曲線束在高考解題中的運用

●顧 慧 (青山高級中學 江蘇無錫 214063) ●侯 斌 (太湖高級中學 江蘇無錫 214125)

曲線束在高考解題中的運用

●顧 慧 (青山高級中學 江蘇無錫 214063) ●侯 斌 (太湖高級中學 江蘇無錫 214125)

1 預備知識

曲線束包括:直線束、圓束和二次曲線束．

1．1 直線束

若直線l1:a1x+b1y+c1=0與直線l2:a2x+b2y+c2=0相交于點P，則

λ(a1x+b1y+c1)+μ(a2x+b2y+c2)=0

(其中λ，μ∈R，且不全為0)表示過點P的所有直線，被稱為過點P的直線束．

1．2 圓束

圓C1:x2+y2－2c1x－2d1y+f1=0與圓C2:x2+y2－2c2x－2d2y+f2=0，則

表示一族圓，被稱為圓C1與圓C2的共軸圓(當λ與μ互為相反數時，被稱為根軸)．

1．3 二次曲線束

2個二次曲線通常有4個交點(這些交點可能有重合的，也可能有虛的)．如果這2個二次曲線的方程分別為S1=0與S2=0(S1，S2是關于x，y的二次式)，那么通過它們交點的二次曲線束可以寫成 λS1+μS2=0(其中 λ，μ∈R，且不全為0)．

2 問題提出

(3)設t=9，求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)．

本題是2010年江蘇省數學高考試題第18題，這里僅考慮第(3)小題．給出的參考答案如下:

所以直線MN過點D．故直線MN必過x軸上的點(1，0)．

分類討論和一大堆繁瑣的演算背后是否忽略了某種解析幾何的技巧呢?

3 用曲線束探求高考題

(1)求橢圓的方程;

(2)求證:直線PQ過定點，并求出定點的坐標．

本題是南京師范大學附屬中學的一道高考模擬題，第(2)小題和2010年江蘇省數學高考試題第18題第(3)小題非常相似，區別僅在于高考題將切線改為割線．

從而直線PQ過定點(1，0)．

此題解法運用了直線束的知識，繞開切點坐標的求解．2010年江蘇高考題中割線和橢圓的交點是否也能繞開不求?在回答這個問題之前，先看2008年江蘇省數學高考試題第9題:

圖2

圖3

這2道題目都是借助直線束巧妙繞開求交點坐標的解法．以橢圓為背景的二次曲線問題可以借助于二次曲線束，省去求交點坐標繁瑣的演算過程．可得過A，B，M，N這4個交點的二次曲線束．考慮其中退化為2條相交直線AB和直線MN的一條二次曲線．因為直線AB的方程不含x項，所以消去x2項，將式(1)－式(2)·化簡得

于是直線AB的方程為:y=0，直線MN的方程為:

令y=0，得x=1，即直線MN恒過定點(1，0)．

4 教材中的圓束問題

《數學2》(蘇教版)第2章“2．2．3圓與圓的位置關系”中的例題2:

求過點A(0，6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程．

教材中提供了2種解題思路，我們不妨再用圓束來解決這個問題．可以把切點看作是共軸圓中的一員，它是半徑為0的“點圓”．

解原點可以看作是一個圓x2+y2=0，所求圓在共軸圓x2+y2+10x+10y+λ(x2+y2)=0．由于這個圓過點A(0，6)，代入方程可求出λ=－，因此可求出所求圓的方程:x2－6x+y2－6y=0．

5 結語

解題策略的選擇和計算量的大小直接影響學生解析幾何題的解答．針對近2年的部分解析幾何高考題，筆者提出這樣一個解題思路:利用曲線束，從解題技巧出發，避開繁雜的計算，可以得到比較優美的答案．

［1］ 單墫．解析幾何的技巧［M］．北京:中國科學技術大學出版社，2009:38;95;137．