多項(xiàng)式擬合柔性加減速算法的研究

李 丹

（四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，德陽(yáng) 618000）

0 引言

在高速運(yùn)動(dòng)中，為避免啟動(dòng)、停止階段發(fā)生沖擊、超程、振蕩，數(shù)控裝置對(duì)會(huì)運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行加減速控制。一般采用軟件實(shí)現(xiàn)。

傳統(tǒng)的數(shù)控系統(tǒng)常用有直線加減速和指數(shù)加減速兩種。[1]這兩種加減速比較容易實(shí)現(xiàn)，但在啟動(dòng)和結(jié)束中存在加速度突變，不連續(xù)，產(chǎn)生沖擊，且只能按電機(jī)最高轉(zhuǎn)速下輸出的轉(zhuǎn)矩來(lái)選取加速度，使電機(jī)特性得不到充分發(fā)揮。因而不適合高速數(shù)控系統(tǒng)。因此，目前高檔數(shù)控系統(tǒng)采用比較成熟的S型曲線加減速。S曲線加減速通過(guò)對(duì)啟動(dòng)階段和高速階段的加減速衰減，來(lái)保證電動(dòng)機(jī)性能的從分發(fā)揮和減少啟動(dòng)沖擊。 但S曲線涉及的參數(shù)較多，對(duì)程序的實(shí)現(xiàn)來(lái)說(shuō)比較復(fù)雜[2]。并且其加加速度不連續(xù)，柔性受到限制。因此有研究學(xué)者提出了三角函數(shù)加減速算法，其算法較S曲線更簡(jiǎn)化，但三角函數(shù)算法需要引進(jìn)函數(shù)計(jì)算，對(duì)實(shí)時(shí)插補(bǔ)來(lái)說(shuō)，有插補(bǔ)周期長(zhǎng)的問(wèn)題，影響加工速度。

考慮任何函數(shù)都可以展開(kāi)呈多項(xiàng)式，本文提出用多項(xiàng)式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行擬合，得到另一種加減速模式。

1 建立4次多項(xiàng)式函數(shù)

加減速曲線的建立應(yīng)滿足速度變化波動(dòng)小，加速度連續(xù)等條件，并且加速度變化開(kāi)始和終止時(shí)滿足邊界條件，即在開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的速度與要求速度相同，且加速度為0。當(dāng)建立了位移函數(shù)后，速度、加速度、加加速度函數(shù)可通過(guò)求導(dǎo)得到。

因此應(yīng)建立加減速段的位移函數(shù)。當(dāng)速度從發(fā)v1變化到v2時(shí)，可采用4次多項(xiàng)式對(duì)位移函數(shù)進(jìn)行擬合，這樣加加速度達(dá)到1階連續(xù)，系統(tǒng)具有更高柔性。構(gòu)造函數(shù)如下：

假設(shè)加減速段的開(kāi)始時(shí)的位移為0，即

對(duì)位移函數(shù)求導(dǎo)，得到速度函數(shù)

求位移函數(shù)的兩階導(dǎo)數(shù)，可得加速度函數(shù)

求位移函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，可得加加速度函數(shù)

在(16)-(19)的方程中，tm值需要確定。按照系統(tǒng)加減能力，設(shè)為Amax系統(tǒng)的最高加速度，則有：

2 運(yùn)行過(guò)程為三段的4次多項(xiàng)式加減速算法

我們把運(yùn)行方式規(guī)劃為三個(gè)階段：加速段、勻速段、減速段。

在加速段從v1加速到vmax；然后以最大速度vmax運(yùn)行一段距離；當(dāng)離終點(diǎn)一定距離時(shí)，進(jìn)入減速段，減至v2，到達(dá)程序段的終點(diǎn)（如圖1所示）。

圖1 多項(xiàng)式柔性加減速

2.1 加速段V1→Vmax

根據(jù)式(17)所建立的函數(shù)，速度曲線函數(shù)為：

用vmax代替v2，代入式(16)-(19)即可求出位移、速度、加速度、加加速度的值。

代入式(25)求出加速區(qū)長(zhǎng)度為

2.2 減速段Vmax→V2

根據(jù)式(17)所建立的函數(shù)，速度函數(shù)為：

根據(jù)式(24)，得

用vmax代替v1，代入式(16)-(19)即可得到位移、速度、加速度、加加速度。代入式(25)求出減速區(qū)長(zhǎng)度為

2.3 勻速段

那么運(yùn)行過(guò)程將有三個(gè)階段：加速階段、勻速階段、減速階段。勻速階段的時(shí)間

則總運(yùn)行時(shí)間t=tma+tc+tmd

1）從v1加速到某個(gè)速度vm，然后減速到v2，并且剛好到達(dá)終點(diǎn)；

2）從v1加速至v2，然后勻速運(yùn)行至終點(diǎn)；或以v1勻速一段距離，然后減速至v2。2.3.1 第一種方式

2） 減速 ，用vm代替v1， 則位移、速度、加速度、加加速度可按(16)--(19)式計(jì)算

2.3.2 第二種方式

這種方式下，若(1)v1＞v2的減速情況，則先以v1作勻速運(yùn)動(dòng)，再減速至v2；(2)v1＜v2的加速情況，先從v1加速到v2，再勻速。

1）從v1運(yùn)行至v2。加速運(yùn)行區(qū)長(zhǎng)度

圖2 兩種不同的多項(xiàng)式加減速

當(dāng)v1v2較大時(shí)，兩種方式計(jì)算得到時(shí)間接近，而第二種方式簡(jiǎn)單。但v1v2都很小時(shí)，第二種方式時(shí)間較長(zhǎng)，甚至到不了終點(diǎn)，必須采用第一種方式。

當(dāng)條件(29)式不成立時(shí)，即時(shí)，則運(yùn)行過(guò)程只有一個(gè)階段，終點(diǎn)速度v2無(wú)法達(dá)到。對(duì)于減速情況，減點(diǎn)必須提前，否則會(huì)造成過(guò)沖。

僅運(yùn)行一個(gè)階段時(shí)，加減速長(zhǎng)度為

3 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)的直線加減速和指數(shù)加減數(shù)算法在進(jìn)給過(guò)程中存在柔性沖擊的問(wèn)題，提出了一種使用于高速進(jìn)給的加減速算法，采用多項(xiàng)式擬合構(gòu)造加減速曲線，得到的位移、速度、加速度、加加速度均連續(xù)，因而系統(tǒng)運(yùn)行有高度的柔性，避免了柔性沖擊。

[1] 胡建華,廖文和,周儒榮.CNC系統(tǒng)中幾種升降速控制曲線的研究與比較[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),1999,31(6):706-711.

[2] Erkorkmaz K,Altintas Y.High speed CNC system design.Part1.Jerk limited trajectory generation and quintic spline interpolation[J].Int J Mach ToolManufact,2001,41(2):1323-1345.

[3] 朱曉春,吳祥.數(shù)控技術(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007.

[4] 劉俊英,梁豐.數(shù)控系統(tǒng)的實(shí)時(shí)插補(bǔ)及加減速速度控制[J].機(jī)械制造與自動(dòng)化,2008,(1):84-85.

[5] 許良元,桂貴生,彭丹丹.高速加工中的加減速控制[J].CAD/CAM與制造業(yè)信息化,2005,09.