基于貼近度的模糊非線性信貸優化問題研究

于兆吉， 胡祥培， 毛 強

（1.大連理工大學管理與經濟學部，遼寧大連 116024；2.東北大學管理學院，遼寧沈陽 110819）

0 引 言

模糊模式識別分為個體識別和群體識別，在信用等級識別中，由于考慮多個評價屬性，在進行模式識別時，被識別的對象不是論域中一個確定元素，而是論域中的一個模糊子集，所涉及的不是元素對集合的隸屬關系，而是兩個模糊子集間的貼近度，此時必須采用群體識別方法，即模糊貼近度方法.貼近度是對兩個模糊子集接近程度的一種度量，目前關于模糊貼近度的定義很多［1、2］，其運用應視具體情況而定.

模糊貼近度與包含度是模糊集理論中兩個非常基本和重要的概念.模糊貼近度反映了兩個模糊子集的貼近程度；而模糊包含度反映了一個模糊子集包含于另一個模糊子集的程度.這兩個概念密不可分，兩者的相互關系引起許多學者的研究興趣.文獻［3］給出了貼近度的一般化定義，文獻［4］給出了包含度的公理化定義，文獻［5］對貼近度與包含度概念進行了初步總結，文獻［6］討論了6個包含度公式.本文在這些研究工作的基礎上提出一種包含度計算公式，并由其誘導出一種新型貼近度計算公式.

模糊優化方法已被用于工業過程的控制等方面并取得很大成功［7］，目前在經濟管理中也逐漸得到重視［8、9］.然而，非線性模糊規劃在信用風險控制方面的研究卻較為缺乏.本文運用誘導出的新型貼近度計算公式，進行信用評價，進一步研究求解信貸模糊非線性規劃的一種內點算法，并分析該算法的收斂性.

1 貼近度的計算

1.1 模糊向量的構建

設論域U＝｛u1，u2，…，un｝，即有n個信用評價屬性.設各企業信用評價屬性向量組成的集合Y＝｛y1，y2，…，y m｝，m為企業的個數.其中y i＝（y i1y i2…y in），i＝1，2，…，m.對其進行標準化后，得到r i＝（ri1ri2…rin）.其中rij的計算如式（1）所示，Φ1為信用評價正指標或屬性組成的集合，Φ2為信用評價逆指標或屬性組成的集合，Φ3為信用評價趨近指標或屬性組成的集合，y＊j為信用評價指標或屬性j的最理想值.

令＝max｛r1j，r2j，…，rmj｝，j＝1，2…，n.可得由各信用評價屬性的理想數值組成的向量R＊＝…）.對于任一企業i的信用評價屬性向量r i＝（ri1ri2…rin），可計算出它與各信用評價屬性的理想值的相對隸屬度如下式：

1.2 貼近度公式的誘導

定義1［3］實函數s：F（U）×F（U）→［0，1］叫F（U）上的貼近度，若s滿足以下4條：

由式（3）計算出的貼近度在考慮單屬性時，滿足貼近度定義的4個條件，但對于諸如信用評價問題中涉及多個評價屬性的模糊向量的貼近度的計算會出現不滿足條件（iii）的情況.例如＝（0.2 0.4 0.5），s（）＝0.5.顯然，不滿足條件（iii），這與實際也極為不符，因此需對該貼近度定義進行改進，才可用于信用評價.

文獻［3］給出了Hamming貼近度的離散形式的定義，如式（4）所示.該定義符合貼近度的公理化定義，但該定義沒有考慮到各個不同屬性對于評價兩個模糊向量貼近度的權重.

在模糊理論中，貼近度與包含度之間具有相互誘導的關系［5］，同時考慮到包含度對涉及多屬性的模糊向量評價的適應性，在此，借助包含度的思想誘導出貼近度的計算公式.模糊包含度的公理化定義如下：

由此誘導出的兩個貼近度公式既滿足貼近度的公理化定義，又考慮了不同屬性權重的大小，適用于諸如信用多屬性評價一類問題的處理.通過式（6）可以計算出任意兩個企業間的信用貼近度，也可根據式（7）計算出每個企業的信用模糊向量與最理想的信用模糊向量之間的貼近度.設為企業i的信用模糊向量，i＝1，2，…，m為第v信用等級的屬性模糊向量，v＝1，2，…，q，即信用等級共分為q個.則可求出企業i關于各個信用等級的模糊向量貼近度的函數，如下式所示：

2 模糊非線性規劃模型的內點算法

基于包含度誘導出來的企業i關于各個信用等級的模糊向量貼近度的函數h（si），將為如下模糊非線性規劃（模型（9））提供重要信息，特別是其中的信貸模糊約束.

考慮到銀行信貸的目標與約束的實際，可建立如下模糊非線性規劃模型進行優化：

模型（9）中的目標函數根據實際要求可以選取收益最高、風險最低、機會損失最低等目標；其中第1個約束為信貸問題涉及到的非模糊約束，第2個約束為信貸模糊約束，函數h（si）為其提供大量信息，各企業關于各個信用等級的模糊向量貼近度函數h（si）（i＝1，2，…，m）的函數值不同，直接影響各企業對其貸款額約束條件限制的程度.對模糊約束的隸屬函數定義如下：

在求解之前，應先對其進行處理，將模糊問題清晰化.借鑒文獻［10］中提出的方法，在約束集的α－截集水平下，滿足對i，有（x i）≥α，則模型（9）中的第2個約束可轉換為

針對上述模糊非線性模型，給出一種改進的內點算法，具體步驟如下：

步驟1 取λ1＞0（這里取λ1＝1），允許誤差ε＞0.

步驟2 找一可行內點X（0）∈R0，令k＝1，t＝1，αt＝1.R0＝｛X｜g1（X）≤b1，g2（X）≤b2＋（1－αt）h（si）b2，X≥0，i＝1，2，…，m｝.

步驟3 構造障礙函數，如下式所示：

步驟4 以X（k－1）∈R0為初始點，在R0內對障礙函數進行無約束極小化，如下式所示：

步驟5 依據式（14）檢驗是否滿足收斂準則，若滿足，則以X（k）為原問題的近似最優解，停止；否則到步驟6.

步驟6 取λk＋1＜λk（這里取λk＋1＝λk／5），令k＝k＋1，轉向步驟3繼續迭代，若仍得不到近似最優解，到步驟7.

步驟7 取αt＋1＝αt－ξ（這里取ξ＝0.25），令t＝t＋1，轉向步驟3繼續迭代.

3 算法的收斂性

非線性規劃問題內點算法及其收斂性已得到了深入的研究，如文獻［11］建立了相應于模型（9）中未考慮模糊約束的兩種形式的內點算法，并且從理論上證明了在一般的非線性規劃問題假設條件下，這兩種形式分別具有局部收斂性和全局收斂性結果.文獻［12］建立了一個求解模型（9）中未考慮模糊約束的內點勢減算法，從理論上證明了該算法產生的序列全局收斂于模型（9）中未考慮模糊約束的KKT點.本文所提出的內點算法的收斂性證明只需將模型（9）中模糊約束替換為式（11）即可參照文獻［11］證得.

4 算 例

某銀行對企業進行的信用評價有4個信用評價屬性（資產負債率、流動比率、債務如期償還率、利潤率），本月共有3個企業申請貸款.運用式（1）與（2）對3個企業在4個信用評價屬性下進行模糊化處理，得到3個企業的信用模糊向量分別為＝ （1 1 0.85 1），＝ （0 0.7 1 0.75），＝（0.5 0 0 0）.若信用等級分3級＝（1 1 1 1）＝（0.5 0.5 0.5 0.5），＝（0 0 0 0），4個信用評價屬性的權重分別為0.3、0.2、0.3、0.2.

又已知本月銀行的信貸總額度為5 000萬元，對信用等級模糊向量貼近度h（si）區間為［0.8，1］、［0.7，0.8）、［0.5，0.6）的貸款額度一般以2 000萬元為上限基本數.模糊非線性規劃模型（9）清晰化后可轉化為如下模型（式（15）），其目標函數由3個公司的風險與銀行利息收益比值之和構成，即體現銀行信貸追求的風險最小、收益最大的目標，其中0.05為銀行的基本利率，由于各公司的信用等級h（si）不同，實際貸款利率需用系數2－h（si）調整.

應用內點算法求得α＝0.75，f＝0.008 147，x1＝1 555，x2＝1 585，x3＝1 860.從結果中可以看出，雖然企業3的信用級別并不如企業1與企業2，但企業3貸款時，銀行制定的貸款利率要高于前兩個企業，在一定程度上回避了風險，同時企業3的信用等級達到貸款的最低信用等級要求（上文設定的h（si）＞0.5），可以考慮適當給予企業3較多的貸款，由此，銀行可以獲得較高的收益.

5 結 論

模糊理論和方法與經典的非線性規劃模型相結合，一方面能夠提升復雜優化問題的模糊性描述的柔性，另一方面能夠確保問題求解的精確性，兩者優勢互補，無論在理論上還是在實踐中，都具有潛在的研究價值.模糊貼近度與模糊包含度間具有密切關系，通過模糊包含度可以誘導出模糊貼近度.本文提出了基于貼近度的模糊非線性規劃模型，可以實現對于諸如信貸優化等復雜問題的科學化描述，其求解的內點算法的收斂性得以證明.算例的應用結果進一步驗證了本文所提出的基于貼近度的模糊非線性信貸優化模型及算法的有效性.

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