局部均值分解方法中乘積函數判據問題研究

張 亢，程軍圣，楊 宇

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

局部均值分解(Local mean decomposition，LMD)是一種新的自適應時頻分析方法［1］。該方法能自適應地將一個復雜的多分量信號分解為若干個瞬時頻率具有物理意義的乘積函數(Product function，PF)分量之和，其中每一個PF分量是一個包絡信號與一個純調頻信號的乘積，包絡信號就是該PF分量的瞬時幅值，PF分量的瞬時頻率則可由純調頻信號直接求出，進一步將所有PF分量的瞬時頻率和瞬時幅值組合，便可以得到原始信號完整的時頻分布。LMD方法避免了EMD方法中的過包絡、欠包絡、Hilbert變換帶來的邊緣效應以及無法解釋的負頻率等問題［2］，已在腦電信號分析和機械故障診斷領域得到了應用［3］。

在LMD方法中，PF分量定義為一個純調頻信號和一個包絡信號的乘積，而純調頻信號需要滿足相應的要求，即本身的絕對值不能大于1，而且其包絡信號恒等于1，這在實際應用中很難滿足。在實際的算法中，由于PF分量的純調頻信號是需要經過多次的迭代才能獲得的，因此需要找到一個合適的PF分量判據，它既是可以實現的，同時也能盡量滿足純調頻信號的理論條件，從而使得PF分量具有物理意義。由于PF分量與經驗模態分解［4］(Empirical mode decomposition，EMD)中的內稟模態函數(Intrinsic mode function，IMF)分量具有相似性，而IMF分量之間已從數值上驗證了具有正交的特點［5］，因此本文擬從PF分量的正交性入手，將 IMF分量的正交性判據［6］(Orthogonality criterion，OC)引入到LMD方法中，作為PF分量迭代終止的判據。通過對仿真信號以及實際信號的分析，結果表明由正交性判據所確定的PF分量是完備的且具有物理意義，能夠實現信號的正確分解。

1 LMD方法

LMD方法的本質是通過迭代從原始信號中分離出純調頻信號和包絡信號，然后將純調頻信號和包絡信號相乘便可以得到一個瞬時頻率具有物理意義的PF分量，循環處理至所有的PF分量分離出來，便可以得到原始信號的時頻分布。對于任意信號x(t)，其分解過程如下［1］。

(1)確定原始信號所有的局部極值點ni，計算相鄰兩個極值點ni和ni+1的平均值mi:

將所有平均值點mi在其對應的極值點ni和ni+1間延伸成一條線段，然后用滑動平均法進行平滑處理，得到局部均值函數m11(t)。

(2)采用局部極值點ni計算局部幅值ai:

將所有局部幅值點ai在其對應的極值點ni和ni+1間延伸成一條線段，然后采用滑動平均法進行平滑處理，得到包絡估計函數a11(t)。

(3)將局部均值函數m11(t)從原始信號x(t)中分離出來，即去掉了一個低頻成分，得到:

(4)用h11(t)除以包絡估計函數a11(t)以對h11(t)進行解調，得到:

對s11(t)重復上述步驟便能得到s11(t)的包絡估計函數a12(t)，假如a12(t)不等于1，說明s11(t)不是一個純調頻信號，需要重復上述迭代過程n次，直至s1n(t)為一個純調頻信號，也即s1n(t)的包絡估計函數a1(n+1)(t)=1，所以，有:

理論迭代終止的條件為:

(5)把迭代過程中產生的所有包絡估計函數相乘便可以得到包絡信號(瞬時幅值函數):

(6)將包絡信號a1(t)和純調頻信號s1n(t)相乘便可以得到原始信號的第一個PF分量:

它包含了原始信號中最高的頻率成分，是一個單分量的調幅-調頻信號，其瞬時幅值就是包絡信號a1(t)，其瞬時頻率f1(t)則可由純調頻信號s1n(t)求出，即:

(7)將第一個PF分量PF1(t)從原始信號x(t)中分離出來，得到一個新的信號u1(t)，將u1(t)作為原始數據重復以上步驟，循環k次，直到uk為一個單調函數為止。

原始信號x(t)能夠被所有的PF分量和uk重構，即:

將所有PF分量的瞬時幅值和瞬時頻率組合便可以得到原始信號x(t)完整的時頻分布。

2 PF分量迭代終止條件

由上述LMD分解算法知，每個PF分量都是通過多次迭代過程得到的，式(7)表示的是理論的迭代終止條件，由它所確定的PF分量的瞬時頻率和瞬時幅值具有最準確的物理意義，并且各個PF分量之間具有正交性，最終分解結果也是完備的。但在LMD方法的實際運用中該迭代終止條件是不可能實現的［1］，因此需要另外確定一種合理的、可以實現的判據替代理論的迭代終止條件。EMD分解中“篩分”IMF分量的過程與PF分量的迭代過程類似，而在IMF分量的判據問題上，已有一些學者做了研究，如Huang等［4］提出了標準差判據(Standard deviation，SD)，即通過計算連續兩次迭代結果的差值，并與預先確定的閾值進行比較，以此決定迭代的終止點;Rilling等［7］對SD判據進行了改進，提出了3-閾值判據(Three-threshold criterion);Xie等［8］從信號的頻率和相位信息入手，提出了帶寬判據(Bandwidth criterion，BC);Lin 等［6］根據 IMF 分量正交的特點，提出了正交性判據(Orthogonality criterion，OC)等，這些判據在EMD方法的實際運用中都取得了一定的效果。借鑒上述確定IMF分量的判據的思想，并根據PF分量的正交性質，將正交性判據OC引入了LMD方法中。

理論上每一個PF分量是一個單分量的調幅-調頻信號，而LMD方法的實質就是將一個包含多種時間尺度特征的信號分解成有限個單分量的調幅-調頻信號之和，其中每個單分量的調幅-調頻信號代表了原信號中的一種時間尺度特征，因此不同PF分量之間是不相關的，也即正交的，即有下式成立:

但式(13)并不是嚴格準確的，這是由于LMD方法中局部均值函數和包絡估計函數是通過平滑得到的，并不是信號真正的均值和包絡值，再加上端點效應［9］的影響，不可避免地會發生能量泄漏現象，因此不可能具備嚴格的正交性質，也即式(13)的右邊不可能等于0。但可以得出如果該值越接近于0，則說明PF分量的正交性越好，分解的效果也越好的結論。

根據以上PF分量的正交性質，將正交性判據OC引入LMD方法中作為PF分量的迭代終止判據，其定義如下:

3 應用

考察式(15)所示的仿真信號x(t)，它由兩個調幅-調頻分量組成，其時域波形如圖1所示。

圖1 仿真信號x(t)Fig.1 Simulated signal

圖2 仿真信號x(t)的LMD分解結果Fig.2 The PFs of the simulated signal from LMD

引入正交索引參數(Index of orthogonality，IO)［10］評價LMD分解的整體的正交性，其表達式如下:

式中i，j=k+1時，表示分解得到的余量。理論上PF分量間如果完全正交，應該有IO=0，但由第2節分析知，實際中不可能完全正交。經計算上述仿真信號x(t)的分解結果的IO=0.002 1，很接近于0，幾乎滿足完全正交。另外x(t)分解前后的能量變化情況見表1，可以看出，總能量以及各個分量的能量分解前后幾乎一致，體現了分解的完備性與正確性，說明了正交性判據是合理的。

表1 仿真信號x(t)分解前后能量的變化情況Tab.1 The energy change situation of simulated signal before and after decomposition

對于實際信號，選取了某內圈發生了局部損傷的滾動軸承故障振動加速度信號x(t)進行分析。軸承型號為6311，轉頻為20 Hz，采樣頻率為4 096 Hz，計算的理論故障特征頻率為f0=99.2 Hz。x(t)的時域波形如圖3所示。

圖3 滾動軸承內圈故障振動信號x(t)Fig.3 The vibration signal of roller bearing with inner race defect

采用LMD方法對x(t)進行分解，并以正交性判據準則作為PF分量的迭代終止條件(采用自適應波形匹配延拓法［9］解決端點效應)。每迭代一次，計算OC的值，最終完全分解后得到7個PF分量和1個余量，如圖4所示。每個PF分量的迭代次數以及OC值見表2。

圖4 滾動軸承內圈故障振動信號x(t)的LMD分解結果Fig.4 The PFs of the vibration signal of roller bearing with inner race defect from LMD

表2 各個PF分量的迭代次數以及OC值Tab.2 Iterative times and OC value of each PF component

同樣為了評價分解的效果，按式(16)計算本次分解的正交索引參數IO的值。經計算有IO=0.047 5，幾乎滿足完全正交。x(t)分解前后的能量對比情況見表3，其中Ex為信號x(t)的能量，Ei(i=1，2，…，7)為各個PF分量的能量，Eu7為余量的能量，E'x為7個PF分量與余量的能量之和，可以看出分解前后的能量差很小，體現了分解的完備性。進一步對前兩個PF分量PF1(t)和PF2(t)的瞬時幅值a1(t)和a2(t)作頻譜分析，結果如圖5和圖6所示。圖5中，在內圈故障特征頻率99.2 Hz處存在著明顯的譜線，同時存在著轉頻的2倍頻、3倍頻成分;圖6中也可以找到99.2 Hz的譜線，但主要成分是轉頻的2倍頻。因此通過幅值譜可以判定軸承存在內圈局部故障，與實際情況相符。以上分析說明本次LMD分解結果是合理的，正交性判據是合適的。

表3 軸承故障振動信號x(t)分解前后能量變化的情況Tab.3 The energy change situation of the vibration signal with inner race defect before and after decomposition

標準差判據(Standard deviation，SD)是一種在EMD分解中得到廣泛應用的判據準則，其定義如下:

其中hik(t)為求第i個IMF分量時的第k次“篩分”結果。對比EMD和LMD方法的理論可知，如果將式(17)中的hik(t)用hij(t)=Si(j-1)(t)-mij(t)替換，其中Si(j-1)(t)為分解第i個PF分量時的第j-1次迭代結果，mij(t)為Si(j-1)(t)的局部均值函數，便可以得到LMD方法中的SD判據。為了與OC判據進行比較，將SD判據同樣應用于圖3所示的滾動軸承故障振動信號，最終分解得到了7個PF分量和1個余量，如圖7所示。對比圖4分解效果沒有很大差別。圖8為第一個PF分量PF1(t)的幅值譜，同樣能找到內圈故障特征頻率。但是進一步計算了本次分解的正交索引值為IO=0.085 3，以及能量值見表4，可以看出IO值和分解前后的能量差值都要比采用OC判據分解時的大，說明從總體上分析采用SD判據分解時的正交性和完備性都不如OC判據好。另外各個PF分量的迭代次數見表5，其值明顯要大于采用OC判據分解時的情況，說明計算效率OC判據較SD判據高。

表4 軸承故障振動信號x(t)分解前后能量變化的情況Tab.4 The energy change situation of the vibration signal with inner race defect before and after decomposition

表5 各個PF分量的迭代次數Tab.5 Iterative times of each PF component

4 結論

利用PF分量的正交性質，將正交性判據OC引入到LMD方法中，解決了LMD方法中PF分量的判據問題。通過對仿真信號和實際信號的分析，結果表明該判據不但充分保證了LMD分解的正交性質，而且穩定性好、收斂速度快，得到的分解結果具有真實的物理意義并且是完備的，這對LMD方法的工程實際應用是非常有意義的。但值得提出的是，由于平滑步長會對局部均值函數和包絡估計函數的形狀造成影響，因此勢必會影響到該判據的值，而影響的規律如何，這需要做進一步研究。

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