函數與方程的思想在高考解題中的運用

●蔣際明 (湖州中學 浙江湖州 313000)

函數與方程的思想在高考解題中的運用

●蔣際明 (湖州中學 浙江湖州 313000)

1 高考展望

1．1 考點回顧

函數與方程是中學數學中的重要概念，它們之間有著密切的聯系．函數與方程的思想方法幾乎滲透到中學數學的各個領域，在解題中有著廣泛的應用．其基本思想方法是依據題意構造恰當的函數或建立相應的方程來解決問題．

在中學數學中，很多函數的問題需要用方程的知識和方法來支持，同時很多方程的問題需要用函數的知識和方法去解決．譬如對于函數y=f(x)零點的問題可轉化為方程f(x)=0的問題，也可以把函數y=f(x)看作二元方程y－f(x)=0，從而使函數與方程相互轉化．

1．2 高考預測

縱觀近幾年的高考試題，對函數知識的綜合應用以及函數與方程思想等數學思想方法的考查一直是高考的重點和熱點．在數學高考試卷中，與函數相關的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有能力要求較高的主觀性試題．

在近幾年的高考中，函數思想的應用主要體現在判斷零點存在性、求變量的取值范圍和研究不等式問題等方面;方程思想的應用主要體現為4個漸進層次:解方程、含參數方程討論、將有關問題轉化為對方程的研究和構造方程求解等．

筆者預測2011年高考對函數與方程思想的考查趨勢:3個“二次”(二次函數、二次方程、二次不等式)的問題、基本初等函數性質的應用、函數的零點以及函數圖像交點問題仍將會重點考查，高觀點下的函數創新試題將會在中高檔題或壓軸題中出現，一般難度也較大．

2 典例剖析

2．1 運用函數與方程的思想研究函數零點問題

例1設函數f(x)=4sin(2x+1)－x，則在下列區間中函數f(x)不存在零點的是 ( )

A．［－4，－2］ B．［－2，0］

C．［0，2］ D．［2，4］

(2010年浙江省數學高考試題)

分析本題考查函數零點的概念，函數的零點、方程的根以及函數圖像的交點之間的轉化思想．函數f(x)的零點即為函數g(x)=4sin(2x+1)與h(x)=x圖像的交點．在同一坐標系中作出2個函數的圖像，易得出 g(x)=4sin(2x+1)在［－4，－2］內都大于0，h(x)=x在［－4，－2］內小于0，沒有交點，于是函數f(x)在［－4，－2］內不存在零點．故選A．

2．2 運用函數與方程的思想求參數的取值范圍

點評本題主要考查了函數、不等式以及由不等式恒成立求參數范圍問題，體現了函數與方程思想的應用，是較為典型的恒成立問題．恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉化為最值的方法求解．

2．3 運用函數與方程的思想解決不等式問題

點評看到這個題目自然會想到直接將條件進行變形，這樣就會變得相當復雜．而運用方程的思想構造二次方程并利用根的判別式，使問題很快得到解決．例4設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的2個根x1，x2滿足0＜x1＜x2＜．當 x∈(0，x)時，證明:x＜f(x) ＜x．

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分析在已知方程f(x)－x=0兩根的情況下，根據函數與方程根的關系，可以寫出函數f(x)－x的表達式，從而得到函數f(x)的表達式．

證明由題意可知

點評本題以二次函數為本源，選擇了二次函數的兩根式y=a(x－x1)(x－x2)，從而直接顯示出二次函數與方程根的關系，利用二次函數的兩根式證明不等式可以起到不必再因式分解就可以判斷出差值正負的功效．

2．4 運用函數與方程的思想解決數列問題

例5設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則 d 的取值范圍是＿＿ ．

點評本題雖然考查等差數列的前n項和公式，但解題中運用了一元二次方程有實根的判定方法，體現了函數與方程的思想．

2．5 運用函數與方程的思想解決解析幾何題

(2010年浙江省數學高考試題)

例6已知橢圓C:1=1(a＞b＞0)的右頂點為A(1，0)，過 C1的焦點且垂直長軸的弦長為1．

圖1

(1)求橢圓C1的方程．

(2)設點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N．當線段AP的中點與MN中點的橫坐標相等時，求h的最小值．

(2009年浙江省數學高考試題)

點評求參數的取值范圍是解析幾何中的重要問題．解決這類問題一般有2種途徑:其一是建立目標函數，利用目標函數的定義域、值域、單調性等知識來解決;其二是構建一元二次方程，利用方程的思想，特別是運用根的判別式、韋達定理等知識，從而使問題巧妙解決．

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