多囚禁離子振動量子態Wigner函數的重構

宋明玉

(長江大學物理科學與技術學院,湖北荊州434023)

量子態的重構是量子光學及相關領域的核心問題。在原子-腔QED框架中,對于腔場量子態的測量人們已提出很多有效方案。同時,對于量子信息處理與量子計算的物理實現,囚禁離子系統正成為人們越來越關注的理想物理系統。最近人們提出很多方案,利用激光激發離子來實現囚禁離子振動非經典態,如Fock態[1],壓縮相干態[2],貓態[3]和奇偶相干態[4]。在原子-腔QED系統中,腔場量子態的重構方案一般是通過對原子態測量來實現準概率分布函數,如Wigner函數的重構,從而提供一種新的量子態表象[5]。

最近,囚禁離子振動量子態的重構已在實驗上得以實現,但該方案涉及復雜的數據分析。文獻 [5]提出了在腔QED和離子阱中直接測量Wigner函數的方案,該方案適用于在低激發區域實現囚禁離子振動態的Wigner函數的直接測量。另一方面,在實際的實驗中,離子阱不可能是完全孤立的,因此必須要考慮相應的耗散效應。

1 模 型

筆者研究在考慮系統耗散的情況下 (真實條件)振動態的重構問題。雖然不可能重構 Wigner函數,但仍然可能恢復初始態的全部信息。事實上,文獻 [6]已經指出重構方案本身也顯示量子系統的相干損失。與先前的方案不同的是,筆者的方案在色散時出現耗散的情況下仍然有效。

考慮N個質量為m的超冷離子囚禁在一個線型阱中,離子在阱中沿z方向排成一條鏈做集體振動,通過2束拉曼光調諧離子振動的第q階上下邊帶。因為離子已經被冷卻,每個離子僅僅在阱的軸線上相應平衡位置zj0(j=1,2,…,N)做小的振蕩[7]。旋波近似下,哈密頓量描述為:

式中,{a,br}和{a+,b+r}分別是頻率為ν的質心振動模以及頻率為νr的其他振動模的湮滅和產生算符;和σ表示第j個離子的上升、下降以及反轉算符;ω和λ是躍遷頻率和特征離子內部躍遷的偶極矩陣zj0元;H.c.表示 E+(z,t)的厄米共軛;E+(z,t)是激光的正頻部分:

式中,El表示驅動激光場的幅度;Φl表示激光的相位;kl(l=1,2)表示波矢;δ表示驅動場對應離子躍遷頻率的失諧量。在Lamb-Dicke極限下,筆者選擇合適的激光相位、幅度參數以滿足如下條件:

式中,Ψl=λEl對應激光的 Rabi頻率。

假設與角動量J的x、y、z分量有關的算符如下:

其中 ,|ψm(α)〉 =D(α)|ψm(0)〉,D(α)=exp(αa+-α*a)。

角動量的x分量J x能被寫作:

從而:

如果相互作用時間t滿足t=π/(2χ),就得到:

這正是Wigner函數 (有一個相因子π)[5,9]。

2 耗散條件下Wigner函數的重構

在色散近似及相互作用繪景下,特征離子動力學行為的主方程[10]為:

式中,ρ為系統的密度矩陣元。下面筆者將用超算符技術[11]來求解該方程。定義超算符:

其中 ,[K,L]ρ=(Γρ+ρΓ+)Kρ。對于初態 |ψm(α)〉,可以得到[12]:

為了獲得系統的密度矩陣元,利用用上面定義的超算符來操作:

因為f是對離子內態的超算符,它只對離子的內態躍遷產生影響。而K是相應于離子的外部自由度的算符,它僅僅對離子的振動態產生影響。因此不難得到:

式中,C.C.表示復共軛。

因此:

根據式(6)、(8)、(10)計算〈Jx〉得到:

對式(11)中第2個求和指數做修正M=m+k,得到:

對式(12)的第2個求和符號從M=0開始,得到:

通過選擇參數條件t=τ/χ和γ=Aχ,有:

如果條件τ=3π/4和 A=exp(-3Aπ/2)能得到滿足,則μ=0。此時,在方程(14)中僅僅保留的項是M=0的項。從而獲得 Wigner函數:

通過數值方法很容易得到A=0.27。也就是說,僅僅用一個參數γ(在這里為γ=0.27χ)就能得到離子振動態全部信息。

3 實 例

如果離子的振動態處在2個幅度相等位相相反的相干態(|α〉和|-α〉)的迭加,其密度矩陣描述為:

式中,φ為相因子;N為歸一化系數。

在耗散條件下,薛定諤貓態是極其脆弱的,因此這里以實現其Wigner函數的重構正好能來驗證筆者的方法是可行的。

選擇合適的相互作用時間來滿足條件θ=-π,按照式(18)改寫式(14):

在式(16)中,選擇條件 A=0.1,μ是時間τ的函數(隨τ的增大而減小)。在τ=0時,μ=1,很快隨著τ的增加,使得 μ≠1。設置參數s,讓 μ=(1+s)/(1-s),對應于τ=1.69,即 A=0.1,可以得到以s為參數的Wigner函數:

圖1(a)數值模擬了滿足條件α=3和φ=0初始時刻τ=0(s=0)的離子振動薛定諤貓態 (18)的Wigner函數分布,在圖1(b)中,通過設置參數s=-0.18(對應于τ=1.69和A=0.1),數值模擬了同樣態的分布。結果表明,重構準概率分布不再表現出負值,這反映了退相干過程。衰減參數越大,表現越明顯。

4 結 語

提出了一種囚禁離子振動態的Wigner函數重構的一種預備方案,不同于以往方案的是,筆者的方案在耗散條件下的色散區仍然有效。該方案可以使用超級算子解決真實實驗條件下 (包含耗散)的色散相互作用。結果證明,在非理想條件下,運用S-參數化的準概率分布函數可以實現甚至包括耗散情況下的振動量子態的全面重構。

圖1 滿足條件α=3和φ=0的離子振動薛定諤貓態(18)的Wigner函數分布

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