簡述考查學生數學猜想的幾種常見方式

●李樹臣 (沂南縣教育局 山東沂南 276300)

簡述考查學生數學猜想的幾種常見方式

●李樹臣 (沂南縣教育局 山東沂南 276300)

《全日制義務教育數學課程標準》(以下簡稱《標準》)非常強調對學生猜想能力的培養．例如，在“基本理念”中指出:“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”;在“設計思路”中指出，“推理能力主要表現在:能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例”;在闡述課程目標時指出，讓學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”等等．由此可見，在數學教學中培養學生的數學猜想能力非常重要．可喜的是，最近幾年的數學中考命題者在這方面進行了有益而大膽的探索，試卷中出現了一些引導學生去猜想的題目．為此，筆者從2010年各地的中考試卷中選擇部分有代表性的題目進行分析，以供參考．

1 從算式的計算中，歸納猜想規律

(2010年山東省濟寧市數學中考試題)

分析本題以簡單的分數計算為載體，以考查學生歸納猜想的能力為主．(1)觀察給定的3個等式，即可猜想得到結論;(2)根據分式加減運算法則通分計算;(3)根據第(1)小題的結果計算．

點評給定幾個代數計算式子，在計算的過程中通過歸納、猜想得到有關的規律，然后用代數變形的方式證明猜想的正確性，并利用猜想得到的規律解答給定的問題，這是一種常見的題型．解答這類問題需要有較強的觀察、分析、判斷、類比歸納等能力．在教學過程中，教師應結合具體的教學內容設計一些類似的題目讓學生去分析和思考，學生的歸納猜想能力必將得到較大的提高．

2 與數形結合思想聯系在一起，探索并猜想有關規律

案例2 用棋子按下列方式擺圖形(如圖1所示)，依照此規律，第n個圖形比第n－1個圖形多＿＿枚棋子．

(2010年江蘇省徐州市數學中考試題)

分析本題創設了一個觀察棋子圖形中棋子個數的“數形結合”的數學模型．在解答時，需要從簡單到復雜進行探究:

第1個圖形顯然有1枚棋子;

第2個圖形有5枚棋子，它們分別在一個正五邊形的頂點處．為了便于分析，構造正五邊形ABCDE，把五邊形一個頂點A看成是第1個圖形的一個點，這一點A是五邊形的邊AB和AE的交點．除這2條邊外，還有3條邊BC，CD，DE，每邊上有2個點，這樣還有3×2=6個點，但其中C，D這2個頂點計算了2次，應減去，這樣就還有3×2－2=4個，即第2個圖形有1+3×2－2=5枚棋子．

第3個圖形比第2個圖形多一層五邊形，內層五邊形就是第2個圖形，有5枚棋子．外層五邊形每邊上3枚棋子，類比第2個圖形，可計算第3個圖形中棋子的枚數為:5+3×3－2=12個．

同樣，第4個圖形中棋子的枚數為

由此可以猜想得到規律:第n個圖形中棋子的枚數是第n－1個圖形中棋子的枚數加上3×n－2，這里3×n－2=3n－2就是增加數．

點評從分析的過程看，本題是借助于“圖形”的形象性與直觀性逐步得到解決的．除了考查學生的數學猜想能力外，還滲透了數形結合的思想．本題給我們的啟發有二:一是在數學學習中，當遇到一個問題涉及到很多或無窮多情形時，可以從問題的簡單情形或特殊情形入手，通過簡單情形或特殊情形的試驗，從中發現一般規律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑;二是在教學中，千萬不要就知識點而講知識點，一定要把這些“顯知識”背后所“隱含”的數學思想揭示出來．做到用數學思想方法來“統領”知識點，以達到優化知識結構的目的，因為只有這樣被“優化”起來的知識結構才具有生命力和創造性．

3 從對簡單幾何體模型的觀察出發，猜想幾何體中有關元素之間的數字規律

案例3十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型(如圖3所示)，解答下列問題:

圖3

(1)根據上面多面體模型完成表1中的空格，可得出頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的一個有趣的關系式，如表1所示．

表1 頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)的數值表

你發現頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的關系式是＿＿ ．

(2)一個多面體的面數比頂點數大8，且有30條棱，則這個多面體的面數是＿＿ ．

(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面由三角形和八邊形這2種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱．設該多面體外表面三角形的個數為x，八邊形的個數為y，求x+y的值．

(2010年浙江省寧波市數學中考試題)

分析(1)仔細觀察給定的4個多面體模型，可知四面體的棱數為6，正八面體的頂點數為6;根據給定的4個多面體的頂點數(V)、面數(F)和棱數(E)之間的數量關系，可歸納、猜想得到它們之間的關系為V+F－E=2．(2)根據第(1)小題的結論求解．(3)多面體的面數為x+y，棱數為=36條．根據題意可列出一個方程，在求解時應把x+y當作一個整體．

點評 歐拉是一位著名數學家，他淵博的知識、無窮無盡的創作精力和空前豐富的著作令世人驚嘆不已．本題的特點是給出幾個幾何體模型，讓學生觀察它們的頂點數、面數及棱數，為了啟發學生能獨立猜想到每個幾何體模型的這“3個數量”之間的關系，即猜想得到著名的歐拉公式．本題用圖表給出這些數中的大部分數，這樣可降低解題難度．學生一旦猜想到它們之間的關系，后面的問題就可以直接利用這一關系進行解答．

4 通過創設具體的問題情境、數學實驗等，考查學生數學猜想能力

圖4

案例4 問題再現在現實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至服裝面料設計中隨處可見．在八年級課題學習“平面圖形的鑲嵌”內容時，對于單種多邊形的鑲嵌問題，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌．在此把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題來共同探究．

我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖4，若用正方形鑲嵌平面，則可以發現在一個頂點O周圍圍繞著4個正方形的內角．

試想:若用正六邊形來鑲嵌平面，則在一個頂點周圍應該圍繞著＿＿ 個正六邊形的內角．

問題提出如果要同時用2種不同的正多邊形鑲嵌平面，那么能設計出幾種不同的組合方案?

問題解決 猜想1是否可以同時用正方形、正八邊形這2種正多邊形組合進行平面鑲嵌?

分析可以將此問題轉化為數學問題來解決．從平面圖形的鑲嵌中可以發現，解決問題的關鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的2種正多邊形的內角特征．具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內角恰好拼成一個周角．

驗證1在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有x個正方形和y個正八邊形的內角可以拼成一個周角．根據題意得

結論1在鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內角可以拼成一個周角，因此可同時用正方形和正八邊形這2種正多邊形組合進行平面鑲嵌．

猜想2是否可以同時用正三角形和正六邊形這2種正多邊形組合進行平面鑲嵌?若能，請按照上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案;若不能，請說明理由．

上面探究了同時用2種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學們用同樣的方法，一定會找到其他可能的組合方案．

問題拓廣請你仿照上面的研究方式，探索出一個同時用3種不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌的方案，并寫出驗證過程．

(2010年山東省青島市數學中考試題)

分析本題從日常生活中的“鑲嵌”問題出發，可分如下4個階段展開:問題再現——問題提出——問題解決——問題拓廣．

(1)在問題再現階段，要求學生觀察圖4，回答用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應該圍繞著幾個正六邊形的內角?這非常簡單，學生都能類比猜想得到結論為3．

(2)提出問題:如果要同時用2種不同的正多邊形鑲嵌平面，那么能設計出幾種不同的組合方案?

結論2在鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內角或者圍繞著4個正三角形和1個正六邊形的內角可以拼成一個周角，因此可以同時用正三角形和正六邊形這2種正多邊形組合進行平面鑲嵌．

猜想3是否可以同時用正三角形、正方形和正六邊形這3種正多邊形組合進行平面鑲嵌?

驗證3在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有m個正三角形、n個正方形和c個正六邊形的內角可以拼成一個周角．根據題意得

因此可找到惟一一組適合方程的正整數解為

(3)在問題解決階段給出了2個猜想，為了降低難度，題目對猜想1進行了分析和驗證并在得到結論1之后，提出了猜想2．對于這個猜想要求學生仿照對猜想1的驗證過程，對猜想2進行驗證，并歸納得出結論2．

(4)在問題拓廣階段，要求學生自己提出猜想、進行驗證、最后歸納出結論．

本題的特點是引導學生進行“閱讀—理解—猜想—驗證”，文字敘述較長，如果學生不認真進行分析，那么可能會無從下手．解答的關鍵在于仔細“審題”，理解題意．

驗證2在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內角可以拼成一個周角．根據題意得

因此可找到2組適合方程的正整數解為

結論3在鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正三角形、2個正方形和1個正六邊形的內角可以拼成一個周角，因此可以同時用正三角形、正方形和正六邊形這3種正多邊形組合進行平面鑲嵌(說明:本題答案不惟一，符合要求即可)．

點評近年來，各地中考卷中經常出現這樣的問題:提供一個學生熟悉的生活材料，要求學生能夠從給出的問題情景中經過分析找到解決問題的規律和方法，靈活運用有關知識加以解決．本題以學生熟悉的生活實際問題(鑲嵌)為背景，通過“再現生活中的實際問題——提出問題——問題解決——問題拓廣”，考查學生把能否“鑲嵌”的問題轉化為能否“拼成”一個周角的問題的能力，進而考查學生利用方程的知識解答問題的能力．解決這類問題需要有較強的閱讀理解能力和數學猜想能力，一般思路是:類比具體的范例猜想得到解題方法和規律，“模擬”此方法和規律解答類似相關問題．從深層看，本題以“鑲嵌”為背景，考查學生類比猜想、推理、論證的能力．

案例5 (1)操作發現如圖5，在矩形ABCD中，E是 AD的中點，將△ABE沿 BE折疊后得△GBE，且點G在矩形ABCD的內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎?說明理由．

(2)問題解決保持第(1)小題中的條件不變，若 DC=2DF，求的值．

(3)類比探求 保持第(1)小題中條件不變，若 DC=n·DF，求的值．

(2010年河南省數學中考試題)

分析(1)在實驗操作時，只要能確定矩形ABCD的邊AD的中點E，按要求進行操作，將會發現GF=DF．仔細觀察發現，連結EF，得Rt△EGF≌Rt△EDF．只要能猜想到這一點，問題就容易解決了．(2)要求的值，只要求出即可．因為BF=BG+GF=AB+GF=DC+DF，而 DC=2DF，所以考慮到△BCF是直角三角形，利用勾股定理BC2+FC2=BF2，得BC與DC的關系，進而得解．(3)類比第(2)小題即可求解．

圖5

圖6

解(1)同意．如圖6，連結EF，則

點評在最近幾年的中考試卷中，出現了一些讓學生通過“數學實驗——猜想結論——證明結論——利用結論”求解的題目，本題便是典型的一例．在實驗探究的過程中，能抓住變化中的等量關系，借助圖形的全等進行轉化是關鍵．這樣的題目對于培養學生的動手操作能力、猜想發現能力都是非常有益的．

總之，教師應大力加強對《標準》和數學教科書的研究，精心設計教學，結合具體的教學內容，努力把教學內容設計成能引導學生進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納的素材，以培養學生的數學猜想意識、猜想習慣、猜想能力，從而培養學生的創新能力．

［1］ 李樹臣．深入鉆研課程標準，努力創提問題情境［J］．中學數學，2009(2):1-3．

［2］ 李樹臣．淺談數學實驗的在教學中的應用［J］．中國數學教育，2009(10):15-17．

［3］ 李樹臣．數學教學過程化的4個常用策略［J］．中國數學教育，2010(6):2-5．

［4］ 趙緒昌．數學猜想的理性認識與教學思考［J］．中學數學雜志，2010(8):1-2．