簡述拋物線中一組優美的新結論

●張乃貴 張 俊 (徐州師范大學2009級教育碩士 江蘇徐州 221116)

簡述拋物線中一組優美的新結論

●張乃貴 張 俊 (徐州師范大學2009級教育碩士 江蘇徐州 221116)

最近在研究拋物線時，筆者發現了一組簡潔、優美的新結論，現將之整理成文．為敘述方便，本文約定:文中所涉及的所有直線的斜率都存在，并用kAB表示直線AB的斜率．

命題1已知四邊形ABCD內接于拋物線y2=2px(p＞0)，對邊AB，CD與x軸分別相交于點E，F，2條對角線AC，BD與x軸都相交于點M，則

為了簡潔解決問題，先證明一個引理:

引理過拋物線y2=2px的對稱軸上一定點(a，0)的直線與此拋物線相交于2個點，則這2個點的縱坐標之積為定值－2pa．

證明直線的方程可設為x=my+a，將直線方程與拋物線方程聯立x=my+a

消去x得

由韋達定理得，y1·y2=－2pa為定值．

圖1

推論2拋物線y2=2px的內接四邊形的2組對邊、2條對角線所在的3對直線中，只要有1對直線的傾斜角互為補角，則另2對直線的傾斜角也互為補角．

證明由推論1知，直線P1A，P2B的傾斜角互為補角等價于kP1A+kP2B=0，即

在推論3中，如果點P1，P2重合，那么可得推論4．

推論5拋物線C的方程為y2=2px(p＞0)，P1Q1，P2Q2是拋物線C上垂直于x軸的任意2條弦，分別過P1，P2作傾斜角互補的2條直線交拋物線C于另外2個點M，N，則直線MN∥Q1Q2．

當點P1，P2重合于點P時，點 Q1，Q2重合于點Q，直線Q1Q2成為點Q處的切線，便可得到

推論6經過拋物線y2=2px(p＞0)任意一條與對稱軸垂直的弦PQ的一個端點作關于直線PQ對稱的2條直線交拋物線于另外2個點M，N，則直線MN平行于弦PQ的另一端點處的切線．