雙曲線上曲率最大點預測樁基豎向極限承載力的預測

張 琦，王 成

(重慶交通大學土木建筑學院，重慶 400074)

雙曲線上曲率最大點預測樁基豎向極限承載力的預測

張 琦，王 成

(重慶交通大學土木建筑學院，重慶 400074)

從解析幾何的角度分析了傳統(tǒng)雙曲線方法，該方法是用平行于沉降軸的漸近線來判定極限承載力;提出了采用雙曲線上曲率最大點來判定極限承載力。在實際工程應用中，與傳統(tǒng)方法進行了對比分析。結(jié)果表明:采用曲率最大點判定極限承載力得到的Qu是傳統(tǒng)的以漸近線判定得到的Qult作折減所得，曲線越平坦折減越多;在極限承載力隨擬合采用荷載級數(shù)的規(guī)律方面，最大曲率點法與傳統(tǒng)方法一致，得到的極限承載力均隨著采用級數(shù)的增多逐步增大并逐漸趨于穩(wěn)定。

極限承載力;雙曲線法;樁;豎向靜載荷試驗;荷載-沉降曲線

確定單樁極限承載力有靜載荷試驗、動力測試、靜力觸探法和經(jīng)驗公式等多種方法，而靜載荷試驗是目前最直觀、最可靠的方法，也是我國規(guī)范［1］規(guī)定的方法。然而在工程實踐中，由于荷載裝置、試樁費用、工程施工進度以及試驗終止條件等限制，未能將試樁壓至破壞，所得的荷載-沉降(Q-S)曲線是不完整的，不能直接得到單樁極限承載力。如何利用已獲得的實測數(shù)據(jù)，合理地預測單樁極限承載力，具有重大意義。對此，國內(nèi)外學者進行了大量研究，提出了多種數(shù)學模型預測方法。常用的有指數(shù)方程法、對數(shù)曲線法、拋物線法、灰色預測法等。目前大多認為它們之間的變化符合雙曲線［1-11］。雙曲線法能夠比較好地預測Q-S曲線為緩變型的樁基的極限承載力。筆者在前人研究的基礎上，首先從解析幾何的角度分析了傳統(tǒng)雙曲線的特性，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)方法中采用的是等軸雙曲線，對極限承載力的判定則是采用平行于S軸的漸近線;其次探討了采用雙曲線上曲率最大點來判定樁的極限承載力極其對應的沉降的方法，研究曲線特性發(fā)現(xiàn)可采用雙曲線兩漸近線的角平分線與雙曲線交點來求得最大曲率點;最后結(jié)合靜載試樁實測數(shù)據(jù)，通過逐級預測的方法，分析了預測單樁極限承載力隨級數(shù)增多的變化規(guī)律。

1 傳統(tǒng)雙曲線方法的分析

早在1970年馬來西亞的F.K.Chin在對一些試樁資料研究后提出樁頂荷載位移(Q-S)曲線可用雙曲線擬合［4］。該方法將Q-S關系轉(zhuǎn)換成S/QS關系曲線，方程形式如式(1):

式中:C1為直線斜率;C2為S/Q軸上截距;Qu為試樁極限承載力，Qu=1/C1。

雙曲線法一般都能確定Qu值，但對Q-S曲線上存在拐點的試樁誤差較大［3］。傳統(tǒng)的雙曲線方法是用兩條漸近線相互垂直的雙曲線，如圖1。

圖1 傳統(tǒng)雙曲線方法Fig.1 Traditional hyperbolic method

此曲線為等軸雙曲線，兩漸近線正交，圖中a=b，tan(α)=b/a=1(即 α =45°)。以下就此做出證明。

1.1 圖中兩坐標系之間的轉(zhuǎn)換關系

設o點在坐標系(SOQ)下的坐標為(c，Qult);由圖1可知，坐標系(xoy)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)α角、按向量(-c，-Qult)平移即可變?yōu)樽鴺讼?SOQ)。坐標系(xoy)與坐標系(SOQ)之間轉(zhuǎn)換關系如下:

1.2 由雙曲線標準型化成傳統(tǒng)方法中的表達式

對于坐標系(xoy)中的雙曲線方程:

將式(6)代回式(5)可得:

這3個方程是相同的，只是化簡時的思路不同。它們用于荷載-沉降擬合的傳統(tǒng)雙曲線。

由于坐標系的平移及旋轉(zhuǎn)不會改變曲線的形狀。可見傳統(tǒng)的雙曲線方法采用的是等軸雙曲線，兩漸近線正交，用于預測極限承載力的是Q=Qult的那條漸近線。

2 最大曲率點的求解

對于由參數(shù)方程表示的曲線:(x=x(t)，y=y(t))曲率κ的定義為:

求上式極大點得t=1，與此對應的x=a，y=0。即兩漸近線角平分線ox與雙曲線的交點是曲率最大點。由ox的方程與式(9)聯(lián)立可解得最大曲率點如下:

由前面的分析可知，采用雙曲線函數(shù)模型可得到可得到試樁極限承載力Qu=Qult此為雙曲線的漸近線。而達到此極限值時，沉降S理論上為無限大，與實際破壞荷載和其對應沉降值不一致，因而無法用極限值來預測單樁的極限承載力及其相應樁頂沉降。趙春風，等［12］探討了用指數(shù)函數(shù)最大曲率點判定樁的極限承載力及其相應沉降。

斜率變化對判定樁的極限承載力至關重要，曲率越大的地方斜率變化也越劇烈。作為特征點，最大曲率點在雙曲線上具有唯一性，文中利用雙曲線兩漸近線的角平分線與曲線的交點，作為極限點來判定樁的極限承載力。采用此法判定樁極限承載力及對應的沉降的方法是較為簡便的，而且便于圖解。

3 工程應用

文獻［12］中所列出的S2試樁數(shù)據(jù)共分16級荷載，荷載分級多較，適合驗證最大曲率點預測單樁極限承載力的可行性。由式(9)可知利用S與S/Q之間的線性關系，對原試樁數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后線性回歸即可得到擬合參數(shù)，然后用曲率最大點推求它們的極限承載力及對應的沉降。表1中列出了從5級荷載到16級荷載的擬合結(jié)果。

當采用16級數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果如圖2。

表1 前n級擬合結(jié)果Tab.1 Fitting results of n steps

圖2 S2擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of S2 pile

極限承載力的預測的準確與否跟實驗數(shù)據(jù)的多少有關。特別是破壞的彈塑性段，只有分級足夠多才能描述出此階段斜率變化，進而精確預測塑性破壞階段的曲線形狀，擬合結(jié)果才能更好地逼近真實值。從前5級荷載開始預測，接著用前6級荷載進行預測，直至用前16級荷載預測;逐步預測的單樁的極限承載力如圖3所示，橫坐標表示的為預測所用的前n級荷載。

從圖3可以看出不論是利用漸近線預測的結(jié)果Qult還是采用最大曲率點預測的結(jié)果Qu，均隨著采用級數(shù)的增多逐步增大并逐漸趨于穩(wěn)定。2種預測方法的規(guī)律具有相似性。最大曲率點得到的Qu是Qult折減所得，隨著b值的增大折減的也越多。一般說來圖1中的曲線越平坦，b值也越大，對于較平坦的Q-S曲線，試樁數(shù)據(jù)進入塑性的實驗點較少，為安全起見需要對Qult做較大的折減。假如靜載試驗沒能加載至彈塑性變形段，圖3中的曲線就不會逐漸趨于水平，預測樁的極限承載力是難以達到目標的。

4 結(jié)論

樁土系統(tǒng)本身的復雜性導致試樁的Q-S實測曲線千差萬別，是當前國際研究的難題之一。筆者在分析實驗資料和總結(jié)前人采用雙曲線擬合Q-S實測數(shù)據(jù)的基礎上。探討了采用曲線上曲率最大點判定極限承載力的可行性，并與傳統(tǒng)的以漸近線判定極限承載力方法作對比，得到如下結(jié)論:

1)文中采用雙曲線上曲率最大點判定極限承載力得到的Qu是傳統(tǒng)的以漸近線判定得到的Qult作折減所得，曲線越平坦折減越多。

2)在極限承載力隨擬合采用荷載級數(shù)的規(guī)律方面，最大曲率點法判定出的極限承載力Qu與傳統(tǒng)方法得到的Qult一致，均隨著采用級數(shù)的增多逐步增大并逐漸趨于穩(wěn)定。

3)以雙曲線兩漸近線的角平分線與雙曲線的交點來得出最大曲率點，并據(jù)此判定試樁的極限承載力。此法比直接利用漸近線判定的極限荷載值小有利于工程安全，幾何概念清楚易于圖解及公式計算。實例表明:此法對于極限承載力的判定較為準確但對于沉降的判定尚需進一步研究。

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Prediction of Ultimate Bearing Capacity of Single Pile by the Maximum Curvature Point of Hyperbolic

ZHANG Qi，WANG Cheng
(School of Civil Engineering＆ Architecture，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China)

From the analytic geometry’s point of view，the asymptotic which parallel to the settlement axis had been employed to determine the bearing capacity in the traditional hyperbolic method.In this paper the maximum curvature point of hyperbolic was used to ultimate bearing capacity of single pile.In practical application，the traditional methods were analysed comparing with the method proposed.The results showed that the ultimate bearing capacity Qucalculated by the method in this paper was equivalent to Qultreduction which was calculated by the traditional method.The flatter the curve was，the more the reduction.In the relationship of the ultimate bearing capacity and the load series，maximum curvature method agreed with traditional method;the ultimate bearing capacity would be stable and large with the increasing numble of the load series.

ultimate bearing capacity;hyperbola method;pile;vertical static load test;loading-settlement curve

TU473

A

1674-0696(2011)03-0394-04

2010-12-06;

2011-03-19

張 琦(1984-)，男，江西樟樹人，碩士研究生，主要從事隧道及基礎工作方面的研究。E-mail:76540696@qq.com。