平面二次包絡環面蝸桿副應力及影響因素分析

張彥欽 張光輝

重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400030

平面二次包絡環面蝸桿副應力及影響因素分析

張彥欽 張光輝

重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400030

基于彈塑性接觸有限元理論，建立了多組適于蝸桿副靜動態接觸應力分析的模型，研究了載荷、齒形參數對齒間載荷分配系數和齒面應力分布的影響，計算了各級扭矩下不同包容齒數時的最大齒間載荷分配系數。研究結果表明：隨著載荷的增大，齒間載荷分配趨于均勻；接觸應力沿接觸線從蝸輪齒根到齒頂呈“L”或“U”形分布；齒形參數對應力分布的影響不容忽略，以應力平均分布為目的的參數優化可通過對比有限元分析結果完成。得到了0.05～1.50倍額定扭矩下，包容齒數為3、5、7時的最大齒間載荷分配系數。

蝸桿；有限元；應力；齒間載荷分配

0 引言

平面二次包絡環面蝸桿傳動由于齒面形狀及受力狀態復雜，故其相關的應力分析很少見報道。文獻［1］提出的接觸應力解析算法雖然具有很好的借鑒作用，卻無法分析應力的分布狀態。近些年來，接觸有限元法因為能夠有效模擬傳動副的應力分布狀態而得到了廣泛應用，如文獻［2－3］分析了環面蝸桿副的接觸應力，文獻［4－5］分析了錐齒輪的應力分布狀態，文獻［6－7］采用有限元法得到了齒輪傳動的應力分布。該類文獻多以探討有限元建模及計算方法為重點，應用有限元法分析齒面應力分布規律及其影響因素的文獻很少見到。

筆者在前人分析的基礎上，建立了蝸桿副靜動態彈性接觸有限元模型，通過對多組參數進行應力計算，研究了載荷、齒形參數對齒間載荷分配系數和齒面應力分布的影響，歸納了齒面應力分布的特點；計算了不同載荷下包容齒數與最大齒間載荷分配系數的對應關系，并分析了嚙合時刻對最大齒間載荷分配系數的影響。

1 蝸桿副接觸分析有限元模型

筆者根據嚙合原理編制了蝸桿副參數化實體建模程序，由實體模型生成有限元網格模型，先后建立了蝸桿副理想裝配狀態和考慮了慣性和速度的動態接觸有限元模型［8］。

如圖1a所示，為了減小計算量，取蝸桿上參與嚙合的一部分和蝸輪參與嚙合的幾個齒建立靜力分析網格模型。載荷和約束均施加在內圈表面的節點上。設置約束如下：①限制蝸桿內圈的全部移動自由度，釋放蝸桿內圈繞自身軸線的轉動自由度；②約束蝸輪內圈的全部自由度；③將蝸桿副傳遞的轉矩換算成圓周力施加在蝸桿內圈上。

如圖1b所示，在做動力學分析時，把蝸輪上大部分輪齒簡化為圓柱體，只留下參與嚙合的輪齒，蝸桿齒采用整體仿真模型；將蝸桿和蝸輪的內圈均定義為剛性面，在蝸輪、蝸桿軸線上分別建立質心參考點。所有的約束和載荷均施加在剛性面上：①約束蝸桿、蝸輪內圈所有的平動自由度和2個旋轉自由度，使其只能繞各自軸線旋轉；②蝸桿內圈施加恒定的轉速，蝸輪內圈加載恒定的阻力矩；③齒面間載荷的傳遞歸為自動接觸類型。

圖1 蝸桿副有限元分析模型

蝸輪齒面上的理論接觸線分布（接觸應力）如圖2所示，接觸齒號用1，2，…，5表示，各齒的一次接觸區和二次接觸線（區）分別用Ⅰ和Ⅱ表示。

圖2 蝸輪齒面接觸線分布圖

2 計算結果分析

筆者建立了多組有限元模型，用于分析載荷和主要齒形參數對齒面接觸應力分布和齒間載荷分配系數的影響，以及包容齒數和嚙合位置對最大齒間載荷分配系數的影響。

2.1 載荷的影響

2.1.1 載荷對齒間載荷分配比的影響

以中心距a＝125mm、傳動比i＝63、轉速為1500r／min時額定輸出扭矩T2＝1246N·m的蝸桿副為例，施加不同的載荷，研究齒間載荷分配系數的變化趨勢，并用均方差考察齒間載荷分配的平均程度。均方差f的計算公式如下：

式中，ei為第i顆齒承受的載荷分配比:為齒間載荷分配比平均值；n為包容齒數。

載荷對齒間載荷分配比的影響如表1所示。根據表1，載荷較小時，靠近嚙入端的三對齒承受大部分載荷，隨著扭矩的增大，嚙入端承受載荷減小，嚙出端輪齒承受載荷不斷增大，最大齒間載荷分配系數不斷下降，均方差值不斷減小，齒間載荷分配趨于均勻。

表1 載荷對齒間載荷分配比的影響

2.1.2 載荷對齒面應力分布的影響

傳統的蝸桿接觸應力計算公式中接觸應力與載荷的0.5次方成正比［9］，即

式中，T2為輸出扭矩；ZE為材料系數；ZP為蝸桿傳動系數；KA為工況系數。

圖3所示是同一模型施加不同載荷下的齒面接觸應力和一次區量化處理后的接觸應力曲線，據此分析輪齒沿接觸線方向應力分布隨載荷的變化規律。

圖3 載荷對齒面接觸應力的影響

在傳統的計算中，認為載荷沿接觸線是平均分布的，分析圖3，受輪齒形狀影響，接觸應力沿接觸線從蝸輪齒根到齒頂呈“L”形分布，蝸輪的齒根發生了較明顯的應力集中。對接觸線中段上的應力進行平均處理，施加載荷比為0.50∶1.10∶1.50時第三對齒上一次接觸區所承受的扭矩比是1∶1.8∶2.4，對應的接觸應力比為1.00∶1.51∶1.78。

2.2 齒形參數對應力分布的影響

2.2.1 基圓直徑的影響分析

建立蝸桿副有限元分析模型并施加相同的邊界條件和載荷，改變基圓直徑db，分析db對接觸應力分布狀態和齒間載荷分配比的影響。根據式（1）計算齒間載荷分配系數的均方差，分析db對載荷分配系數均勻度的影響。

如表2所示，隨著db的增大，最大齒間載荷分配系數在31.5%～33.6% 之間變化，大部分載荷由靠近嚙入端的3對齒承受。

表2 db對齒間載荷分配比的影響

根據圖4，施加相同的扭矩，以二次接觸區為例比較不同db時受載最大的一個齒的接觸應力的分布狀態。當db為71mm、94mm時，接觸應力較大，且沿接觸線呈“U”形分布；當db為80mm時，蝸輪齒面的接觸應力最小，且分布均勻。

圖4 db對接觸應力的影響

2.2.2 母平面傾角β的影響

施加相同的載荷和邊界條件，分析β對接觸應力分布狀態和齒間載荷分配比的影響。

如表3所示，隨著β的變化，最大齒間載荷分配系數約在31.7%～37.1% 之間變化，β為1°時，齒面上只有一次接觸線，均方差值最低，故齒間載荷分配最為均勻；β分別為4°、8°時，齒面上既有一次接觸線，也存在二次接觸線，兩者均方差值相差不大。

表3 β對齒間載荷分配比的影響

根據圖5，施加相同的扭矩，比較β取不同值時受載最大的一個齒的接觸應力的分布狀態。隨著β的增大，接觸應力不斷減小。

圖5 β對接觸應力的影響

綜上所述，db對齒面接觸應力分布狀態的影響較大，選取合理的db，可避免齒根、齒頂應力集中。β對齒間載荷分配系數的影響較大，不同β對應的最大齒間載荷分配系數波動范圍約5.4%。各組接觸應力的對比分析表明，以應力均化為目的的參數優化可通過對比有限元分析結果完成。

2.3 包容齒數與最大齒間載荷分配系數的關系

包容齒數是指同時嚙合的齒對數，筆者分別建立了包容齒數n為3、5、7時的接觸分析模型，分析包容齒數對最大齒間載荷分配系數的影響。為了減小由于接觸狀態不同而產生的誤差，各模型的接觸狀態基本一致（圖2），即各模型的前n－1個齒的二次接觸線在齒高方向的投影穿越全齒高，第n個齒的二次接觸線在齒高方向的投影約為全齒高的50%。

如圖6所示，在額定扭矩下包容齒數為3、5、7時對應的最大齒間載荷分配系數分別是46.5%、28.1%和24.8%。

圖6 包容齒數與最大齒間載荷分配系數的關系

包容齒數并不是一個固定不變的量，隨著嚙合時刻的不同，包容齒數總是在某個范圍內周期性地變化。以包容齒數5為例，施加額定扭矩，考察一個嚙合周期內嚙合位置對最大齒間載荷分配系數的影響。

如圖7所示，在蝸輪轉過一個齒距角的周期內，包容齒數在5～6個齒內變化：最大齒間載荷分配系數在20.9%～26%之間變化。

圖7 嚙合位置對齒間載荷分配系數的影響（轉速為1500r／min）

3 結語

（1）分析了載荷、齒形參數對齒間載荷分配系數和齒面接觸應力分布的影響；接觸應力沿接觸線呈“L”或“U”形分布。齒形參數對應力分布狀態的影響不容忽略：選取合理的db，可有效避免齒根、齒頂應力集中；優化β角可有效減小最大齒間載荷分配系數，均化齒間載荷分配。

（2）研究了各級載荷下，包容齒數與最大齒間載荷分配系數的對應關系；并以5對齒嚙合為例，分析了一個嚙合周期內，不同嚙合時刻最大齒間載荷分配系數約在20.9%～26%之間變化。

［1］ 周良庸.環面蝸桿副疲勞強度的校核［J］.機械工程學報，2004，40（9）：180－184.

［2］ 徐戊嬌.制造誤差與承載變形耦合條件下平面二次包絡環面蝸桿的嚙合分析與嚙合控制研究［D］.重慶：重慶大學，2005.

［3］ Simon V.Stress Analysis in Double Enveloping Worm Gears by Finite Element Method［J］.Journal of Mechanical Design，Transactions of the ASME，1993，115（3）：179－185.

［4］ 唐進元，蒲太平.弧齒錐齒輪動態嚙合有限元數值分析［J］.機械科學與技術，2009，28（8）：981－985.

［5］ 鄧效忠，方宗德，楊宏斌，等.高重合度弧齒錐齒輪的強度分析［J］.航空動力學報，2002，17（3）：367－372.

［6］ 朱才朝，黃琪，唐倩.風力發電升速齒輪箱傳動系統接觸齒數及載荷分配［J］.農業機械學報，2006，37（7）：86－89.

［7］ 屈文濤，沈允文，郭輝，等.雙圓弧齒輪的有限元綜合分析方法［J］.機械強度，2006，28（3）：415－418.

［8］ ANSYS Inc..ANSYS User’s Guide［M］.Houston：ANSYS Inc.，2003.

［9］ 齒輪手冊編委會.齒輪手冊（上冊）［M］.北京：機械工業出版社，1990.

Analysis on Stress Distribution and Influencing Factors of Planar Double Enveloping Hourglass Wom Gears

Zhang Yanqin Zhang Guanghui
State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing，400030

Based on the elastoplasticity contact finite element theory，a multi－group static and dynamic contact stress analysis models suitable for the worm gears were established.The influences of the load and parameters on the coefficient of load sharing among teeth and contact stress distribution were studied.The relationship between the number of teeth in the meshing and the maximum coefficient of load sharing among teeth under different loads was calculated.The results indicate：the load distribution tends to be even along with load enlargement；the contact stress distribution along the contact line like“L”or“U”；the influence of parameters on the stress can not be neglected，it is feasible that parameter optimized aimed at stress hypodispersion by contrasting the finite element analysis results.Under 0.05～1.5times the rated torque，the maximum coefficients of load sharing among the teeth are obtained when the number of meshing teeth is 3，5，7respectively.

worm gear；finite element method；stress；load sharing amongteeth

TH132.4

1004—132X（2011）10—1135—04

2010—07—23

國家自然科學基金資助項目（50075089）

（編輯 袁興玲）

張彥欽，女，1980年生。重慶大學機械傳動國家重點實驗室博士研究生。主要研究方向為機械傳動。張光輝，男，1937年生。重慶大學機械傳動國家重點實驗室教授、博士研究生導師。