均值不等式幾何解釋的探究

●丁小剛 (奔牛高級(jí)中學(xué) 江蘇常州 213131)

均值不等式幾何解釋的探究

●丁小剛 (奔牛高級(jí)中學(xué) 江蘇常州 213131)

圖1

圖2

教學(xué)至此，筆者覺得教科書給師生留下了較大的思維空間，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生探究以下問題:

(1)均值不等式中的4種平均值的大小關(guān)系是否都能作出平面幾何解釋?

(2)均值不等式能用平面幾何知識(shí)解釋，那能否用解析幾何知識(shí)解釋?

經(jīng)過師生的共同探究，得到了滿意的結(jié)果．現(xiàn)將探究過程簡述如下，僅供參考．

1 用平面幾何知識(shí)解釋均值不等式的探究過程

以上的探究過程讓學(xué)生很受鼓舞．但是馬上發(fā)

圖3

在圖 3中，分別以 AB，BC為斜邊作等腰直角三角形△ABF和△BCG，連結(jié)FG．由M，N分別是AB和 BC的中點(diǎn)，得MNGF是直角梯形．因?yàn)?/p>

2 用解析幾何知識(shí)解釋均值不等式的探究過程

用平面幾何知識(shí)解釋均值不等式，教科書對(duì)此內(nèi)容作了開拓性的提示，比較容易做到．現(xiàn)在要用解析幾何知識(shí)解釋均值不等式，無疑對(duì)師生都是一個(gè)挑戰(zhàn)．經(jīng)過一番努力，師生共同總結(jié)出下面3個(gè)注意點(diǎn):

(1)為了便于應(yīng)用解析幾何知識(shí)，將均值不等式改寫成:

若 x＞0，y＞0，則

(2)解析幾何的思想方法是建立點(diǎn)和坐標(biāo)之間以及曲線和方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此探究方向是考慮這4種平均值能否與相應(yīng)的曲線方程聯(lián)系起來，它們的大小能否用相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示．

如圖4，考慮平面直角坐標(biāo)系中的固定直線l:x+y=2m，以及雙曲線族xy=c(c＞0)．

由圖4可以看出，當(dāng)雙曲線與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)且 c取得最大值時(shí)的曲線，必定是在點(diǎn)Q(m，m)處與直線l相切的雙曲線，此時(shí)c=m2，即當(dāng)且僅當(dāng)x=y=m時(shí)，不等式取到等號(hào)．

這一步探究的成功具有開拓性的價(jià)值，師生無不為之振奮．

圖5

圖6

如圖5，考慮平面直角坐標(biāo)系中的固定直線l:x+y=2m，以及圓系:x2+y2=2r2(r＞0)．令直線y=x與圓交于點(diǎn) P(xP，yP)，交直線 l于點(diǎn) Q(xQ，yQ)，同樣直線l與圓必定有交點(diǎn)M(x，y)．因?yàn)?/p>

又 xP=yP，所以

由圖5可以看出，圓與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，且r取得最小值的曲線必定是在點(diǎn)Q(m，m)處與直線l相切的圓，此時(shí)r=m．即當(dāng)且僅當(dāng)x=y=m時(shí)，不等式取到等號(hào)．

如圖6，考慮平面直角坐標(biāo)系中的固定直線l:x+y=2m，以及雙曲線族 xy=c(c＞0)．令直線 y=x交雙曲線于點(diǎn)P(xP，yP)，交直線l于點(diǎn)Q(m，m)．因?yàn)?xy=xPyP=c，又 xP=yP，所以

再設(shè)雙曲線上縱坐標(biāo)等于m的點(diǎn)為N(xN，m)．由m·xN=xy，得

因?yàn)?xN≤xP，所以

當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線與直線l相切，即x=y=m時(shí)，不等式取到等號(hào)．

以上是用點(diǎn)的坐標(biāo)來比較4種平均值的大小，其實(shí)還可以利用曲線與直線的位置關(guān)系來比較這些平均值的大小．

探究活動(dòng)結(jié)束后，筆者感觸頗多．教科書中許多內(nèi)容的陳述往往是美麗而冰冷的，火熱的思考被淹沒在形式化的海洋里．如何點(diǎn)燃和激起學(xué)生火熱的思考，并欣賞數(shù)學(xué)中冰冷的美麗，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)．本文所探究的均值不等式的幾何解釋不過是滄海一粟．教科書中的珍寶可以說是俯拾即是，關(guān)鍵是要求教師做一個(gè)有心人，引領(lǐng)學(xué)生不斷地去挖掘數(shù)學(xué)豐富的內(nèi)涵，不懈地進(jìn)行探索．

數(shù)學(xué)教學(xué)過程決定學(xué)生怎樣看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．如果在教學(xué)中要求學(xué)生只是模仿和記憶，只是訓(xùn)練和操作，那么學(xué)生會(huì)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成就是解題．這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是枯燥的、與日常生活沒有聯(lián)系的．反之，如果注重教學(xué)過程，使學(xué)生理解知識(shí)的來龍去脈，尋求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，建立完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，那么學(xué)生就會(huì)逐漸地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是有著內(nèi)部聯(lián)系的整體，數(shù)學(xué)知識(shí)有著自身的發(fā)展規(guī)律，而這些又可以通過自己的努力去探究獲得．這樣的觀念將會(huì)鼓勵(lì)他們?nèi)ハ龜?shù)學(xué)知識(shí)的神秘感，激發(fā)他們勇于探索的勇氣，引導(dǎo)他們尋找數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．這也正是一個(gè)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師所要追求的理想的教學(xué)效果．

［1］ 柯朗(Courant，R．)，羅賓斯(Robbins，H．)．?dāng)?shù)學(xué)是什么［M］．汪浩，朱煜民，譯．長沙:湖南教育出版社，1984．

［2］ 胡典順，徐漢文．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的過程特征和過程價(jià)值初探［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2007(23):1-3．