控制系統的脆弱性與魯棒性

何朕， 饒丹， 王廣雄， 劉志遠

(哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001)

控制系統的脆弱性與魯棒性

何朕， 饒丹， 王廣雄， 劉志遠

(哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001)

針對脆弱性有不同的理解，提出了一種新的關于脆弱性的概念。脆弱性是指一個優化設計的控制系統卻失去了穩定裕度。文中對此進行了分析和說明，指出這脆弱性問題并不是因為控制器的脆弱性造成的，其根本的原因是在最優控制本身，是最優設計的手段或所用的判據造成的。因為H∞優化設計中并沒有用到穩定裕度的概念。在多入多出系統的設計中由于用的是奇異值而不是各個物理變量，所以就有可能忽略了單個回路的魯棒穩定性問題。這個新的脆弱性概念也不同于一般控制器參數攝動下的魯棒性問題，將有助于理解一個設計良好的系統在實際調試中可能出現的穩定性問題，所以對理論和實踐都有重要意義。文中附有設計分析的例子，其中的一個例子取自作者在實驗中所遇到的問題。

脆弱性;魯棒性;穩定裕度;H∞優化設計;球－桿系統

0 引言

脆弱性是近年來控制界經常提到的一個話題，但是理解卻并不相同。脆弱性是指對控制系統進行優化設計卻失去了魯棒性，因而實際上無法穩定工作。文獻［1］將此原因歸結為控制器的脆弱性。但是脆弱性問題不是一個簡單的控制器問題，所以文獻［1］一經提出就遭到 Mkil的質疑［2］，并進一步專門著文來闡述其觀點［3］。本文并不從控制器上來找原因，本文認為控制系統脆弱性的根源在于控制系統的設計理論本身。本文將從控制系統的優化設計，尤其是H∞優化設計的實質來對脆弱性問題進行分析，提出一種新的關于脆弱性的概念。

1 系統的脆弱性

脆弱性的概念是與現代的控制系統的優化設計相伴隨而出現的［1］。現代的各種魯棒設計理論都是與對象的某種不確定性聯系在一起的。例如H∞設計中常用乘性不確定性來描述未建模動態，要求

式中lm(ω)為乘性不確定性的界函數，并稱這個條件為魯棒穩定性條件［4］。但這只是一種相對于乘性不確定性來說的穩定性條件。文獻［5］則討論了更為一般性的情形，如圖1所示。這里的不確定性Δ是更為一般的2入2出的4塊結構的不確定性，圖中G為對象，K為控制器。對于圖1的系統來說，設計指標是Tzw(jω)的H∞范數‖Tzw‖∞，式中Tzw是從w=[w1w2]T到z= [z1z2]T的閉環傳遞函數?！琓zw‖是圖1反饋系統的魯棒穩定性的度量，文獻［5］中將其定義為穩定裕度?？傊?，現在的各種魯棒控制問題中的不等式條件，雖然反映了某種穩定問題，實際上都是相對于對象的某種不確定性來說的。這種魯棒設計一般并不關注Nyquist穩定判據中的穩定裕度。雖然這些理論，例如 H∞控制本身可確保所設計系統的穩定性，但H∞設計并沒有指定幅值裕度或相位裕度。如果這時這種穩定裕度非常小，那么所設計的系統實際上是不能工作的，這就是脆弱性的概念。

圖1 2入2出的不確定性系統Fig.1 System with a 2×2 uncertainty

還有一種情況是，控制系統的魯棒性是與所考慮問題中的結構形式有關的。例如最優控制的LQG問題，當從分離定理的角度來考慮時，最優控制的狀態反饋具有很好的魯棒性，但如果是從控制器加對象的角度來考慮時，就可能沒有魯棒性［4］。在MIMO系統的H∞優化設計中也會有類似的問題，例如當H∞范數或最大奇異值特性滿足魯棒設計要求時，從單個回路(對應每一個具體的輸出變量)來分析時也可能缺少魯棒性。如果這時的穩定裕度幾近消失，就稱這個設計是脆弱的。這也是一種脆弱性的概念。

因為上述的系統在設計時都已經滿足了所定義的穩定條件，或者滿足了小增益定理的不等式，如果再出現穩定性問題，有人就會將原因歸結為控制器問題，文獻［1］認為這是控制器的脆弱性引起的。但是控制器的脆弱性不同于上述沒有魯棒性的問題，所以文獻［1］一經提出，就遭到 Mkil的質疑［2－3］。將這種失去穩定性的原因歸結為控制器脆弱性的學派，是把這個問題看做是控制器參數攝動引起的魯棒性問題，近年來關于脆弱性的文獻大都持這種觀點，其基本思想可參見文獻［6］。而Mkil的觀點則認為控制器脆弱性是指控制器參數的極微小攝動(例如由于字長有限而使系數出現誤差)可能會導致控制器本身從穩定變成不穩定，并認為這不是常規的攝動的概念，也不是用常規的魯棒理論可以解決的。Mkil認為控制器的脆弱性是一種控制律算法實現上的問題(包括系數的字長和算法靈敏度等)，而不是直接從狀態方程式的系數上可以來討論的問題［2］。本文認為上面提到的這種系統失去魯棒性的問題并不是控制器本身的問題。所以這里不用控制器脆弱性這個概念，而是將這種魯棒性問題稱為控制系統的脆弱性。這里是將根據各種優化設計或魯棒設計理論所得的系統，但缺乏(或幾近消失)幅值裕度或相位裕度的系統，稱為脆弱性系統。這種系統雖然在理論上或仿真驗證時是滿足設計要求的，但由于(控制器)實現時存在的各種可能的差異，因為沒有穩定裕度而使系統實際上無法穩定工作。這個脆弱性問題是因為某些優化設計中缺乏(或無法)考慮到一些基本的穩定裕度，因而是不能用同一個理論框架來進行評估或避免的。脆弱性問題在經典理論時期是不存在的，只有在現代的各種優化設計和魯棒設計中才有可能出現，所以在采用各種新的設計理論時，應該注意加以防范。

下面通過兩個設計的例子來作進一步的說明。第一個例子取自H∞控制的一個最基本的概念:雙互質分解。第二個例子則是作者為球－桿實驗系統配置H∞控制器時所遇到的問題。

2 設計分析(1):雙互質分解控制器

雙互質分解是H∞控制理論中的一個最基本概念。根據對象的雙互質分解，可以寫出一個能使對象穩定的控制器的參數化公式。這樣就消除了H∞控制中要求內穩定的約束條件，進而得到一個可以求解的模型匹配問題［7］。這里對采用雙互質分解設計的控制系統進行分析，以便進一步了解H∞控制中所可能隱藏的脆弱性問題。

設對象

將G進行雙互質分解，G=NM－1=珟M－1珟N，根據雙互質分解中的X陣和Y陣，可得到控制器

此例取自文獻［7］，式中各符號的說明可參見該文獻。

根據式(2)、式(3)可得此反饋系統的特征方程式為

式(4)表明，該系統的4個極點都在－1點上，應該是具有很好的動態性能了。現在再從負反饋的角度來對此系統進行分析。系統的開環傳遞函數為

因為是從負反饋來考慮，所以要用－KG。圖2所示就是此系統的Nyquist圖。圖2表明，雖然系統是穩定的，但Nyquist圖線離－1點非常近，系統實際上沒有魯棒性，參數稍有攝動就不穩定了，這樣的系統實際上是不能工作的。這種設計就稱為是脆弱的。其實H∞優化設計確實有可能隱藏著脆弱性，文獻［1］在提出脆弱性概念時就有兩個脆弱性的例子是來自早期的H∞控制的經典著作［8］。

圖2 基于雙互質分解設計的Nyquist圖Fig.2 Nyquist plot of a doubly-coprime factorizationbased design

3 設計分析(2):球－桿系統的H∞控制

圖3是德國Amira公司生產的BW500球－桿實驗系統，小球可以在桿上自由滾動，系統的控制輸入是施加在桿上的力矩τ，通過桿的轉動來控制球在桿上的位置。忽略一些次要的阻尼系數后，此球－桿系統的數學模型可寫成［9］

式中:x1是球在桿上的位置，即圖中的r;x2是球的移動速度;x3是桿的轉角θ;x4是桿的轉動速率。該實驗系統原配有狀態反饋［10］，作者利用 MATLAB的實時工作站(real time workshop，RTW)為實驗系統設計了一個H∞控制器對此球－桿系統進行控制。由于利用了原實驗系統的位移傳感器(光學鏡頭)和轉角傳感器(碼盤)，所以H∞設計中的對象是1入2出的。圖4所示是H∞設計時的系統框圖。這是H∞設計中的PS/T問題:

式中:W1是性能權函數;P是對象;S是對象輸入端的靈敏度函數;W2是乘性不確定性的權函數(界函數);T是系統的閉環傳遞函數。Tzw1是從輸入w1到輸出z= [z1z2z3]T的傳遞函數。圖中w2是因為H∞設計中秩的問題而附加的一個小信號。

圖3 球－桿系統Fig.3 Ball-and beam system

圖4 H∞設計的框圖Fig.4 Block diagram of the H∞ design

因為考慮到θ回路和r回路應該具有不同的帶寬，故取性能權函數為

在式(9)、式 (10)的權函數下，利用 MATLAB的hinfsyn函數求解這個PS/T問題，得‖Tzw1‖∞=γ=0.997 0，對應的H∞控制器為(注:已略去104以上的高頻分量)

作為對H∞優化設計的驗算，圖5列出了式(7)中關于魯棒穩定性的W2與T的相對關系圖。對于性能的W1PS也可得類似的Bode圖。對設計結果的時域仿真也表明本例的H∞設計是成功的?？墒沁@個H∞控制器在RTW環境下實現后卻無法使實際系統穩定下來。進一步的分析表明，是因為這個球－桿系統的H∞設計存在脆弱性。

雖然H∞設計是用奇異值來設計的，但具體實現時卻是一個一個具體的物理變量與H∞控制器來連接的。現在就來分析這個用H∞設計好的系統的輸出變量r(小球位置)的回路特性。具體做法是將圖4在a點處斷開，來考察這個回路的Nyquist特性。圖6就是這個r回路的Nyquist圖。從圖6(b)可以看到，Nyquist圖線與負實軸的交點為－1.04和－0.862，圖中的相位裕度僅為2.46°(對應ω=4.83 rad/s)。這些幅值裕度和相位裕度的值都可以用仿真來進行驗證(圖略)。由于這個小球的位置(r)回路的相位裕度幾近消失，所以實際上這個系統是無法穩定工作的。這也就是說，球－桿系統的這個PS/T問題的解，雖然滿足了H∞魯棒設計的要求，并且通過仿真驗證，但卻是脆弱的，在實際系統中是不能實現的。

圖5 補靈敏度T與的Bode圖Fig.5 Bode plot of the complementary sensitivity T and

圖6 位置(r)回路的Nyquist圖Fig.6 Nyquist plots of the position loop(b-enlarged)

4 結語

脆弱性問題是伴隨著各種優化設計理論/方法而出現的。這些優化設計雖然也包含魯棒性，但一般都是針對對象的某種不確定性，而忽略了最基本的Nyquist判據下的魯棒性(穩定裕度)。這樣的優化設計雖然理論上是可行的，是穩定的，并可以通過仿真驗證，實際上卻是無法實現的。這個新的脆弱性概念對優化設計提出了一個在實際應用中可能存在的潛在問題，所以對理論和實際都是有重要意義的。

這里所說的脆弱性不同于可以用理論分析計算的控制器參數攝動，而是由于在理論分析中可能忽略穩定裕度的考慮。當然這里并不是說每個優化設計都是脆弱的，只是說優化設計存在著這種可能性。如果一個所設計的系統在實現時無法穩定工作，即無法實現這個設計，那很可能就是這個脆弱性問題。

［1］ Keel L H，Bhattacharyya S P.Robust，fragile，or optimal?［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42(8):1098－1105.

［3］ Paattilammi J，MkilP M.Fragility and robustness:a case study on paper machine headbox control［J］.IEEE Control Systems Magazine，2000，20(1):13－22.

［4］ DOYLE J C，STEIN G.Multivariable feedback design:concepts for a classical/modern synthesis［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1981，26(1):4 －16.

［5］ LANZON A，PAPAGEORGIOU G.Distance measures for uncertain linear systems:a general theory［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54(7):1532－1547.

［6］ YANG G H，WANG J L.Non-fragile H∞control for linear systems with multiplicative controller gain variations［J］.Automatica，2001，37(5):727－737.

［7］ FRANCIS B A.A Coure in H∞Control Theory［M］.Lecture Notes in Control and Information Sciences，Vol.88.New York:Springer-Verlag，1987.

［8］ DOYLE J C，FRANCIS B A，TANNENBAUM A R.Feedback Control Theory［M］.New York:Macmillan，1992.

［9］ 王廣雄，何朕.控制系統設計［M］.第9章.北京:清華大學出版社，2008.

［10］ 何朕，王毅，周長浩，等.球－桿系統的非線性問題［J］.自動化學報，2007，33(5):550－553.

HE Zhen，WANG Yi，ZHOU Changhao，et al.Nonlinear problems of the bal1 and beam system［J］.ACTA Automatica Sinica，2007，33(5):550－553.

(編輯:劉素菊)

Fragility and robustness of the control system

HE Zhen， RAO Dan， WANG Guang-xiong， LIU Zhi-yuan
(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

A novel concept of the fragility of a control system is presented，though there are some different understandings about the fragility.Fragility means that the stability margin of a system is lost during an optimal design.It is pointed out in the paper，that the fragility problem is not caused by the controller fragility，and the real cause of fragility is the design tools or criteria used in the optimal design.For example，in the H∞optimal design，the concepts of stability margin are totally absent during the design process.In MIMO system design，the singular values are used instead of the individual physical variables，so the robust stability problem of the individual loop may be ignored.This concept of fragility is different from the robustness against the parameter uncertainty of the controller.And it is helpful for understanding of the phenomenon that a well-designed system may not be stable in practice and cannot work.Therefore it is important for both theory and practice.Design examples are also presented，one of which is from the authors’own experience.

fragility;robustness;stability margin;H∞optimal design;ball-beam system

TP 273

A

1007－449X(2011)04－0080－05

2010－12－03

國家自然科學基金重點項目(61034001)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向為控制系統設計、魯棒控制及H∞控制等;

饒 丹(1985—)，女，碩士，研究方向為魯棒控制;

王廣雄(1933—)，男，教授，博士生導師，研究方向為控制系統設計、魯棒控制及H∞控制等;

劉志遠(1957—)，男，教授，博士生導師，研究方向為機器人控制、預測控制等。