自適應濾波器的新型變步長算法及其應用

王新

(河南理工大學電氣工程與自動化學院，河南焦作 454003)

自適應濾波器的新型變步長算法及其應用

王新

(河南理工大學電氣工程與自動化學院，河南焦作 454003)

針對變步長算法的選取對自適應濾波器的性能有重大的影響，而常見變步長算法的步長與誤差或輸入信號有關，在自適應調節過程中步長存在較大的波動，影響自適應濾波器的濾波效果等問題，通過分析和比較常見的變步長算法，提出一種新型變步長算法。該算法先將誤差信號取絕對值，然后再求其均值，以該均值決定步長的變化，克服步長波動的不足。采用新型變步長算法的自適應濾波器，不僅具有較快的收斂速度，而且可以獲取較小的均方誤差。最后，將基于新型變步長算法的自適應濾波器應用于籠型異步電動機的斷條故障診斷中。實驗證明，新型變步長算法可以增強斷條故障的特征，有利于信號特征的提取。

自適應濾波器;變步長算法;轉子斷條;故障檢測

0 引言

自適應濾波器以其優良的濾波效果，應用廣泛。自適應濾波器的常用算法是最小均方算法。該算法具有方法簡單、計算量小、易于實現實時處理等優點。由于均方誤差與自適應步長成正比，然而步長減小，收斂時間增大。因此，在最小均方算法的權系數遞推中常采用變步長代替固定步長，即變步長最小均方算法。這樣，當權系數遠離于最佳權系數，使用較大的步長，加速收斂速度;當權系數接近于最佳權系數時，使用較小的步長，獲取較小的均方誤差。在變步長最小均方算法中，變步長算法的選取十分關鍵，它對自適應濾波器的濾波效果有重大的影響［1］。目前，文獻［2－3］提出的變步長算法應用較廣泛。在自適應濾波器中，參考輸入信號x(k)是幅值固定的余弦信號，誤差ε(k)在自適應調節過程中是衰減振蕩的，而當自適應調節過程趨于穩定時，ε(k)近似為幅值固定的交變信號。如果實際輸入信號d(k)只含2個頻率分量，那么自適應調節過程趨于穩定時，ε(k)近似為正弦信號。由于文獻［2－3］中步長變化算法的步長μ(k)與ε(k)或x(k)有關。所以，在自適應調節過程中，盡管步長μ(k)是衰減的，但是它存在較大的波動，這對自適應濾波器的濾波效果有較大的影響。

為此，本文針對自適應調節過程中ε(k)和x(k)的變化規律，提出了一種新型變步長算法，它可以克服上述方法步長μ(k)上下波動的不足，不僅具有較快的收斂速度，而且當權系數接近最佳權系數時，具有較小的步長，獲取較小的均方誤差。最后，本文將新型變步長算法應用于籠型異步電動機的斷條故障診斷中，驗證了新型變步長算法良好的效果。

1 自適應濾波器的工作原理

自適應濾波器的工作原理如圖1所示。圖中，d(t)為原始輸入信號，x(t)為參考輸入信號，其中x(t)=Ccos(ω0t)，式中C為參考信號的幅值，ω0為待陷波的干擾正弦波的頻率。d(k)、x1(k)、x2(k)分別為d(t)、x1(t)、x2(t)在kT時刻(T為采樣周期)的采樣值，w1(k)、w2(k)為權值采樣值，ε(k)=d(k)－y(k)，其中y(k)為濾波器輸出。

圖1 自適應濾波器的原理Fig.1 The principle chart of the adaptive filter

由圖1可知，誤差為

權的修正過程為

對于上述自適應濾波器，可以求得其閉環傳遞函數為

對于慢自適應過程而言，式(4)中μC2很小，這時閉環系統的極點為

由于通常μC2很小，所以極點在單位圓內，系統是穩定的。

上述自適應濾波器的帶寬為

可見，自適應濾波器的帶寬BW與步長μ成正比。因此，步長μ越小，越有利于克服頻率為ω0信號的影響［1，4－5］。

為了兼顧自適應濾波器的收斂速度和濾波效果，自適應濾波器通常采用變步長取代固定步長。此時，權的修正過程為

2 常見的變步長算法

本文稱之為變步長算法1。

文獻［3］提出的步長變化算法為

本文稱之為變步長算法2。式(11)和(12)中，α、β、m均為待定的正數。實驗證明，當取α=50，β=0.3，m=1時，可以取得較好的效果。可以看出，變步長算法1、2中，μ(k)與ε(k)或x(k)成一種非線性關系，這將增加算法的復雜度，不利于實時運算。

為了便于比較不同算法的濾波效果，模擬籠型異步電動機的斷條故障信號的特點構造信號為

式中:ω0=100π rad/s;ω1=96π rad/s;A 為斷條故障特征分量的幅值，通常情況下A=0～0.05，這里取A=0.02。同時，為了分析方便取C=1。文獻［2］提出的步長變化算法為

3 新型的變步長算法

針對自適應調節過程ε(k)或x(k)是交變的特點，提出了一種新型的變步長算法，其表達式為

本文稱之為變步長算法3。式中:kP1、kP2均為待定的正數;M為正整數。因此，kP1、kP2的選取應滿足以下要求:根據初始誤差|ε(k)|值的大小來選擇kP1、kP2值，使得初始誤差|ε(k)|在滿足算法收斂的條件下所對應的μ(k)值盡可能大些，起到加快收斂的作用。這里，根據信號d(k)的特點和實驗效果，取kP1=0.15，kP2=0.1，M=10。變步長算法 1、2、3 對應的步長變化情況分別如圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)所示。可以看出，當采用變步長算法1、2時步長μ(k)有較大的波動，而當采用變步長算法3時步長μ(k)基本上沒有波動，這對縮短自適應調節時間是有利的。

圖2 步長變化過程Fig.2 The change process of the step size

針對式(10)所示信號，采用3種變步長算法處理后，再進行FFT分析的結果如圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)所示。其具體數值如表1所示。表中，ri為分量ω1與分量ω0的幅值譜密度值之比，這里i=1，2，r1、r2分別為采用自適應濾波器處理前、后的比值。自適應陷波之前，3種變步長算法所用信號相同，所以r1的值相同。經分析r1=0.066。

圖3 濾波后FFT分析結果Fig.3 The analysis results of FFT after filtering

表1 3種變步長算法的效果Table 1 Effects of three variable step size algorithms

可以看出，變步長算法3的r2值最大，所以采用變步長算法3時對分量ω0的陷波效果比采用變步長算法1和2時的陷波效果要好許多。

4 新型變步長算法的應用

4.1 電動機斷條故障診斷的原理

轉子斷條是籠型異步電動機常見的故障之一。正常時電動機定子電流僅含有電源頻率f0=50Hz。但是，當轉子出現斷條故障時，定子電流中還會出現一個頻率為f1=(1－2s)f0的故障特征分量，其中轉差率為同步轉速，n為電機轉速。當轉速n接近n0時，轉差率s非常小，接近0，這時f1與f0十分接近。由于分量f1相對于基頻f0非常小，所以若直接進行頻譜分析，則分量f1會被基頻f0所淹沒，無法得到分量f1。目前，常用的方法是先采用自適應濾波器對定子電流進行處理，盡可能地減少分量f0，然后再通過頻譜分析，判斷定子電流中是否存在分量 f1，最后進行斷條故障診斷［6－10］。這樣，可以提高斷條故障診斷的準確率。

4.2 電動機斷條故障診斷的實例

實驗中采用的籠型異步電動機的型號為TYPE100 －4，額定轉速 n1=1 430 r·min－1，極對數p=2，電源頻率 f0=50Hz，采樣頻率 fs=500Hz，采樣點個數為N=1 024。典型工作狀態如表2所示，r3為實際信號的電動機斷條特征分量f1的幅值譜密度值d1與基頻f0的幅值譜密度值d0之比。可以看出，在工作狀態1下電動機轉速較高，斷條特征分量f1與基頻f0較接近。在工作狀態1、2下，針對采集的實際定子電流信號，采用三種變步長算法進行自適應濾波器處理后，再進行FFT分析的結果分別如圖 4(a)、4(b)、4(c)和圖 5(a)、5(b)、5(c)所示。其具體數值如表3所示，其中d1、d0仍分別為分量f1、f0的幅值譜密度值，r4為分量f1與分量f0的幅值譜密度值之比。

表2 濾波前的實驗結果Table 2 Test results before filtering

表3 狀態1下濾波后的實驗結果Table 3 Test results after filtering in the state 1

從表3和表4可以看出，在兩種狀態下新型變步長算法的r4比變步長算法1、2的r4大許多。尤其是采用新型變步長算法時，分量f1的幅值譜密度值較大，而且在許多情況下，例如工作狀態2所示，分量f1的幅值譜密度值為最大值，這將有利于斷條故障特征的提取。實驗證明，新型變步長算法具有較好的處理效果。

表4 狀態2下濾波后的實驗結果Table 4 Test results after filtering in the state 2

圖4 狀態1下濾波后FFT分析結果Fig.4 The analysis results of FFT after filtering in the state 1

從表1～表4和圖3～圖5還可以看出，在實際情況下，工作狀態1、2下斷條特征分量f1與基頻f0的間隔分別為4.7Hz、14Hz，相對前面所述的仿真信號特征分量f1與基頻f0的間隔2Hz要大許多，并且r3也比r1大一些。但是，r4與r2相比卻小許多，其主要原因是仿真信號只含特征分量f1和基頻f0，是理想信號，而實際信號含有一定的干擾信號，諧波成分較豐富，這對自適應濾波有一定的影響。總體看來，采用新型變步長算法提取實際信號的斷條特征分量的效果是比較滿意的。這里僅給出了兩種典型狀態的數據，在其他狀態下也會得出同樣的結論。

圖5 狀態2下濾波后FFT分析結果Fig.5 The analysis results of FFT after filtering in the state 2

5 結語

實驗證明，新型變步長算法充分考慮了自適應濾波器調節過程中信號ε(k)或x(k)的特點，可以克服ε(k)或x(k)交變的影響，縮短自適應濾波器的調節時間。同時，新型變步長算法為線性算法，算法運算簡單，有利于實時計算，為在線信號處理提供了方便。新型變步長算法不僅可以用于電動機斷條故障診斷，而且可以推廣應用于其他信號處理。

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(編輯:劉素菊)

Novel variable step size algorithm of adaptive filter and its application

WANG Xin
(School of Electrical Engineering and Automation，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，China)

The variable step size algorithm affects the performance of the adaptive filter heavily.The step size of the usual variable step size algorithms has a certain relation with the error signal and the input signal.In the adaptive regulation process，the step size has a big fluctuation.This property severely affects the filtering effect of the adaptive filter.To solve these problems，a novel variable step size algorithm(NVSSA)was put forward by analyzing and comparing the usual variable step size algorithms.In the NVSSA，the absolute value of error signal was taken，and then its mean was found.The mean decided the change of the step size.The NVSSA can overcome the shortage of the step size fluctuation.The adaptive filter based on the NVSSA has a faster convergence rate and a less mean square error.In the end，the adaptive filter based on the NVSSA was used in the fault diagnosis of the broken rotor bar of the squirrel cage induction motor.Experiments show that the NVSSA can highlight the feature of the broken rotor bar fault and is propitious to the signal feature exaction.

adaptive filter;variable step size algorithm;broken rotor bar;fault detection

TN 911.72

A

1007－449X(2011)04－0023－05

2010－07－22

河南省高校科技創新人才支持計劃項目(2008HASTIT022);河南省重點科技攻關項目(072102240006);河南省控制工程重點學科開放實驗室開發基金項目(KG2009－10)。

王 新(1967—)，男，博士，教授，研究方向為故障診斷、信號處理和電氣傳動。