修形斜齒輪嚙合性質及誤差影響分析

尚振國， 王德倫

（大連理工大學機械工程學院，遼寧大連 116024）

0 引 言

隨著風力發電增速器、船舶推進器等大功率齒輪傳動裝置向高速化、大型化、重載化和環?；较虬l展，齒輪傳動裝置的振動和噪聲問題日益突出，齒輪修形技術成為解決齒輪傳動裝置的振動和噪聲的有效途徑.文獻［1］總結了直齒輪齒廓修形理論.Litvin等應用輪齒接觸分析技術研究了齒廓和齒向采用二次曲線的雙鼓形修形斜齒輪的嚙合區域及傳動誤差［2～4］.方宗德、常山等應用柔度系數法，并以荷載均布和傳遞誤差最小為目標函數，以數學規劃法確定齒輪修形參數［5～8］.Wagaj等采用有限元接觸分析技術，以修形量、修形長度、齒向修鼓量等為參數，計算了不同參數下2D修形和3D修形齒輪彎曲應力和接觸應力的變化情況［9］.

本文在考慮制造、安裝誤差等實際嚙合條件下，分析一種保留部分漸開線齒面的局部修形斜齒輪的嚙合軌跡及安裝誤差對嚙合軌跡的影響.

1 含誤差的齒面嚙合方程

1.1 坐標系

圖1 實際齒面坐標系Fig.1 Coordinate systems of real tooth surface

如圖1所示，用3個坐標系表示被動齒輪實際齒面.坐標系S6（O6－x6y6z6）與理論齒面固連，坐標系S4（O4－x4y4z4）與實際齒面固連，坐標系S2（O2－x2y2z2）為隨被動齒輪一起轉動的動坐標系，引入固定坐標系Sf（Of－xfyfzf）與機架固連.S6→S4的坐標變換矩陣M46代表實際齒面與理論齒面之間的誤差，包括齒形誤差、受載變形及幾何修形，用沿接觸點公法線距離δ2表示，對應的齒輪轉角誤差用Δψ2表示；S4→S2的坐標變換矩陣M24代表實際齒輪軸線與理論齒輪軸線之間的平行度誤差及位置誤差（中心距誤差）；S2→Sf的坐標變換矩陣Mf2代表在固定坐標系Sf中的曲面族.

同樣引入坐標系S1、S3、S5表示主動齒輪實際齒面.

在初始位置，S1與Sf重合，x2與xf同向，y2與yf重合，z2與zf同向，坐標原點O2、Of間的距離等于齒輪副中心距.

1.2 齒面嚙合方程

齒面Σ1和Σ2在固定坐標系Sf中的曲面族方程為

同樣地，可以得到齒面Σ1的坐標變換矩陣Mf1、M13、M35，這里不再贅述.

齒面Σ1和Σ2在固定坐標系Sf中的單位法向量為

L為各坐標系間的坐標變換矩陣，由對應M矩陣去掉最后1行和最后1列得到.

齒面Σ1和Σ2在固定坐標系Sf中任意瞬時連續相切接觸的條件為

方程組（9）稱為含誤差的齒面嚙合方程［10］.

方程組（9）、（10）包括兩個矢量方程，共有6個未知數（θ1，φ1，ψ1，θ2，φ2，ψ2），但只能生成5個標量方程，因為‖‖＝‖‖.如果給定主動齒輪轉角ψ1，就可以求出其他5個參數θ1（ψ1）、φ1（ψ1）、θ2（ψ1）、φ2（ψ1）、ψ2（ψ1）.

1.3 接觸跡線和傳遞誤差

接觸跡線：如圖2所示，主、被動齒輪接觸點的軌跡，稱為接觸跡線（contact path），用符號Pc表示.

接觸跡線在齒面Σ1上表示如下：

傳遞誤差：如圖3所示，被動齒輪實際嚙合位置與理論嚙合位置之差，稱為傳遞誤差（transmission error），用符號Et表示.

圖2 接觸跡線示意圖Fig.2 Schematic plan of contact path

圖3 傳遞誤差示意圖Fig.3 Schematic plan of transmission error

2 齒面方程

令直角坐標系S1（O1－x1y1z1）的坐標原點取在輪齒中間截面與齒輪軸線的交點上，y1軸通過節點p，z1軸沿齒輪軸線方向，如圖4所示.齒面Σ1的參數方程可以表示成

圖4 主動齒輪坐標系Fig.4 Coordinate system of driving gear

同樣地，在直角坐標系S2（O2－x2y2z2）中齒面Σ2的參數方程可以表示成

其中S2（θ2，φ2）為齒面Σ2的修形曲線方程.

3 修形曲線方程

齒輪修形包括齒廓修形和齒向修形.齒廓修形是指沿齒高方向從齒面上去除一部分材料，從而改變齒廓形狀.齒廓修形的參數包括修形量、修形長度和修形曲線.

修形量是指齒廓上任意位置沿法向去除材料的厚度.齒頂和齒根部位修形量最大，如圖5中et1、er1所示（下標t表示齒頂，下標r表示齒根，下同）.

修形曲線表示齒廓上任意位置與對應修形量的關系，如圖5中γ1所示.

修形長度是指修形曲線在齒廓上的起始點至齒頂或齒根終止點的距離，可以在齒輪副嚙合線上用起始點對應的發生線滾動角表示，如圖5中θt1、θr1所示.

齒向修形包括螺旋角修形和齒端修鼓兩種形式.齒向修形參數包括螺旋角修形量Δβ（在齒面方程中直接以螺旋角大小表示），齒向修形量h11、h12，齒向修形長度b11、b12，齒向修形曲線ζ1，如圖5所示.

在這里，主動齒輪的齒頂和齒根采用二次拋物線修形［12］，修形起始點取單雙齒嚙合轉換點θt1、θr1.齒的兩端也采用二次拋物線修形，修形長度b11和b12用對應的端面截形旋轉角φmin1、φ11、φ12、φmax1表示，如圖5所示.這樣，修形曲線方程可以表示成

圖5 主動齒輪修形示意圖Fig.5 Schematic plan of driving gear modification

被動齒輪齒廓采用直線修形，齒頂修形量et2等于零，齒根修形量er2最大.齒向采用拋物線修形，各參數在嚙合面上的表示如圖6所示.修形曲線方程可以表示成

圖6 被動齒輪修形示意圖Fig.6 Schematic plan of driven gear modification

4 嚙合方程的求解方法

4.1 嚙合方程的等效解法

將方程組（9）、（10）的求解問題轉化為齒面Σ1和Σ2間距離最短及單位法向量偏差最小的優化問題，即

4.2 初值的確定

5 算例分析

根據前面的理論分析，計算了一對齒輪副（見表1）在5組修形參數組合方式下（見表2）的接觸跡線和傳遞誤差，如圖7和8所示，可見在第Ⅴ組修形參數情況下，接觸跡線較為理想.因此將修形參數固定為第Ⅴ組，在軸線偏斜Δγ（2）x、Δγ（2）y分別為3′情況下，考察了軸線平行度誤差對接觸跡線和傳遞誤差的影響，如圖9和10所示.

表1 齒輪副幾何參數Tab.1 Gear pair parameters

表2 修形參數Tab.2 Modification parameters 10－2 mm

圖7 接觸跡線Fig.7 Contact path

圖8 傳動誤差Fig.8 Transmission error

圖9 有軸線偏差情況下的接觸跡線Fig.9 Contact path under axial error

圖10 有軸線偏差情況下的傳動誤差Fig.10 Transmission error under axial error

6 結果討論

齒輪修形的主要目的是控制接觸軌跡、調整傳遞誤差和增強對制造安裝誤差的適應性.如表2所示，修形參數組合Ⅰ表示被動齒輪進行螺旋角修形，而主動齒輪不修形，在這種情況下，齒輪副沿輪齒邊緣接觸，傳遞誤差近似呈線性分布，見圖7、8曲線修形參數組合Ⅰ.

修形參數組合Ⅱ表示主動齒輪進行齒廓修形，被動齒輪進行螺旋角修形，在這種情況下，接觸跡線由齒頂向齒面中間轉移，可以消除齒頂邊緣接觸現象，但齒端仍存在邊緣接觸現象，見圖7曲線修形參數組合Ⅱ.

修形參數組合Ⅲ表示主動齒輪進行齒廓修形和齒向修形，被動齒輪進行螺旋角修形，在這種情況下，接觸跡線由齒廓方向轉向沿齒輪軸向方向，可以消除齒輪端面邊緣接觸現象，見圖7曲線修形參數組合Ⅲ.

修形參數組合Ⅳ表示在修形參數組合Ⅲ基礎上，被動齒輪又進行軸向修形，修形效果也與修形參數組合Ⅲ類似，見圖7曲線修形參數組合Ⅳ.

修形參數組合Ⅴ表示在修形參數組合Ⅳ基礎上，被動齒輪又進行齒廓修形，在這種情況下，接觸跡線進一步向齒面中間轉移，接觸跡線較為理想，見圖7曲線修形參數組合Ⅴ.

由圖8可見，齒廓和（或）齒向修形以后，傳遞誤差曲線在嚙入側和嚙出側呈不對稱拋物線分布（嚙出側偏大），中間段近似呈線性分布.這樣，在受載情況下，有利于減少輪齒嚙入和嚙出幾何干涉，降低振動和噪聲［12］.

由圖9可見，采用修形參數組合Ⅴ進行齒輪修形以后，在存在軸線偏差的情況下，接觸跡線變化不大.

7 結 論

（1）主動齒輪采用齒頂和齒根二次拋物線修形，被動齒輪采用齒根二次拋物線修形和螺旋角修形，可以將接觸跡線調整至齒面中間區域，使傳遞誤差曲線呈拋物線分布，有利于改善輪齒嚙合狀態.

（2）采用前述修形方式，可以降低輪齒嚙合對制造和安裝誤差的敏感性，提高嚙合穩定性.

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