明若｛wkm（·），m∈Zp｝正交,則{ρk,m}也是正交的。

2.2 基于離散Ridgelet變換的SAR圖像壓縮算法

1）根據SAR圖像的大小M,N選擇合適的素數p，一般我們選擇大于M,N的最小素數（一般p比較大，可以基本滿足后續變換的正交性要求）；

2）對p個方向分別進行Radon變換，得到Radon域系數r（p+1）×p；

3）對r（p+1）×p進行小波變換得到小波域系數，為了確保算法的效率，確保變換的正交性，進一步降低數據的冗余性，我們選擇了正交db小波，邊界延拓使用了零延拓；

4）在小波域根據壓縮比CR的大小確定保留系數的個數D，再根據系數絕對值的案由達到小排序后，序數大于D的一律置為0；

5）逆小波變換；

6）逆Radon變換。

3 結果分析

我們分別采用圖1（a）、圖2（a）中大小為256×256的真實SAR圖像作為壓縮測試圖像，兩幅圖像都受到了斑點噪聲的污染，而且兩者線性奇異性都比較明顯。其中圖1（a）線性奇異性占絕對優勢,主要目標為跑道和道路；圖2（a）既包含了線性奇異性，還包含了建筑物等類似于點狀奇異性的目標。本文基于脊波的壓縮方案和傳統的基于小波的壓縮方法都選用了db4小波函數，小波分解一次,保留若干絕對值最大的小波系數。由實驗結果容易看出壓縮比比較小的時候，基于小波變換的方法占優勢，原因是所有的線性奇異性都“淹沒”在點狀奇異性之中，而且在運算復雜度、壓縮效果等方面稍遜于小波變換。當壓縮比較大時，本文方法優勢非常明顯，壓縮效果隨壓縮比的增大緩慢衰減，即使當壓縮比達到128時，效果仍比較好，大部分的方向信息得以保留，但圖像由于Radon變換的原因出現了平行干涉條紋，這是難以避免的。

圖1 測試圖像1及本文方法與小波壓縮的效果

圖2 測試圖像2及本文方法與小波壓縮的效果

同時，由實驗結果可以看出本文方法適用于方向信息比較突出的圖像。對于較小壓縮比脊波變換的優勢無法體現，而較高壓縮比時脊波變換的優勢非常明顯。因此對于方向特征比較明顯的圖像（市區、高速公路，規則幾何圖像等）可使用脊波進行壓縮,壓縮效果（PSNR和視覺效果）非常好，尤其在壓縮率比較高的場合更為適用。

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